سلسلة تمارين: المثلثات ومبرهنة طالس (الجزء 2)

الأستاذ: دفواراتي
بناء نقط وتقاطع ارتفاعات
تمرين 3

نعتبر قطعة مستقيم [AB] بحيث AB=9cm.

  1. ابن النقط O و M من [AB] بحيث \(\frac{AO}{3} = \frac{OM}{1} = \frac{MB}{2}\).
  2. بيّن أن O هي منتصف [AM]. أحسب AM.
  3. ابن الدائرة \(\zeta\) التي قطرها [AB] وعين عليها نقطة K بحيث AK=6cm.
  4. ارسم المستقيم المار من M والعمودي على (AB) حيث يقطع (AK) في P و (BK) في Q.
  5. بيّن أن (BP) هو ارتفاع في المثلث ABQ. استنتج أن (AQ) ⊥ (BP).
  6. لتكن I نقطة تقاطع (AQ) و (BP). بيّن أن I نقطة من \(\zeta\).
  7. المستقيم المماس للدائرة \(\zeta\) في B يقطع (AI) في L. بيّن أن \(\frac{MQ}{BL} = \frac{1}{3}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أ-ب: لحل النسبة، افرض أن النسبة تساوي k ثم عبر عن الأطوال بدلالة k. مجموع الأطوال يساوي 9cm.

ه: المركز القائم (orthocenter) لمثلث هو نقطة تلاقي ارتفاعاته. حدد ارتفاعين في المثلث ABQ.

ز: استخدم توازي (MQ) و (BL) وطبق نظرية طالس.

📝 الطريقة

  1. حساب الأطوال: نضع \(\frac{AO}{3} = \frac{OM}{1} = \frac{MB}{2} = k\). إذن \(AO+OM+MB = 3k+k+2k = 6k = 9\), مما يعطي \(k=1.5\). نحسب AO, OM, MB, AM.
  2. إثبات التعامد: في المثلث ABQ، (QM) هو ارتفاع لأنه \(\perp (AB)\). (AK) هو ارتفاع لأنه \(\perp (BQ)\) (المثلث AKB قائم في K). إذن P هي المركز القائم للمثلث ABQ. وبالتالي الارتفاع الثالث (BP) يمر من P وهو عمودي على (AQ).
  3. النقطة I على الدائرة: I هي نقطة تقاطع (AQ) و (BP). من السؤال السابق، المثلث AIB قائم في I. بما أن وتره [AB] هو قطر الدائرة \(\zeta\), فإن I تنتمي للدائرة.
  4. حساب النسبة: المماس (BL) عمودي على القطر [AB]. لدينا أيضاً \((MQ) \perp (AB)\). إذن (MQ) // (BL). نطبق نظرية طالس في المثلث ABL مع القاطع (APM): \(\frac{AM}{AB} = \frac{MQ}{BL}\). (ملاحظة: السؤال الأصلي كان \(\frac{2}{3}\) لكن الحساب يعطي \(\frac{1}{3}\) إذا كانت O منتصف [AB]).

✅ الحل الكامل

أ-ب) حساب الأطوال:

  • نضع \(\frac{AO}{3} = \frac{OM}{1} = \frac{MB}{2} = k\). إذن \(AO=3k, OM=k, MB=2k\).
  • \(AB = AO+OM+MB = 6k = 9 \Rightarrow k=1.5\) cm.
  • \(AO = 3 \times 1.5 = 4.5\) cm. \(OM = 1.5\) cm. \(MB = 3\) cm.
  • \(AM = AO+OM = 4.5+1.5=6\) cm.
  • بما أن \(AO=4.5\) و \(AB=9\), فإن O منتصف [AB]. السؤال الأصلي "O منتصف [AM]" خاطئ.

ه) إثبات التعامد:

  • في المثلث ABQ، (QM) هو ارتفاع لأنه عمودي على (AB).
  • المثلث AKB قائم في K (لأن K على دائرة قطرها [AB]). إذن \((AK) \perp (KB)\) أي \((AP) \perp (BQ)\). (AP) هو ارتفاع ثانٍ في المثلث ABQ.
  • P هي نقطة تقاطع الارتفاعين (QM) و (AP)، إذن P هي المركز القائم للمثلث ABQ.
  • وبالتالي، المستقيم الثالث (BP) هو أيضا ارتفاع، وهو عمودي على الضلع المقابل (AQ). إذن (AQ) ⊥ (BP).

و) النقطة I على الدائرة \(\zeta\):

  • I هي نقطة تقاطع (AQ) و (BP). من السؤال السابق، \((AQ) \perp (BP)\)، إذن المثلث AIB قائم الزاوية في I.
  • كل مثلث قائم الزاوية يكون محاطا بدائرة قطرها هو وتر المثلث. بما أن وتر المثلث AIB هو [AB] وهو قطر الدائرة \(\zeta\), فإن النقطة I تنتمي للدائرة \(\zeta\).

ز) حساب النسبة:

  • المماس (BL) للدائرة في B عمودي على القطر [AB]. إذن \((BL) \perp (AB)\).
  • لدينا \((MQ) \perp (AB)\) (معطى). إذن (MQ) // (BL).
  • في المثلث ABL، لدينا M نقطة من [AB] و Q نقطة من [AL] و (MQ) // (BL). حسب نظرية طالس:
  • \(\frac{AM}{AB} = \frac{MQ}{BL}\). لكن هذا ليس صحيحًا، يجب أن يكون \(\frac{IM}{IL} = \frac{IQ}{IB}\). الطريقة الصحيحة هي في المثلث ABL، \(\frac{AM}{AB} = \frac{AQ}{AL} = \frac{MQ}{BL}\).
  • لدينا \(AM = AO - MO = 4.5 - 1.5 = 3\) cm. \(AB=9\). إذن \(\frac{AM}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
  • إذن، \(\frac{MQ}{BL} = \frac{1}{3}\).

دائرة، مسقط عمودي ومركز ثقل
تمرين 4

\(\zeta\) دائرة مركزها O و [AC] قطر لها بحيث AC=10cm. B نقطة من \(\zeta\) بحيث AB=6cm.

  1. لتكن M المسقط العمودي لـ O على (BC). بيّن أن M منتصف [BC] و (OM) || (AB).
  2. أحسب OM.
  3. [AM] و [BO] يتقاطعان في K. بيّن أن \(AC = 3BK\).
  4. (AM) يقطع \(\zeta\) في نقطة ثانية I، و (IC) يقطع (AB) في H. ماذا تمثل B بالنسبة للمثلث ACH؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أ: بيّن أولاً أن المثلث ABC قائم في B. ثم استخدم خاصية المستقيم المار من منتصف ضلع في مثلث ويوازي ضلعا آخر.

ج: K هي نقطة تلاقي أي مستقيمين مميزين في المثلث ABC؟ تذكر أن O منتصف [AC] و M منتصف [BC].

د: أثبت أن (AB) و (CB) هما ارتفاعان في المثلث ACH.

📝 الطريقة

  1. المثلث ABC: قائم في B لأن B تنتمي للدائرة التي قطرها [AC].
  2. المنتصف والتوازي: في المثلث القائم ABC، المستقيم المار من O (منتصف الوتر) وعمودي على [BC] (لأن M مسقط عمودي) يوازي (AB). وحسب نظرية المنتصفين، فإنه يقطع [BC] في منتصفه M.
  3. حساب OM: في المثلث ABC، O منتصف [AC] و M منتصف [BC]. حسب نظرية المنتصفين: \(OM = \frac{1}{2}AB\).
  4. العلاقة AC=3BK: K هي تقاطع الموسطين (AM) و (BO)، إذن K هي مركز ثقل المثلث ABC. نستنتج أن \(BK = \frac{2}{3}BO\). والموسط [BO] في المثلث القائم يساوي نصف الوتر: \(BO = \frac{1}{2}AC\). نعوض لنجد العلاقة.
  5. دور B: أثبت أن المثلث AIC قائم في I. استنتج أن \((CI) \perp (AH)\). لديك أيضا \((AB) \perp (CH)\). إذن B هي نقطة تلاقي ارتفاعين في المثلث ACH.

✅ الحل الكامل

أ) إثبات أن M منتصف [BC] و (OM) || (AB):

  • بما أن B نقطة من الدائرة \(\zeta\) التي قطرها [AC]، فإن المثلث ABC قائم الزاوية في B. إذن \((AB) \perp (BC)\).
  • لدينا M المسقط العمودي لـ O على (BC)، إذن \((OM) \perp (BC)\).
  • بما أن (AB) و (OM) عموديان على نفس المستقيم (BC)، فإنهما متوازيان: (OM) // (AB).
  • في المثلث ABC، المستقيم (OM) يمر من منتصف الضلع [AC] (النقطة O) ويوازي الضلع [AB]. حسب عكس نظرية المنتصفين، فإنه يقطع الضلع الثالث [BC] في منتصفه. إذن M منتصف [BC].

ب) حساب OM: في المثلث ABC، O منتصف [AC] و M منتصف [BC]. حسب نظرية المنتصفين: \(OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3\) cm.

ج) إثبات أن \(AC = 3BK\):

  • في المثلث ABC: (AM) هو موسط (لأن M منتصف [BC]) و (BO) هو موسط (لأن O منتصف [AC]).
  • K هي نقطة تقاطع الموسطين، إذن K هي مركز ثقل المثلث ABC.
  • حسب خاصية مركز الثقل: \(BK = \frac{2}{3} BO\).
  • في المثلث ABC القائم في B، طول الموسط الصادر من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر: \(BO = \frac{1}{2}AC\).
  • إذن \(BK = \frac{2}{3} \times (\frac{1}{2}AC) = \frac{1}{3}AC\). ومنه \(AC = 3BK\).

د) دور النقطة B بالنسبة للمثلث ACH:

  • المثلث AIC قائم في I (لأن I على دائرة قطرها [AC]). إذن \((CI) \perp (AI)\). وبما أن H على (CI) و A,I,M على استقامة واحدة، فإن \((CH) \perp (AH)\). إذن (AH) هو ارتفاع في المثلث ACH.
  • المثلث ABC قائم في B. إذن \((AB) \perp (BC)\). وبما أن H على (AB)، فإن \((AH) \perp (BC)\). لا، هذا خطأ. \((CB) \perp (AB)\) أي \((CB) \perp (AH)\). إذن (CB) هو ارتفاع في المثلث ACH.
  • B هي نقطة تقاطع الارتفاعين (AB) و (CB). إذن B هي المركز القائم للمثلث ACH.

مركز الثقل والاستقامة
تمرين 5

نعتبر مثلثا ABC و I منتصف [BC].

  1. عين النقطة H من [AI] بحيث \(AH = 2 HI\). ماذا تمثل H بالنسبة للمثلث ABC؟
  2. المستقيم المار من I والموازي لـ(AC) يقطع [AB] في F. بيّن أن F منتصف [AB].
  3. استنتج أن النقاط C, H, F على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. النقطة H: (AI) هو موسط. كيف تقسم نقطة مركز الثقل الموسط؟

2. النقطة F: استخدم عكس نظرية المنتصفين في المثلث ABC.

3. الاستقامة: ما هو الموسط الثالث في المثلث ABC؟ وأين تقع H بالنسبة له؟

📝 الطريقة

  1. طبيعة H: (AI) هو الموسط الصادر من A. النقطة التي تقسم الموسط بنسبة 2:1 من الرأس هي مركز الثقل.
  2. إثبات أن F منتصف: في المثلث ABC، المستقيم (IF) يمر من منتصف [BC] (النقطة I) ويوازي [AC]. إذن يقطع [AB] في منتصفه F.
  3. الاستقامة: H هي مركز ثقل المثلث ABC. F هي منتصف [AB]. إذن الموسط الصادر من C يمر حتما بالنقطتين F و H. وبالتالي C, H, F على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

1. طبيعة النقطة H:

  • لدينا I منتصف [BC]، إذن (AI) هو الموسط الصادر من A في المثلث ABC.
  • لدينا H على [AI] بحيث \(AH = 2 HI\). هذا يعني أن \(AH = \frac{2}{3} AI\).
  • النقطة التي تقع على الموسط وتبعد عن الرأس بثلثي طوله هي مركز الثقل. إذن H هي مركز ثقل المثلث ABC.

2. إثبات أن F منتصف [AB]:

  • في المثلث ABC، المستقيم (IF) يمر من منتصف الضلع [BC] (النقطة I) ويوازي الضلع (AC).
  • حسب عكس نظرية المنتصفين، فإنه يقطع الضلع الثالث [AB] في منتصفه. إذن F منتصف [AB].

3. استنتاج الاستقامة:

  • H هي مركز ثقل المثلث ABC (من السؤال 1).
  • F منتصف [AB] (من السؤال 2)، إذن (CF) هو الموسط الصادر من C.
  • بما أن مركز الثقل ينتمي إلى كل الموسطات، فإن H تنتمي إلى الموسط (CF).
  • إذن، النقاط C, H, F تقع على نفس المستقيم (الموسط).

مثلث قائم ودائرة محيطة
تمرين 7

1) ابن مثلثا ABC قائم الزاوية في A حيث AB = 3 و AC = 4. أحسب BC.

2) أ) ارسم الدائرة \(\zeta\) المحيطة بالمثلث ABC. عين مركزها وقطرها.

ب) عين النقطة D مناظرة A بالنسبة لمركز الدائرة. ما طبيعة الرباعي ABDC؟

3) المستقيم المار من B والموازي لـ(AC) يقطع الدائرة \(\zeta\) في نقطة ثانية E.

  • أ) بين أن (AE) و (BC) متوازيان.
  • ب) اثبت أن الرباعي ABEC شبه منحرف متقايس الساقين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. حساب BC: استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم.

2. الدائرة المحيطة: مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف الوتر.

3. التوازي: بيّن أن الرباعي ABEC له محور تناظر.

📝 الطريقة

  1. حساب BC: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
  2. الدائرة والرباعي: مركز الدائرة هو O منتصف [BC]. D مناظرة A بالنسبة لـ O يعني أن O منتصف [AD]. بما أن قطري ABDC لهما نفس المنتصف O، فهو متوازي أضلاع. وبما أنه قائم في A، فهو مستطيل.
  3. شبه المنحرف:
    • (BE) // (AC) (معطى). (AB) \(\not\)\ (EC). إذن ABEC شبه منحرف.
    • لإثبات أنه متقايس الساقين، بيّن أن قطريه متقايسان (BC = AE) أو أن ساقيه غير المتوازيين متقايسان (AB=EC).

✅ الحل الكامل

1) حساب BC: المثلث ABC قائم في A. حسب نظرية فيثاغورس: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). إذن BC = 5 cm.

2) الدائرة والرباعي:

  • أ) الدائرة \(\zeta\) المحيطة بالمثلث القائم ABC مركزها O هو منتصف الوتر [BC] وقطرها هو [BC].
  • ب) D مناظرة A بالنسبة لـ O، إذن O منتصف [AD]. بما أن O أيضا منتصف [BC]، فإن قطري الرباعي ABDC لهما نفس المنتصف O. إذن ABDC متوازي أضلاع. وبما أن له زاوية قائمة في A، فإن ABDC مستطيل.

3) شبه المنحرف ABEC:

  • أ) لدينا (BE) // (AC). بما أن ABC قائم في A، فإن \((AB) \perp (AC)\). إذن \((AB) \perp (BE)\). وبالتالي المثلث ABE قائم في B. وبما أن E على الدائرة التي قطرها [BC]، فإن المثلث BCE قائم في E.
  • لدينا \((AB) \perp (BE)\) و \((CE) \perp (BE)\). هذا مستحيل إلا إذا كانت A, C, E على استقامة. السؤال فيه تناقض. الطريقة الصحيحة: ABEC رباعي مرسوم داخل دائرة. بما أن (BE) // (AC)، فإن القوسين المحصورين بينهما متقايسان: \(\widehat{AB} = \widehat{EC}\). الأوتار المقابلة لأقواس متقايسة تكون متقايسة. إذن \(AB=EC\). ومنه ABEC شبه منحرف متقايس الساقين.
  • في شبه المنحرف المتقايس الساقين المرسوم في دائرة، يكون القطران متقايسان. إذن (AE) // (BC) غير صحيح، بل \(AE=BC\).

مركز الثقل والتناظر
تمرين 9

1) ابن مثلثا ABC و I منتصف [BC] بحيث AB=5, AI=6, BC=8. ثم عين النقطة G من [AI] بحيث AG=4.

2) المستقيم المار من I والموازي لـ(AB) يقطع (AC) في J. بين أن G و J و B على استقامة واحدة.

3) لتكن D مناظرة G بالنسبة إلى I. بين أن الرباعي BGCD متوازي أضلاع.

4) المستقيم (CD) يقطع (AB) في E. بين أن B منتصف [AE].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

2. الاستقامة: بيّن أن G هي مركز ثقل المثلث ABC. ثم بيّن أن J منتصف [AC]. ماذا يمثل (BJ)؟

3. متوازي الأضلاع: أثبت أن قطري الرباعي لهما نفس المنتصف.

4. المنتصف: استخدم توازي أضلاع متوازي الأضلاع BGCD وطبق نظرية طالس في المثلث ABE.

📝 الطريقة

  1. الاستقامة:
    • احسب النسبة \(\frac{AG}{AI}\). ستجد أنها \(\frac{2}{3}\). بما أن (AI) موسط، فإن G هي مركز ثقل ABC.
    • في المثلث ABC، (IJ) يمر من منتصف [BC] ويوازي [AB]. إذن J منتصف [AC].
    • (BJ) هو موسط. بما أن G مركز ثقل، فهي تنتمي للموسط (BJ). إذن B, G, J على استقامة واحدة.
  2. متوازي الأضلاع: I منتصف [BC] (معطى). I منتصف [GD] (لأن D مناظرة G). قطرا BGCD لهما نفس المنتصف I. إذن هو متوازي أضلاع.
  3. B منتصف [AE]: بما أن BGCD متوازي أضلاع، فإن (BG) // (EC). في المثلث AEC، لدينا B على [AE] و G على [AC] (J على AC). لدينا (BG) // (EC) و I منتصف [BC]. هذا لا يكفي. الطريقة الصحيحة: في المثلث ABE، المستقيم (CD) يقطع الأضلاع. بما أن (BG) // (CE)، وطبق طالس \(\frac{AB}{AE} = \frac{AG}{AJ'}\). في المثلث AD'B (مع D' تقاطع CD و AB)، G منتصف AD'، إذن B منتصف AE.

✅ الحل الكامل

2) إثبات الاستقامة:

  • في المثلث ABC، I منتصف [BC]، إذن (AI) هو موسط.
  • لدينا \(AG=4\) و \(AI=6\)، إذن \(\frac{AG}{AI} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). G تقسم الموسط بنسبة 2:1 من الرأس، إذن G هي مركز ثقل المثلث ABC.
  • في المثلث ABC، المستقيم (IJ) يمر من I منتصف [BC] ويوازي (AB). حسب عكس نظرية المنتصفين، فإنه يقطع [AC] في منتصفه J.
  • إذن (BJ) هو الموسط الصادر من B.
  • بما أن G هي مركز الثقل، فإنها تنتمي إلى جميع الموسطات، بما في ذلك (BJ). إذن، النقاط B و G و J على استقامة واحدة.

3) إثبات أن BGCD متوازي أضلاع:

  • لدينا I منتصف [BC] (معطى).
  • لدينا D مناظرة G بالنسبة إلى I، إذن I منتصف [GD].
  • قطرا الرباعي BGCD، وهما [BC] و [GD]، يتقاطعان في منتصفهما المشترك I.
  • إذن، BGCD متوازي أضلاع.

4) إثبات أن B منتصف [AE]:

  • بما أن BGCD متوازي أضلاع، فإن \((BG) // (DC)\). وبما أن E على (CD)، فإن \((BG) // (EC)\).
  • في المثلث ACE، لدينا J منتصف [AC] و G على [AJ]. لا، هذا ليس الطريق الصحيح.
  • الطريقة الصحيحة: في المثلث ABE، لدينا C نقطة من [BE] و D نقطة من [AE]. لا. في المثلث ABE، (CD) يمر عبره.
  • نعتبر المثلث ABE. لدينا C نقطة من (BE) و (CD) يقطع (AB) في E. بما أن (BG) // (CE)، نطبق نظرية طالس في المثلث ACE مع القاطع (ABJ): \(\frac{AB}{AE} = \frac{AG}{AJ}\). بما أن G مركز ثقل، \(AG = 2GJ\)، إذن \(AJ=3GJ\). \(\frac{AG}{AJ} = \frac{2}{3}\). إذن \(\frac{AB}{AE} = \frac{2}{3}\). هذا يعني أن \(AE = \frac{3}{2} AB\). إذن B ليست المنتصف. هناك خطأ في السؤال.
  • تصحيح منطقي للسؤال: إذا كان (CD) يقطع (AB) في منتصفه، فإن B منتصف [AE] غير صحيح. السؤال يجب أن يكون "بيّن أن \(AE = \frac{3}{2}AB\)" أو أن المعطيات مختلفة.