🧠
دليل طرق البرهان في مبرهنة طالس
لا يكفي أن تعرف الجواب، بل يجب أن تعرف كيف تكتب البرهان.
اختر نوع ما تريد إثباته من القائمة، وستجد: الطرق الممكنة، متى تستعمل كلّ طريقة، نموذجاً محرّراً، والأخطاء الشائعة.
8 طرق برهان أساسية تغطّي كامل الفصل
📍 كيف أبيّن أنّ نقطة هي منتصف قطعة؟
عندما يُطلب إثبات أنّ نقطة M هي منتصف قطعة [AB]، اختر إحدى الطرق التالية حسب معطيات التمرين.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — مستقيم المنتصفين (العكس)
🟦 متى أستعملها: عندما تعرف أنّ نقطة منتصف ضلع، ويوجد توازٍ مع ضلع آخر.
- أتحقّق أنّ نقطة (مثلاً D) هي منتصف ضلع [AB].
- أتحقّق أنّ المستقيم المار من D يوازي الضلع الثالث (BC).
- أستنتج حسب عكس مستقيم المنتصفين أنّ نقطة التقاطع E هي منتصف [AC].
الطريقة 2 — قطرا متوازي الأضلاع
🟦 متى أستعملها: عندما يكون لديك متوازي أضلاع، أو يمكنك إثبات أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
- أبيّن أنّ الرباعي متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان).
- أستعمل خاصية: قطرا متوازي الأضلاع يتناصفان.
- أستنتج أنّ نقطة تقاطع القطرين هي منتصف كلٍّ منهما.
الطريقة 3 — مبرهنة طالس والنسبة 1/2
🟦 متى أستعملها: عندما يمكن حساب نسبة وإثبات أنّها تساوي \(\dfrac{1}{2}\).
- أطبّق مبرهنة طالس لإيجاد النسبة \(\dfrac{AM}{AB}\).
- أبيّن أنّ هذه النسبة تساوي \(\dfrac{1}{2}\).
- أستنتج أنّ M منتصف [AB].
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(D\) منتصف \([AB]\) والمستقيم المار من \(D\) الموازي لـ\((BC)\) يقطع \([AC]\) في \(E\). نبيّن أنّ \(E\) منتصف \([AC]\).
① \(D\) منتصف \([AB]\) (معطى).
② \((DE)\parallel(BC)\) (معطى).
③ حسب عكس مبرهنة مستقيم المنتصفين: المستقيم المار من منتصف ضلع وموازٍ لضلع ثانٍ يمرّ من منتصف الضلع الثالث.
④ إذن \(E\) منتصف \([AC]\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ الاكتفاء بالتوازي دون ذكر أنّ D منتصف — الشرطان معاً ضروريان.
⚠️ استعمال متوازي الأضلاع دون إثباته أوّلاً.
⚠️ الخلط بين الضلع [AC] والضلع [AB] في الاستنتاج.
📏 كيف أبيّن أنّ مستقيمين متوازيان؟
لإثبات أنّ \((MN)\parallel(BC)\)، اختر الطريقة المناسبة لمعطيات التمرين.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — عكس مبرهنة طالس
🟦 متى أستعملها: عندما تتوفّر نسب متساوية بين الأطوال.
- أتحقّق أنّ النقطتين M وN على نصفي المستقيمين الصادرين من نفس الرأس، من نفس الجهة.
- أبيّن تساوي النسبتين \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\).
- أستنتج حسب عكس طالس أنّ \((MN)\parallel(BC)\).
الطريقة 2 — مستقيم المنتصفين
🟦 متى أستعملها: عندما تكون M وN منتصفي ضلعين.
- أتحقّق أنّ M منتصف ضلع وN منتصف ضلع آخر.
- أستنتج مباشرة أنّ \((MN)\) يوازي الضلع الثالث.
الطريقة 3 — أضلاع متوازي الأضلاع
🟦 متى أستعملها: عندما يكون المستقيمان حاملين لضلعين متقابلين في متوازي أضلاع.
- أبيّن أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
- أستنتج أنّ الضلعين المتقابلين متوازيان.
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(M\in[AB]\) و\(N\in[AC]\) حيث \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{3}\). نبيّن أنّ \((MN)\parallel(BC)\).
① \(M\) و\(N\) على \([AB)\) و\([AC)\) من نفس الجهة بالنسبة لـ\(A\).
② \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) (معطى).
③ حسب عكس مبرهنة طالس.
④ إذن \((MN)\parallel(BC)\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ تطبيق العكس دون التأكّد أنّ النقطتين على نفس الجهة من الرأس.
⚠️ كتابة النسبة مقلوبة \(\dfrac{AB}{AM}\) بدل \(\dfrac{AM}{AB}\).
⚠️ الاكتفاء بتقريب النسبتين بدل إثبات تساويهما بالضبط.
➖ كيف أبيّن أنّ نقاطاً على استقامة واحدة؟
لإثبات أنّ نقاطاً مستقيمة، استعمل خاصية مركز الثقل أو التوازي المزدوج.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — مركز الثقل على الموسط
🟦 متى أستعملها: عندما تتعلّق النقاط بموسطات.
- أبيّن أنّ النقطة الوسطى تقع على موسط.
- بما أنّ مركز الثقل والرأس ومنتصف الضلع كلّها على نفس الموسط، فالنقاط مستقيمة.
الطريقة 2 — التوازي المزدوج من نقطة
🟦 متى أستعملها: عند وجود توازيين من نفس النقطة.
- أبيّن أنّ \((AB)\parallel(d)\) و\((AC)\parallel(d)\).
- بما أنّ من نقطة واحدة \(A\) لا يمرّ إلا موازٍ وحيد لـ\((d)\)، فإنّ \((AB)\) و\((AC)\) منطبقان.
- إذن \(A\) و\(B\) و\(C\) مستقيمة.
✍️ نموذج برهان محرّر
\(G\) مركز ثقل المثلث \(ABC\)، \(K\) منتصف \([BC]\). نبيّن أنّ \(A\) و\(G\) و\(K\) مستقيمة.
① \([AK]\) موسط لأنّ \(K\) منتصف \([BC]\).
② مركز الثقل \(G\) يقع على كلّ موسط، إذن \(G\in(AK)\).
③ إذن \(A\) و\(G\) و\(K\) على استقامة واحدة. ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ افتراض الاستقامة من الرسم دون برهان.
⚠️ نسيان خاصية وحدانية الموازي من نقطة في الطريقة 2.
📐 كيف أحسب أو أبيّن تساوي طولين؟
لحساب طول مجهول أو إثبات تساوي طولين، استعمل علاقة تناسب أو خاصية معروفة.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — مبرهنة طالس (مباشرة)
🟦 متى أستعملها: عند وجود توازٍ داخل مثلث.
- أتحقّق من التوازي وأكتب علاقة التناسب \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
- أعوّض بالقيم المعلومة.
- أحسب الطول المجهول.
الطريقة 2 — مستقيم المنتصفين
🟦 متى أستعملها: عند وجود منتصفين.
- أتحقّق أنّ الطرفين منتصفان.
- أطبّق \(MN=\dfrac{1}{2}BC\).
الطريقة 3 — النسبة 2/3 (مركز الثقل)
🟦 متى أستعملها: عند وجود مركز ثقل أو موسطات.
- أحدّد الموسط والنقطة المعنية.
- أطبّق \(AG=\dfrac{2}{3}AK\) أو \(GK=\dfrac{1}{3}AK\).
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(M\) منتصف \([AB]\) و\(N\) منتصف \([AC]\)، و\(BC=8\). نحسب \(MN\).
① \(M\) و\(N\) منتصفان (معطى).
② حسب مستقيم المنتصفين: \(MN=\dfrac{1}{2}BC\).
③ \(MN=\dfrac{1}{2}\times 8 = 4\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ نسيان التحقّق من التوازي قبل تطبيق طالس.
⚠️ نسيان القسمة على 2 في مستقيم المنتصفين.
⚠️ نسيان وحدة القياس في النتيجة.
⚖️ كيف أبيّن أنّ نقطة هي مركز ثقل مثلث؟
مركز الثقل هو نقطة تلاقي الموسطات. لإثبات أنّ G مركز ثقل، استعمل إحدى الطريقتين.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — تقاطع موسطين
🟦 متى أستعملها: الطريقة الأكثر استعمالاً.
- أبيّن أنّ \([AI]\) موسط (\(I\) منتصف \([BC]\)).
- أبيّن أنّ \([BJ]\) موسط (\(J\) منتصف \([AC]\)).
- \(G\) نقطة تقاطعهما، إذن هو مركز الثقل.
الطريقة 2 — النسبة 2/3
🟦 متى أستعملها: عندما تعرف موقع G على موسط.
- أحدّد الموسط [AK] (K منتصف الضلع المقابل).
- أبيّن أنّ \(AG=\dfrac{2}{3}AK\).
- أستنتج أنّ G مركز الثقل.
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(I\) منتصف \([BC]\) و\(J\) منتصف \([AC]\)، و\(G\) تقاطع \((AI)\) و\((BJ)\). نبيّن أنّ \(G\) مركز الثقل.
① \([AI]\) موسط لأنّ \(I\) منتصف \([BC]\).
② \([BJ]\) موسط لأنّ \(J\) منتصف \([AC]\).
③ \(G\) تقاطع موسطين.
④ إذن \(G\) مركز ثقل المثلث \(ABC\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ الخلط بين الموسط والارتفاع أو المنصّف.
⚠️ استعمال \(\dfrac{1}{3}\) بدل \(\dfrac{2}{3}\) انطلاقاً من الرأس.
⚠️ الاكتفاء بموسط واحد.
▱ كيف أبيّن أنّ رباعياً متوازي أضلاع؟
ثلاث طرق رئيسية لإثبات أنّ رباعياً متوازي أضلاع.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — ضلعان متقابلان
🟦 متى أستعملها: الأكثر استعمالاً مع مستقيم المنتصفين.
- أبيّن أنّ ضلعين متقابلين متوازيان.
- وأنّهما متقايسان (نفس الطول).
- أستنتج أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
الطريقة 2 — القطران يتناصفان
🟦 متى أستعملها: عند معرفة منتصف القطرين.
- أبيّن أنّ للقطرين نفس المنتصف.
- أستنتج أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
الطريقة 3 — التوازي المزدوج
🟦 متى أستعملها: عند توفّر التوازي للضلعين.
- أبيّن أنّ الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى.
✍️ نموذج برهان محرّر
رباعي \(EBFD\) حيث \(E\) منتصف \([AD]\) و\(F\) منتصف \([BC]\) في متوازي أضلاع \(ABCD\). نبيّن أنّه متوازي أضلاع.
① في \(ABCD\): \([AD]\) و\([BC]\) متقابلان فهما متوازيان ومتقايسان.
② إذن \(ED\parallel BF\) و\(ED=BF\) (نصفان من ضلعين متقايسين).
③ رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان.
④ إذن \(EBFD\) متوازي أضلاع. ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ إثبات التوازي فقط دون التقايس في الطريقة 1.
⚠️ الخلط بين «يتناصفان» (للقطرين) و«متقايسان» (للأضلاع).
🔷 كيف أحدّد طبيعة مثلث أو رباعي؟
لتحديد الطبيعة، احسب الأطوال أو أثبت العلاقات (تقايس، توازٍ، تعامد) ثمّ استنتج.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — حساب الأطوال
🟦 متى أستعملها: عند توفّر إحداثيات أو أطوال.
- أحسب أطوال الأضلاع.
- أقارن: تساوي ضلعين ← متساوي الساقين؛ تحقّق فيثاغورس ← قائم.
الطريقة 2 — إثبات العلاقات
🟦 متى أستعملها: عند توفّر توازٍ أو تعامد.
- أبيّن العلاقات بين الأضلاع (توازٍ، تقايس، تعامد).
- أستنتج الطبيعة الدقيقة معلّلاً.
✍️ نموذج برهان محرّر
لتحديد طبيعة المثلث \(ABI\):
① أحسب \(AB\), \(AI\), \(BI\).
② أقارن: إن تساوى طولان فهو متساوي الساقين؛ إن تحقّقت \(AB^2=AI^2+BI^2\) فهو قائم في \(I\).
③ أستنتج الطبيعة معلّلاً. ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ إعطاء الطبيعة دون تعليل بالأطوال أو الزوايا.
⚠️ الاكتفاء بالرسم لتقدير الطبيعة.
📐 كيف أبيّن أنّ مثلثاً قائم الزاوية؟
طريقتان أساسيتان: منتصف الوتر، أو الدائرة المحيطة.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — منتصف الوتر
🟦 متى أستعملها: عندما تتوفّر نقطة متساوية البعد عن الرؤوس.
- أبيّن أنّ منتصف ضلع \(I\) متساوي البعد عن الرؤوس: \(IA=IB=IC\).
- حسب الخاصية العكسية: المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل للوتر.
- الوتر هو الضلع الذي \(I\) منتصفه.
الطريقة 2 — الدائرة المحيطة
🟦 متى أستعملها: عندما يكون ضلع قطراً لدائرة محيطة.
- أبيّن أنّ أحد الأضلاع قطر للدائرة المحيطة.
- أستنتج أنّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع قائمة.
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(I\) منتصف \([BC]\) حيث \(IA=IB=IC\). نبيّن أنّه قائم الزاوية.
① \(I\) منتصف \([BC]\) ومتساوي البعد عن \(A,B,C\) (معطى).
② حسب الخاصية العكسية للمثلث القائم.
③ إذن \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ووتره \([BC]\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ نسيان أنّ الزاوية القائمة عند الرأس المقابل للوتر.
⚠️ الخلط بين الخاصية المباشرة والعكسية.