🤔 كيف أفعل؟ — طالس

🔧 المفاهيم الأساسية والتطبيق سهل
⚠️ الأخطاء الشائعة سهل
📐 تقنيات الإنشاء متوسط
🌟 الحالات الخاصة والتطبيقات متوسط
⭕ المثلث القائم ومركز الثقل صعب
🎯 استراتيجيات حل المسائل والامتحان صعب
🧠 كيف أبيّن؟ — طرق البرهان صعب
🤔

دليل تطبيق مبرهنة طالس

تقنيات عملية: كيف أطبّق، أحسب، أنشئ، وأتجنّب الأخطاء.

اختر سؤالاً من القائمة لعرض الشرح الكامل مع الأمثلة.

20 مهارة تطبيقية + 8 طرق برهان — منهاج التاسعة أساسي

📏 ما هي مبرهنة طالس؟
نص المبرهنة:
إذا قطع مستقيمان متوازيان ضلعين من مثلث، فإنهما يحددان على الضلعين قطعاً متناسبة.

إذا كان (MN) // (BC) في المثلث ABC، فإن: \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)
💡 مثال: إذا كان AM = 3 و AB = 6 و AN = 4، فإن AC = 8.
🔧 كيف أطبق مبرهنة طالس الأساسية؟
الهدف: حساب أطوال أو إثبات نسب.

1. تحقق من الشروط:
  • مثلث (مثل ABC).
  • نقطة M على (AB) ونقطة N على (AC).
  • الشرط الأهم: (MN) يوازي (BC).
2. اكتب النسب بدءاً من الرأس المشترك A:
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)
3. حل المعادلة لإيجاد الطول المجهول.
✅ ما هي شروط تطبيق مبرهنة طالس؟
الشروط الأساسية:
1. وجود مثلث ABC.
2. نقطة M على [AB].
3. نقطة N على [AC].
4. توازي المستقيمين: (MN) // (BC).

⚠️ يجب التأكد من التوازي قبل تطبيق المبرهنة.
📏 كيف أحسب طولاً مجهولاً؟
الخطوات:
1. تأكد من التوازي.
2. اكتب النسبة المناسبة لموضع الطول المجهول.
3. استعمل الضرب التبادلي.

مثال: (MN)//(BC)، AM = 5، MB = 3، AN = 4، NC = ؟
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) ⇐ \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{4+NC}\)
إذن NC = 2.4
⚠️ ما هي الأخطاء الشائعة في تطبيق طالس؟
1. خطأ في كتابة النسب:
❌ \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\)
✅ \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)

2. نسيان شرط التوازي:
❌ تطبيق طالس دون التأكد من التوازي.
✅ التحقق من التوازي أولاً.

3. خلط الأطوال الجزئية بالكلية:
✅ ميّز بين AM (جزء) و AB (كامل الضلع).

4. الخلط بين صيغة المثلث وصيغة المستقيمات المتوازية:
صيغة \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'}\) خاصة بالمستقيمات المتوازية، ولا تُستعمل لحساب الضلع الثالث في المثلث.

⚠️ تأكد دائماً من كتابة النسب بالترتيب الصحيح.
↩️ متى أستخدم عكس مبرهنة طالس؟
عكس المبرهنة: إذا تحققت النسب المتساوية فالمستقيمان متوازيان.
إذا كان \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) فإن (MN) // (BC)
متى نستعمله:
• لإثبات التوازي بين مستقيمين.
• عندما تكون النسب معطاة والتوازي مطلوب.

⚠️ يجب أن تكون النقاط بنفس الترتيب، وإلا فالمستقيمان غير متوازيين (حالة الفراشة المتقاطعة).
مثال: AM=4، AB=10، AN=6، AC=15
\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\) ⇐ (MN)//(BC)
✂️ كيف أقسم قطعة [AB] إلى n جزء متساوٍ؟
مثال: تقسيم [AB] إلى 5 أجزاء متساوية.
1. ارسم نصف مستقيم [Ax) لا ينطبق على (AB).
2. بالبركار بفتحة ثابتة، عيّن 5 نقاط متتالية متساوية البعد.
3. صل النقطة الأخيرة بـ B.
4. ارسم الموازيات لهذا المستقيم من بقية النقاط.
5. نقاط تقاطعها مع [AB] تقسمها إلى 5 أجزاء متساوية.

💡 هذا تطبيق مباشر لمبرهنة طالس على المستقيمات المتوازية.
⚖️ كيف أقسم قطعة بنسب محددة (مثل 3:4:5)؟
الخطوات:
1. احسب المجموع: 3+4+5 = 12.
2. ارسم [Ax) وعيّن نقاطاً على مسافات 3، 7، 12 وحدة.
3. صل النقطة الأخيرة بـ B.
4. ارسم الموازيات.
الأجزاء = \(\dfrac{3L}{12}\)، \(\dfrac{4L}{12}\)، \(\dfrac{5L}{12}\) حيث L = AB
🎯 كيف أجد نقطة تقسم قطعة بنسبة معطاة؟
لإيجاد M على [AB] بحيث AM:MB = p:q:
\(AM = \dfrac{p}{p+q} \times AB\) ، \(MB = \dfrac{q}{p+q} \times AB\)
مثال: نسبة 2:3 وAB = 10 سم
AM = \(\dfrac{2}{5}\times 10\) = 4 سم، MB = 6 سم
🔧 كيف أنشئ مستقيماً موازياً لمستقيم معطى؟
باستخدام مبرهنة طالس:
لرسم مستقيم يوازي (BC) ويمر بنقطة P:
1. ارسم مستقيماً يمر بـ P ويقطع [AB] في M.
2. ارسم مستقيماً يمر بـ P ويقطع [AC] في N.
3. اجعل \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\).
4. عندئذ (MN) يوازي (BC).
🎯 ما خصائص المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين؟
مبرهنة مستقيم المنتصفين:
المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث وطوله نصف طوله.
إذا كان M منتصف [AB] و N منتصف [AC] فإن (MN) // (BC) و MN = \(\dfrac{BC}{2}\)
مثال: BC = 8 سم ⇐ MN = 4 سم
🔶 كيف أطبق طالس في شبه المنحرف؟
المستقيم المتوسط لشبه المنحرف:
في شبه المنحرف ABCD حيث (AB)//(CD)، المستقيم الواصل بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين يوازي القاعدتين.
إذا كان I منتصف [AD] و J منتصف [BC]
فإن (IJ) // (AB) و IJ = \(\dfrac{AB + CD}{2}\)
مثال: AB = 6، CD = 10 ⇐ IJ = \(\dfrac{6+10}{2}\) = 8 سم
📐 كيف أقيس ارتفاعاً باستخدام طالس (الظل)؟
قياس ارتفاع مبنى بظله:
1. قس طول ظل المبنى.
2. قس طول عصا معروفة وطول ظلها.
3. طبّق التناسب.
مثال: ظل المبنى = 15 م، العصا = 1.5 م وظلها = 1 م
ارتفاع المبنى = \(\dfrac{15 \times 1.5}{1}\) = 22.5 م
⭕ كيف أطبق نظرية المثلث المحاط بدائرة؟
النظرية: إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً لدائرة تمر برؤوسه الثلاثة، فالزاوية المقابلة قائمة.
إذا كان [AB] قطر الدائرة و C على الدائرة، فإن الزاوية ACB قائمة.
💡 العكس: في المثلث القائم، وتر الزاوية القائمة هو قطر الدائرة المحيطة.
⚖️ ما هو مركز ثقل المثلث؟
التعريف: نقطة تقاطع الوسائط الثلاثة.
• الوسيط يصل بين رأس ومنتصف الضلع المقابل.
• كل مثلث له ثلاثة وسائط تتقاطع في نقطة واحدة.
مركز الثقل G يقسم كل وسيط بنسبة 2:1
مثال: M منتصف [BC] ⇐ AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM و GM = \(\dfrac{1}{3}\)AM
📍 كيف أجد مركز الثقل بوسيط واحد فقط؟
الخطوات:
1. ارسم الوسيط [AM] (M منتصف [BC]).
2. مركز الثقل G على بُعد ثلثي الوسيط من الرأس.
AG = \(\dfrac{2}{3}\) × AM ، GM = \(\dfrac{1}{3}\) × AM
مثال: AM = 9 سم ⇐ AG = 6 سم، GM = 3 سم
💡 تحقّق برسم وسيط آخر: يجب أن يمر بنفس النقطة G.
📏 ما هي خصائص الوسائط في المثلث؟
خصائص الوسائط:
1. الوسيط يصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل.
2. كل مثلث له ثلاثة وسائط تتقاطع في مركز الثقل.
3. كل وسيط يقسم المثلث إلى مثلثين متساويي المساحة.
4. مركز الثقل يقسم كل وسيط بنسبة 2:1.
🎯 كيف أتعامل مع مسألة طالس معقدة؟
1. القراءة والفهم: حدد المعطيات والمطلوب، ارسم شكلاً.
2. التحليل: فكّك الشكل إلى مثلثات بسيطة، ابحث عن المتوازيات.
3. التطبيق: طبّق طالس خطوة بخطوة، استعمل النتائج الوسطية.
4. التحقق: راجع الحساب ومنطقية الجواب.
🎯 كيف أتعامل مع طالس في الامتحان؟
1. إدارة الوقت: ابدأ بالأسهل.
2. الخطوات المنهجية: ارسم شكلاً دقيقاً، حدد المعطيات، اكتب النسب، تحقق.
3. تجنب الأخطاء: لا تخلط الأطوال الجزئية بالكلية، تأكد من التوازي.
4. اكسب النقاط الجزئية: اكتب الخطوات حتى لو لم تصل للنتيجة، وبيّن طريقة تفكيرك.
📋 ما هي أنواع مسائل طالس الرئيسية؟
النوع 1: حساب الأطوال — معطى أطوال وتوازٍ، مطلوب طول مجهول.
النوع 2: إثبات التوازي — معطى نسب، مطلوب إثبات التوازي (عكس طالس).
النوع 3: الإنشاءات — تقسيم قطعة أو رسم موازٍ.
النوع 4: مركز الثقل — حساب أطوال بالنسبة 2/3.
📍 كيف أبيّن أنّ نقطة هي منتصف قطعة؟
عندما يُطلب إثبات أنّ نقطة M هي منتصف قطعة [AB]، اختر إحدى الطرق التالية حسب معطيات التمرين.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — مستقيم المنتصفين (العكس)
🟦 متى أستعملها: عندما تعرف أنّ نقطة منتصف ضلع، ويوجد توازٍ مع ضلع آخر.
  1. أتحقّق أنّ نقطة (مثلاً D) هي منتصف ضلع [AB].
  2. أتحقّق أنّ المستقيم المار من D يوازي الضلع الثالث (BC).
  3. أستنتج حسب عكس مستقيم المنتصفين أنّ نقطة التقاطع E هي منتصف [AC].
الطريقة 2 — قطرا متوازي الأضلاع
🟦 متى أستعملها: عندما يكون لديك متوازي أضلاع، أو يمكنك إثبات أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
  1. أبيّن أنّ الرباعي متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان).
  2. أستعمل خاصية: قطرا متوازي الأضلاع يتناصفان.
  3. أستنتج أنّ نقطة تقاطع القطرين هي منتصف كلٍّ منهما.
الطريقة 3 — مبرهنة طالس والنسبة 1/2
🟦 متى أستعملها: عندما يمكن حساب نسبة وإثبات أنّها تساوي \(\dfrac{1}{2}\).
  1. أطبّق مبرهنة طالس لإيجاد النسبة \(\dfrac{AM}{AB}\).
  2. أبيّن أنّ هذه النسبة تساوي \(\dfrac{1}{2}\).
  3. أستنتج أنّ M منتصف [AB].
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(D\) منتصف \([AB]\) والمستقيم المار من \(D\) الموازي لـ\((BC)\) يقطع \([AC]\) في \(E\). نبيّن أنّ \(E\) منتصف \([AC]\).
① \(D\) منتصف \([AB]\) (معطى).
② \((DE)\parallel(BC)\) (معطى).
③ حسب عكس مبرهنة مستقيم المنتصفين: المستقيم المار من منتصف ضلع وموازٍ لضلع ثانٍ يمرّ من منتصف الضلع الثالث.
④ إذن \(E\) منتصف \([AC]\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ الاكتفاء بالتوازي دون ذكر أنّ D منتصف — الشرطان معاً ضروريان.
⚠️ استعمال متوازي الأضلاع دون إثباته أوّلاً.
⚠️ الخلط بين الضلع [AC] والضلع [AB] في الاستنتاج.
📏 كيف أبيّن أنّ مستقيمين متوازيان؟
لإثبات أنّ \((MN)\parallel(BC)\)، اختر الطريقة المناسبة لمعطيات التمرين.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — عكس مبرهنة طالس
🟦 متى أستعملها: عندما تتوفّر نسب متساوية بين الأطوال.
  1. أتحقّق أنّ النقطتين M وN على نصفي المستقيمين الصادرين من نفس الرأس، من نفس الجهة.
  2. أبيّن تساوي النسبتين \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\).
  3. أستنتج حسب عكس طالس أنّ \((MN)\parallel(BC)\).
الطريقة 2 — مستقيم المنتصفين
🟦 متى أستعملها: عندما تكون M وN منتصفي ضلعين.
  1. أتحقّق أنّ M منتصف ضلع وN منتصف ضلع آخر.
  2. أستنتج مباشرة أنّ \((MN)\) يوازي الضلع الثالث.
الطريقة 3 — أضلاع متوازي الأضلاع
🟦 متى أستعملها: عندما يكون المستقيمان حاملين لضلعين متقابلين في متوازي أضلاع.
  1. أبيّن أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
  2. أستنتج أنّ الضلعين المتقابلين متوازيان.
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(M\in[AB]\) و\(N\in[AC]\) حيث \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{3}\). نبيّن أنّ \((MN)\parallel(BC)\).
① \(M\) و\(N\) على \([AB)\) و\([AC)\) من نفس الجهة بالنسبة لـ\(A\).
② \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) (معطى).
③ حسب عكس مبرهنة طالس.
④ إذن \((MN)\parallel(BC)\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ تطبيق العكس دون التأكّد أنّ النقطتين على نفس الجهة من الرأس.
⚠️ كتابة النسبة مقلوبة \(\dfrac{AB}{AM}\) بدل \(\dfrac{AM}{AB}\).
⚠️ الاكتفاء بتقريب النسبتين بدل إثبات تساويهما بالضبط.
➖ كيف أبيّن أنّ نقاطاً على استقامة واحدة؟
لإثبات أنّ نقاطاً مستقيمة، استعمل خاصية مركز الثقل أو التوازي المزدوج.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — مركز الثقل على الموسط
🟦 متى أستعملها: عندما تتعلّق النقاط بموسطات.
  1. أبيّن أنّ النقطة الوسطى تقع على موسط.
  2. بما أنّ مركز الثقل والرأس ومنتصف الضلع كلّها على نفس الموسط، فالنقاط مستقيمة.
الطريقة 2 — التوازي المزدوج من نقطة
🟦 متى أستعملها: عند وجود توازيين من نفس النقطة.
  1. أبيّن أنّ \((AB)\parallel(d)\) و\((AC)\parallel(d)\).
  2. بما أنّ من نقطة واحدة \(A\) لا يمرّ إلا موازٍ وحيد لـ\((d)\)، فإنّ \((AB)\) و\((AC)\) منطبقان.
  3. إذن \(A\) و\(B\) و\(C\) مستقيمة.
✍️ نموذج برهان محرّر
\(G\) مركز ثقل المثلث \(ABC\)، \(K\) منتصف \([BC]\). نبيّن أنّ \(A\) و\(G\) و\(K\) مستقيمة.
① \([AK]\) موسط لأنّ \(K\) منتصف \([BC]\).
② مركز الثقل \(G\) يقع على كلّ موسط، إذن \(G\in(AK)\).
③ إذن \(A\) و\(G\) و\(K\) على استقامة واحدة. ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ افتراض الاستقامة من الرسم دون برهان.
⚠️ نسيان خاصية وحدانية الموازي من نقطة في الطريقة 2.
📐 كيف أحسب أو أبيّن تساوي طولين؟
لحساب طول مجهول أو إثبات تساوي طولين، استعمل علاقة تناسب أو خاصية معروفة.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — مبرهنة طالس (مباشرة)
🟦 متى أستعملها: عند وجود توازٍ داخل مثلث.
  1. أتحقّق من التوازي وأكتب علاقة التناسب \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
  2. أعوّض بالقيم المعلومة.
  3. أحسب الطول المجهول.
الطريقة 2 — مستقيم المنتصفين
🟦 متى أستعملها: عند وجود منتصفين.
  1. أتحقّق أنّ الطرفين منتصفان.
  2. أطبّق \(MN=\dfrac{1}{2}BC\).
الطريقة 3 — النسبة 2/3 (مركز الثقل)
🟦 متى أستعملها: عند وجود مركز ثقل أو موسطات.
  1. أحدّد الموسط والنقطة المعنية.
  2. أطبّق \(AG=\dfrac{2}{3}AK\) أو \(GK=\dfrac{1}{3}AK\).
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(M\) منتصف \([AB]\) و\(N\) منتصف \([AC]\)، و\(BC=8\). نحسب \(MN\).
① \(M\) و\(N\) منتصفان (معطى).
② حسب مستقيم المنتصفين: \(MN=\dfrac{1}{2}BC\).
③ \(MN=\dfrac{1}{2}\times 8 = 4\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ نسيان التحقّق من التوازي قبل تطبيق طالس.
⚠️ نسيان القسمة على 2 في مستقيم المنتصفين.
⚠️ نسيان وحدة القياس في النتيجة.
⚖️ كيف أبيّن أنّ نقطة هي مركز ثقل مثلث؟
مركز الثقل هو نقطة تلاقي الموسطات. لإثبات أنّ G مركز ثقل، استعمل إحدى الطريقتين.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — تقاطع موسطين
🟦 متى أستعملها: الطريقة الأكثر استعمالاً.
  1. أبيّن أنّ \([AI]\) موسط (\(I\) منتصف \([BC]\)).
  2. أبيّن أنّ \([BJ]\) موسط (\(J\) منتصف \([AC]\)).
  3. \(G\) نقطة تقاطعهما، إذن هو مركز الثقل.
الطريقة 2 — النسبة 2/3
🟦 متى أستعملها: عندما تعرف موقع G على موسط.
  1. أحدّد الموسط [AK] (K منتصف الضلع المقابل).
  2. أبيّن أنّ \(AG=\dfrac{2}{3}AK\).
  3. أستنتج أنّ G مركز الثقل.
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(I\) منتصف \([BC]\) و\(J\) منتصف \([AC]\)، و\(G\) تقاطع \((AI)\) و\((BJ)\). نبيّن أنّ \(G\) مركز الثقل.
① \([AI]\) موسط لأنّ \(I\) منتصف \([BC]\).
② \([BJ]\) موسط لأنّ \(J\) منتصف \([AC]\).
③ \(G\) تقاطع موسطين.
④ إذن \(G\) مركز ثقل المثلث \(ABC\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ الخلط بين الموسط والارتفاع أو المنصّف.
⚠️ استعمال \(\dfrac{1}{3}\) بدل \(\dfrac{2}{3}\) انطلاقاً من الرأس.
⚠️ الاكتفاء بموسط واحد.
▱ كيف أبيّن أنّ رباعياً متوازي أضلاع؟
ثلاث طرق رئيسية لإثبات أنّ رباعياً متوازي أضلاع.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — ضلعان متقابلان
🟦 متى أستعملها: الأكثر استعمالاً مع مستقيم المنتصفين.
  1. أبيّن أنّ ضلعين متقابلين متوازيان.
  2. وأنّهما متقايسان (نفس الطول).
  3. أستنتج أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
الطريقة 2 — القطران يتناصفان
🟦 متى أستعملها: عند معرفة منتصف القطرين.
  1. أبيّن أنّ للقطرين نفس المنتصف.
  2. أستنتج أنّ الرباعي متوازي أضلاع.
الطريقة 3 — التوازي المزدوج
🟦 متى أستعملها: عند توفّر التوازي للضلعين.
  1. أبيّن أنّ الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى.
✍️ نموذج برهان محرّر
رباعي \(EBFD\) حيث \(E\) منتصف \([AD]\) و\(F\) منتصف \([BC]\) في متوازي أضلاع \(ABCD\). نبيّن أنّه متوازي أضلاع.
① في \(ABCD\): \([AD]\) و\([BC]\) متقابلان فهما متوازيان ومتقايسان.
② إذن \(ED\parallel BF\) و\(ED=BF\) (نصفان من ضلعين متقايسين).
③ رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان.
④ إذن \(EBFD\) متوازي أضلاع. ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ إثبات التوازي فقط دون التقايس في الطريقة 1.
⚠️ الخلط بين «يتناصفان» (للقطرين) و«متقايسان» (للأضلاع).
🔷 كيف أحدّد طبيعة مثلث أو رباعي؟
لتحديد الطبيعة، احسب الأطوال أو أثبت العلاقات (تقايس، توازٍ، تعامد) ثمّ استنتج.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — حساب الأطوال
🟦 متى أستعملها: عند توفّر إحداثيات أو أطوال.
  1. أحسب أطوال الأضلاع.
  2. أقارن: تساوي ضلعين ← متساوي الساقين؛ تحقّق فيثاغورس ← قائم.
الطريقة 2 — إثبات العلاقات
🟦 متى أستعملها: عند توفّر توازٍ أو تعامد.
  1. أبيّن العلاقات بين الأضلاع (توازٍ، تقايس، تعامد).
  2. أستنتج الطبيعة الدقيقة معلّلاً.
✍️ نموذج برهان محرّر
لتحديد طبيعة المثلث \(ABI\):
① أحسب \(AB\), \(AI\), \(BI\).
② أقارن: إن تساوى طولان فهو متساوي الساقين؛ إن تحقّقت \(AB^2=AI^2+BI^2\) فهو قائم في \(I\).
③ أستنتج الطبيعة معلّلاً. ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ إعطاء الطبيعة دون تعليل بالأطوال أو الزوايا.
⚠️ الاكتفاء بالرسم لتقدير الطبيعة.
📐 كيف أبيّن أنّ مثلثاً قائم الزاوية؟
طريقتان أساسيتان: منتصف الوتر، أو الدائرة المحيطة.
🔑 الطرق الممكنة
الطريقة 1 — منتصف الوتر
🟦 متى أستعملها: عندما تتوفّر نقطة متساوية البعد عن الرؤوس.
  1. أبيّن أنّ منتصف ضلع \(I\) متساوي البعد عن الرؤوس: \(IA=IB=IC\).
  2. حسب الخاصية العكسية: المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل للوتر.
  3. الوتر هو الضلع الذي \(I\) منتصفه.
الطريقة 2 — الدائرة المحيطة
🟦 متى أستعملها: عندما يكون ضلع قطراً لدائرة محيطة.
  1. أبيّن أنّ أحد الأضلاع قطر للدائرة المحيطة.
  2. أستنتج أنّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع قائمة.
✍️ نموذج برهان محرّر
في مثلث \(ABC\)، \(I\) منتصف \([BC]\) حيث \(IA=IB=IC\). نبيّن أنّه قائم الزاوية.
① \(I\) منتصف \([BC]\) ومتساوي البعد عن \(A,B,C\) (معطى).
② حسب الخاصية العكسية للمثلث القائم.
③ إذن \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ووتره \([BC]\). ∎
🚫 أخطاء يجب تجنّبها
⚠️ نسيان أنّ الزاوية القائمة عند الرأس المقابل للوتر.
⚠️ الخلط بين الخاصية المباشرة والعكسية.
↶ العودة إلى كلّ الفصول