نعتبر شبه منحرف ABCD قائم في A و D حيث (AB) // (CD)، AB = 5cm، DC = 6cm و AD = 4cm.
لتكن O نقطة تقاطع قطريه. H هو المسقط العمودي لـ O على AD.
للسؤال 1: استخدم نظرية طالس مرتين. بما أن \( (OH) // (AB) // (CD) \)، طبق النظرية أولاً في المثلث DAB ثم في المثلث ADC.
للسؤال 2: بعد حساب OH، استخدم إحدى النسب التي وجدتها في السؤال الأول لإيجاد AH.
1) في المثلث DAB، لدينا \( (OH) // (AB) \)، إذن حسب طالس: \( \frac{DH}{DA} = \frac{OH}{AB} \). (المعادلة 1)
في المثلث ADC، لدينا \( (OH) // (CD) \)، إذن حسب طالس: \( \frac{AH}{AD} = \frac{OH}{CD} \). (المعادلة 2)
اجمع المعادلتين (1) و (2) طرفاً بطرف. لاحظ أن \( AH + DH = AD \).
2) استخدم المعادلة 2: \( \frac{AH}{AD} = \frac{OH}{CD} \). لديك الآن قيم AD و CD و OH، يمكنك حساب AH مباشرة.
1) إثبات العلاقة وحساب OH:
من تطبيق طالس في المثلث DAB، نحصل على: \( \frac{DH}{DA} = \frac{OH}{AB} \).
ومن تطبيق طالس في المثلث ADC، نحصل على: \( \frac{AH}{AD} = \frac{OH}{CD} \).
بجمع العلاقتين: \( \frac{DH}{DA} + \frac{AH}{AD} = \frac{OH}{AB} + \frac{OH}{CD} \)
\( \frac{DH+AH}{DA} = OH \left( \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} \right) \)
\( \frac{AD}{DA} = 1 = OH \left( \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} \right) \)
إذن، \( \frac{1}{OH} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} \).
حساب OH: \( \frac{1}{OH} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{6+5}{30} = \frac{11}{30} \). إذن \( OH = \frac{30}{11} \) صم.
2) حساب AH:
نستخدم العلاقة \( \frac{AH}{AD} = \frac{OH}{CD} \):
\( \frac{AH}{4} = \frac{30/11}{6} = \frac{30}{66} = \frac{5}{11} \)
إذن، \( AH = 4 \times \frac{5}{11} = \frac{20}{11} \) صم.
نعتبر قطعة مستقيم [AC] حيث AC = 8cm و I منتصفها. لتكن B نقطة من [IC] حيث BC = 3cm.
1) احسب AI، IB و AB.
2) لتكن \( \mathcal{F} \) الدائرة التي مركزها I وتمر من A. المستقيم المار من C والموازي لـ(AB) يقطع الدائرة في M و N. المستقيم (AM) يقطع (BC) في P. بيّن أن P منتصف [BC].
(ملاحظة: تم تصحيح نص التمرين لضمان تماسكه المنطقي).
للسؤال 1: استخدم المعطيات مباشرة. I منتصف [AC] و AC=8. B نقطة على [IC].
للسؤال 2: الدائرة \( \mathcal{F} \) مركزها I وتمر من A، إذن نصف قطرها هو IA. بما أن (MN) يمر من C ويوازي (AB)، وهو عمودي على (IC)، فإن المثلث IMN متقايس الساقين و C منتصف [MN]. استخدم نظرية طالس في المثلث ABP مع المستقيم الموازي (CP).
1) احسب AI = AC/2. ثم احسب IC. استنتج IB = IC - BC. وأخيراً AB = AI + IB.
2) بيّن أن (AB) عمودي على (MN) في C. في المثلث IMN المتقايس الساقين في I، (IC) هو ارتفاع، إذن هو أيضاً موسط، وعليه C منتصف [MN].
في المثلث ABP، لدينا C نقطة من [AP] و B نقطة من [BP]. المستقيم (MC) يوازي (AB) لأن كلاهما عمودي على (AC). بتطبيق طالس: \( \frac{PC}{PA} = \frac{PB}{PB} = \frac{CB}{AB} \). بما أن \( \frac{CB}{AB} = \frac{3}{5} \)، فإن P ليست منتصف [BC]. يوجد خطأ آخر في التمرين.
تصحيح آخر: لنطبق طالس في المثلث AMP. لدينا \( C \in [AM], B \in [AP] \) و \( (CB) // (MP) \). هذا لا يساعد.
محاولة أخيرة: في المثلث AMC، لدينا \( I \in [AC] \) و \( P \in [AM] \). \( \frac{AI}{AC} = \frac{1}{2} \). لا يمكن الاستنتاج. التمرين الأصلي غير قابل للحل.
1) حساب الأبعاد:
بما أن I منتصف [AC] و AC=8، فإن AI = IC = 4 صم.
B على [IC] و BC = 3 صم. إذن IB = IC - BC = 4 - 3 = 1 صم.
AB = AI + IB = 4 + 1 = 5 صم.
2) إثبات أن P منتصف [BC]:
للأسف، بناءً على المعطيات المصححة، لا يمكن إثبات أن P هي منتصف [BC]. بتطبيق نظرية طالس في المثلث ABP مع المستقيم (MC) الموازي لـ(AB) (لأن كلاهما عمودي على AC)، نجد أن \( \frac{PC}{PA} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} \)، مما لا يسمح باستنتاج أن P منتصف [BC].
الاستنتاج: نص التمرين الأصلي يحتوي على تناقضات تجعله غير قابل للحل كما هو مقترح. الحلول المقدمة هنا مبنية على تصحيحات منطقية للمعطيات.