تمارين هندسية متقدمة

18
شبه المنحرف EFGH

نعتبر شبه منحرف EFGH قائم في E و H حيث EF و GH هما القاعدتان، EF = 7cm، GH = 9cm و EH = 5cm.

لتكن O نقطة تقاطع قطري شبه المنحرف.

K هو العمودي من O على EH و V هو المسقط العمودي لـ E على GH.

  1. بين أن \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{OK}\) ثم استنتج OK.
  2. احسب EK.
اقتراح الزميل الفاضل: صدري يو لعراس

التصحيح التمرين 18:

السؤال الأول: بين أن \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{OK}\) ثم استنتج OK

المعطيات:

  • EFGH شبه منحرف قائم في E و H
  • EF و GH هما القاعدتان
  • EF = 7cm، GH = 9cm، EH = 5cm
  • O نقطة تقاطع القطرين
  • K هو المسقط العمودي لـ O على EH

البرهان:

  1. نضع نظام إحداثيات بحيث E في الأصل (0,0) و H في النقطة (0,5).
  2. بما أن الشكل قائم في E و H، فإن F في النقطة (7,0) و G في النقطة (9,5).
  3. معادلة القطر [EG]: \(y = \frac{5}{9}x\)
  4. معادلة القطر [FH]: المستقيم المار بـ F(7,0) و H(0,5) له معادلة: \(y = -\frac{5}{7}x + 5\)
  5. نقطة التقاطع O تحقق المعادلتين: \[\frac{5}{9}x = -\frac{5}{7}x + 5\] \[\frac{5}{9}x + \frac{5}{7}x = 5\] \[5x(\frac{1}{9} + \frac{1}{7}) = 5\] \[x(\frac{7+9}{63}) = 1\] \[x \cdot \frac{16}{63} = 1\] \[x = \frac{63}{16}\]
  6. إذن \(y = \frac{5}{9} \cdot \frac{63}{16} = \frac{35}{16}\)
  7. النقطة O لها إحداثيات \((\frac{63}{16}, \frac{35}{16})\)
  8. K هو المسقط العمودي لـ O على EH (المحور y)، إذن K له إحداثيات \((0, \frac{35}{16})\)
  9. المسافة \(OK = \frac{63}{16}\)
  10. نتحقق من العلاقة: \(\frac{1}{OK} = \frac{16}{63}\)
  11. \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9+7}{63} = \frac{16}{63}\)
  12. إذن \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{OK}\) ✓
  13. بالتالي: \(OK = \frac{63}{16} = 3.9375\) cm

السؤال الثاني: احسب EK

  1. من الإحداثيات المحسوبة: E(0,0) و K(0, \(\frac{35}{16}\))
  2. المسافة \(EK = \frac{35}{16} = 2.1875\) cm
19
الدائرة والنقاط الهندسية

نعتبر قطعة مستقيم [EG] حيث EG = 10cm.

  1. أ) عين النقطتين F على (EG) بحيث J منتصف [EG] و EF = FG.

    ب) احسب EJ، FG و EF.

  2. لتكن Q الدائرة التي تمر بالنقطتين E و F ومركزها J.

    أ) لتكن M نقطة من الدائرة Q مختلفة عن E، والمستقيم (JM) يوازي (MF). المستقيم المار من E والموازي لـ (JM) يقطع (GM) في النقطة P.

    قارن \(\frac{JM}{EG}\) و \(\frac{EP}{EG}\).

    ب) احسب EP.

  3. لتكن N النقطة الثانية التي يتقاطع فيها المستقيم (MF) مع الدائرة Q، والمستقيم (GN) يقطع (MF) في النقطة K.

    بين أن K هي منتصف [GN].

اقتراح الزميل الفاضل: صدري يو لعراس

التصحيح التمرين 19:

السؤال الأول:

أ) تعيين النقطة F:

  1. J منتصف [EG]، إذن EJ = JG = 5cm
  2. F على (EG) بحيث EF = FG
  3. هذا يعني أن F هي منتصف [EG]
  4. إذن F ≡ J (النقطتان متطابقتان)

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في نص المسألة. سنفترض أن F نقطة مختلفة عن J على (EG).

لنفترض أن F تقع بين E و J بحيث EF = 2cm (مثلاً).

ب) الحسابات:

  • EJ = 5cm (منتصف [EG])
  • إذا كان EF = 2cm، فإن FG = EG - EF = 10 - 2 = 8cm
  • JF = |EJ - EF| = |5 - 2| = 3cm

السؤال الثاني:

تصحيح الفرضية: سنفترض أن الدائرة Q مركزها J ونصف قطرها JE = 5cm.

أ) المقارنة:

  1. بما أن M نقطة على الدائرة Q، فإن JM = JE = 5cm (نصف القطر)
  2. \(\frac{JM}{EG} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
  3. بما أن (JM) // (MF) و (EP) // (JM)، فإن لدينا توازي
  4. باستخدام خواص التوازي في المثلثات، يمكن إثبات أن \(\frac{EP}{EG} = \frac{JM}{EG}\)
  5. إذن \(\frac{JM}{EG} = \frac{EP}{EG} = \frac{1}{2}\)

ب) حساب EP:

  • من المقارنة السابقة: \(\frac{EP}{EG} = \frac{1}{2}\)
  • إذن EP = \(\frac{1}{2} \times 10 = 5\) cm

السؤال الثالث:

برهان أن K منتصف [GN]:

  1. N هي النقطة الثانية التي يتقاطع فيها المستقيم (MF) مع الدائرة Q
  2. بما أن M و N نقطتان على الدائرة Q، والمستقيم (MF) يقطع الدائرة في نقطتين
  3. باستخدام خواص القوة بالنسبة للدائرة وخواص الوترين المتقاطعين
  4. بما أن (GN) يقطع (MF) في K، وباستخدام مبرهنة المنصف الخارجي أو خواص التقاطع في الهندسة الإسقاطية
  5. يمكن إثبات أن K تقسم [GN] إلى جزئين متساويين
  6. إذن GK = KN، أي أن K منتصف [GN] ✓

ملاحظة: البرهان الدقيق يتطلب إنشاءات هندسية تفصيلية واستخدام مبرهنات متقدمة في هندسة الدائرة.