تمارين حول مبرهنة طالس

شبه منحرف قائم

تمرين 1

$ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ حيث $AB=3$ و $CD=4$ و $AD = \frac{5}{2}$. لتكن $E$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(BD)$ و لتكن $F$ مسقطها العمودي على $(AD)$.

1. بيّن أن: $\frac{DF}{DA} = \frac{EF}{AB}$
2. بيّن أن: $\frac{AF}{AD} = \frac{EF}{CD}$
3. استنتج أن: $\frac{EF}{AB} + \frac{EF}{CD} = 1$
المستقيم $(EF)$ يقطع $(BC)$ في النقطة $G$. بيّن أن النقطة $E$ منتصف $[FG]$.
أحسب $EF$ و $FG$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المفتاح الرئيسي لحل هذا التمرين هو مبرهنة طالس.

بما أن $ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$، ماذا يمكنك أن تستنتج عن علاقة المستقيم $(AD)$ بالقاعدتين $(AB)$ و $(CD)$?
بما أن $F$ هي المسقط العمودي لـ $E$ على $(AD)$، ما هي وضعية المستقيم $(EF)$ بالنسبة للقاعدتين؟
ابحث عن المثلثات المناسبة لتطبيق مبرهنة طالس للحصول على النسب المطلوبة.

📝 الطريقة

1) إثبات العلاقات:

أولاً: بيّن أن $(EF)$ يوازي $(AB)$ و $(CD)$. بما أن $(AD) \perp (AB)$ و $(AD) \perp (CD)$ (شبه منحرف قائم)، وبما أن $(EF) \perp (AD)$ (تعريف المسقط العمودي)، فإن المستقيمات الثلاثة متوازية.
أ) في المثلث $DAB$، لديك $(EF) // (AB)$. طبّق مبرهنة طالس.
ب) في المثلث $ADC$، لديك $(EF) // (CD)$. طبّق مبرهنة طالس.
ج) اجمع العلاقتين اللتين وجدتهما. لاحظ أن $DF + AF = AD$. استخدم هذه الحقيقة لتبسيط المعادلة والوصول إلى النتيجة.

2) إثبات أن E منتصف [FG]:

استخدم مبرهنة طالس مرتين:
- في المثلث $ABC$، المستقيم المار من $E$ والموازي لـ $(AB)$ يقطع $(BC)$ في $G$. اكتب النسبة المتعلقة بـ $EG$.
- في المثلث $ADC$، لديك $(EF) // (CD)$. اكتب النسبة المتعلقة بـ $EF$.
استخدم حقيقة أن $AE+EC = AC$ للربط بين النسبتين وإثبات أن $EF = EG$.

3) الحساب:

استخدم العلاقة من السؤال 1.ج لحساب $EF$.
استخدم نتيجة السؤال 2 لحساب $FG$.

✅ الحل الكامل

1.أ) إثبات $\frac{DF}{DA} = \frac{EF}{AB}$:

لدينا $(EF) // (AB)$ E ∈ (BD) F ∈ (AD) . بتطبيق مبرهنة طالس في المثلث $DAB$، نجد:

$$\frac{DE}{DB} = \frac{DF}{DA} = \frac{EF}{AB}$$

1.ب) إثبات $\frac{AF}{AD} = \frac{EF}{CD}$:

لدينا $(EF) // (CD)$ E ∈ (AC) F ∈ (AD). بتطبيق مبرهنة طالس في المثلث $ADC$، نجد:

$$\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD} = \frac{EF}{CD}$$

1.ج) استنتاج أن $\frac{EF}{AB} + \frac{EF}{CD} = 1$:

من العلاقتين السابقتين، لدينا $DF = DA \cdot \frac{EF}{AB}$ و $AF = AD \cdot \frac{EF}{CD}$.

بجمع المعادلتين: $AF + DF = AD \cdot \frac{EF}{CD} + DA \cdot \frac{EF}{AB}$

بما أن $AF + DF = AD$، تصبح المعادلة: $AD = AD \left( \frac{EF}{AB} + \frac{EF}{CD} \right)$. بالقسمة على $AD$ نحصل على:

$$1 = \frac{EF}{AB} + \frac{EF}{CD}$$

2) إثبات أن E منتصف [FG]:

لدينا $AE/AC + CE/AC = (AE+CE)/AC = AC/AC = 1$.
من طالس في $ADC$، لدينا $AE/AC = EF/CD$.
من طالس في $ABC$ (مع $(EG)//(AB)$)، لدينا $CE/CA = EG/AB$.
بالتعويض في المعادلة الأولى: $EF/CD + EG/AB = 1$.
لكننا أثبتنا في 1.ج أن $EF/CD + EF/AB = 1$.
بالمقارنة، نجد أن $EG/AB = EF/AB$، وهو ما يعني $EG = EF$. إذن $E$ هي منتصف $[FG]$.

3) حساب EF و FG:

نعوض بالقيم العددية في علاقة 1.ج:

$$\frac{EF}{3} + \frac{EF}{4} = 1$$ $$EF \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = 1$$ $$EF \left( \frac{4+3}{12} \right) = 1 \implies EF \cdot \frac{7}{12} = 1 \implies EF = \frac{12}{7}$$

بما أن $E$ منتصف $[FG]$، فإن $FG = 2 \cdot EF$.

$$FG = 2 \cdot \frac{12}{7} = \frac{24}{7}$$

مثلث و متوازيات

تمرين 2

وحدة قيس الطول هي الصنتمتر. $ABC$ مثلث حيث $AC=6$ و $BC=4$. لتكن $M$ نقطة من $[BC]$ حيث $CM=3$. المستقيم المار من $M$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(AB)$ في $E$. والمستقيم المار من $M$ والموازي لـ $(AB)$ يقطع $(AC)$ في $F$.

قارن بين النسبتين: $\frac{AE}{AB}$ و $\frac{CM}{CB}$.
قارن بين النسبتين: $\frac{AF}{AC}$ و $\frac{BM}{BC}$.
استنتج أن: $\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} = 1$.
أحسب الطول $AF$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحظ أن المعطيات تُنشئ متوازي أضلاع داخل المثلث.

ما هي طبيعة الرباعي $AEMF$؟ كيف يساعدك ذلك في ربط الأطوال $AE$ و $AF$ بأطوال أخرى؟
مبرهنة طالس هي الأداة الأساسية هنا. طبّقها مرتين، مرة لكل زوج من المستقيمات المتوازية.
لا تنس حساب طول القطعة $[BM]$.

📝 الطريقة

طبيعة الرباعي AEMF:

لدينا $(ME) // (AF)$ (لأن $(ME)//(AC)$).
لدينا $(MF) // (AE)$ (لأن $(MF)//(AB)$).
إذن، الرباعي $AEMF$ هو متوازي أضلاع. نستنتج أن $AE=MF$ و $AF=ME$.

1) مقارنة $\frac{AE}{AB}$ و $\frac{CM}{CB}$:

استخدم حقيقة أن $AE = MF$.
طبّق مبرهنة طالس في المثلث $CBA$ مع المستقيمين المتوازيين $(MF)$ و $(AB)$ لإيجاد نسبة تساوي $\frac{MF}{AB}$.
قارن النتائج.

2) مقارنة $\frac{AF}{AC}$ و $\frac{BM}{BC}$:

استخدم حقيقة أن $AF = ME$.
طبّق مبرهنة طالس في المثلث $BCA$ مع المستقيمين المتوازيين $(ME)$ و $(AC)$ لإيجاد نسبة تساوي $\frac{ME}{AC}$.
قارن النتائج. لا تنس حساب $BM$ أولاً.

3) الاستنتاج:

استخدم المساواة التي أثبتها في السؤالين 1 و 2.
اجمع النسبتين $\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC}$ وقم بتبسيط المجموع.

4) حساب AF:

استخدم العلاقة من السؤال 2 وعوض بالقيم العددية المعطاة.

✅ الحل الكامل

ملاحظة: تم توضيح أسئلة التمرين لتشكيل مسألة منطقية ومتدرجة، بناءً على المعطيات الهندسية.

بما أن $(ME)//(AC)$ و $(MF)//(AB)$، فإن الرباعي $AEMF$ متوازي أضلاع، ومنه $AE=MF$ و $AF=ME$.

1) مقارنة $\frac{AE}{AB}$ و $\frac{CM}{CB}$:

في المثلث $CBA$، لدينا $(MF)//(AB)$ M ∈ (BC) F ∈ (AC). حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{CF}{CA} = \frac{MF}{AB}$$

بما أن $AE = MF$، يمكننا تعويض $MF$ بـ $AE$ في النسبة الأخيرة:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{AE}{AB}$$

إذن، النسبتان متساويتان.

2) مقارنة $\frac{AF}{AC}$ و $\frac{BM}{BC}$:

أولاً، نحسب $BM$: $BM = BC - CM = 4 - 3 = 1$ سم.

في المثلث $BCA$، لدينا $(ME)//(AC)$ E ∈ (BA) M ∈ (BC) . حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{BM}{BC} = \frac{BE}{BA} = \frac{ME}{AC}$$

بما أن $AF = ME$، يمكننا تعويض $ME$ بـ $AF$:

$$\frac{BM}{BC} = \frac{AF}{AC}$$

إذن، النسبتان متساويتان.

3) استنتاج أن $\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} = 1$:

نعلم من السؤالين السابقين أن $\frac{AE}{AB} = \frac{CM}{CB}$ و $\frac{AF}{AC} = \frac{BM}{BC}$.

لنجمع الطرفين الأيمنين:

$$\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = \frac{CM+BM}{CB} = \frac{BC}{BC} = 1$$

إذن، نستنتج أن:

$$\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} = 1$$

4) حساب الطول AF:

نستخدم العلاقة من السؤال 2: $\frac{AF}{AC} = \frac{BM}{BC}$

نعوض بالقيم المعلومة: $AC=6$, $BM=1$, $BC=4$.

$$\frac{AF}{6} = \frac{1}{4}$$ $$AF = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$

إذن، طول $AF$ هو 1.5 سم.