تمارين على المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعي مثلث

دفواراتي
تطبيق مباشر للنظرية
تمرين 1

في المثلث ABC، ليكن M منتصف [AB] و N منتصف [AC]. إذا كان \(BC = 14 \text{cm}\)، فما طول [MN]؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر النظرية الأساسية: المستقيم المار بمنتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث، وطوله يساوي نصف طول الضلع الثالث.

📝 الطريقة

1. حدد المثلث وهو ABC.

2. تحقق من الشروط: M منتصف [AB] و N منتصف [AC].

3. طبق نظرية "مستقيم المنتصفين": \(MN = \frac{1}{2} BC\).

4. عوض بالقيمة المعطاة لـ BC وقم بالحساب.

✅ الحل الكامل

في المثلث ABC:

  • لدينا M منتصف الضلع [AB].
  • ولدينا N منتصف الضلع [AC].

حسب نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعي مثلث، فإن:

(MN) // (BC) \quad \text{و} \quad MN = \frac{1}{2} BC

بما أن \(BC = 14 \text{cm}\)، فإن:

MN = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \text{ cm}
تطبيق عكسي للنظرية
تمرين 2

في المثلث DEF، النقطة G منتصف [DE] والنقطة H منتصف [DF]. إذا كان \(GH = 6 \text{cm}\)، فما طول [EF]؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

العلاقة \(GH = \frac{1}{2} EF\) تظل صحيحة. هذه المرة، المجهول هو EF.

📝 الطريقة

1. حدد المثلث وهو DEF.

2. تحقق من الشروط: G منتصف [DE] و H منتصف [DF].

3. طبق نظرية "مستقيم المنتصفين": \(GH = \frac{1}{2} EF\), مما يعني أن \(EF = 2 \times GH\).

4. عوض بالقيمة المعطاة لـ GH وقم بالحساب.

✅ الحل الكامل

في المثلث DEF:

  • لدينا G منتصف الضلع [DE].
  • ولدينا H منتصف الضلع [DF].

حسب نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعي مثلث، فإن:

GH = \frac{1}{2} EF

لإيجاد طول EF، نضرب طرفي المعادلة في 2:

EF = 2 \times GH

بما أن \(GH = 6 \text{cm}\)، فإن:

EF = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}
دمج مع نظرية فيثاغورس
تمرين 3

في المثلث القائم ABC في A، M منتصف [AB] و N منتصف [AC]. إذا كان \(AB = 8 \text{cm}\) و \(AC = 6 \text{cm}\)، أحسب طول MN ومساحة المثلث AMN.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لطول MN: طول MN يعتمد على طول BC. كيف تحسب طول BC في مثلث قائم؟

لمساحة AMN: ما هي أطوال ضلعي الزاوية القائمة في المثلث AMN؟

📝 الطريقة

حساب طول MN:

  1. استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث ABC لحساب طول الوتر [BC]: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
  2. طبق نظرية "مستقيم المنتصفين" لإيجاد MN: \(MN = \frac{1}{2} BC\).

حساب مساحة المثلث AMN:

  1. احسب طول AM: \(AM = \frac{1}{2} AB\).
  2. احسب طول AN: \(AN = \frac{1}{2} AC\).
  3. المثلث AMN قائم في A (لأن M على [AB] و N على [AC]).
  4. احسب المساحة: \(\text{Area}(AMN) = \frac{AM \times AN}{2}\).

✅ الحل الكامل

1. حساب طول MN:

المثلث ABC قائم في A. حسب نظرية فيثاغورس:

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

في المثلث ABC، M منتصف [AB] و N منتصف [AC]. حسب نظرية مستقيم المنتصفين:

MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ cm}

2. حساب مساحة المثلث AMN:

بما أن M منتصف [AB] و N منتصف [AC]:

AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \text{ cm}
AN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ cm}

المثلث AMN قائم في A. مساحته هي:

\text{Area}(AMN) = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{AM \times AN}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ cm}^2
العلاقة بين المحيطات
تمرين 4

في المثلث ABC، المستقيم (DE) يصل بين منتصفي [AB] و [AC]. إذا كان محيط المثلث ADE يساوي 18cm، فما محيط المثلث ABC؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي العلاقة بين أضلاع المثلث ADE وأضلاع المثلث ABC؟ استخدم هذه العلاقات لإيجاد علاقة بين محيطيهما.

📝 الطريقة

1. عبر عن أضلاع المثلث ADE بدلالة أضلاع المثلث ABC:

  • \(AD = \frac{1}{2} AB\) (لأن D منتصف [AB])
  • \(AE = \frac{1}{2} AC\) (لأن E منتصف [AC])
  • \(DE = \frac{1}{2} BC\) (نظرية مستقيم المنتصفين)

2. اكتب صيغة محيط المثلث ADE: \(\text{P}(ADE) = AD + AE + DE\).

3. عوض بالأضلاع بدلالة ABC: \(\text{P}(ADE) = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BC\).

4. استخرج \(\frac{1}{2}\) كعامل مشترك ولاحظ العلاقة مع محيط ABC.

✅ الحل الكامل

لدينا D منتصف [AB] و E منتصف [AC].

أضلاع المثلث ADE هي:

AD = \frac{1}{2} AB
AE = \frac{1}{2} AC
DE = \frac{1}{2} BC \quad (\text{حسب نظرية مستقيم المنتصفين})

محيط المثلث ADE هو:

\text{P}(ADE) = AD + AE + DE = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BC

بأخذ \(\frac{1}{2}\) كعامل مشترك:

\text{P}(ADE) = \frac{1}{2} (AB + AC + BC)

وبما أن \(AB + AC + BC\) هو محيط المثلث ABC، فإن:

\text{P}(ADE) = \frac{1}{2} \text{P}(ABC)

لدينا \(\text{P}(ADE) = 18 \text{ cm}\)، إذن:

\text{P}(ABC) = 2 \times \text{P}(ADE) = 2 \times 18 = 36 \text{ cm}
تطبيق على شبه المنحرف
تمرين 5

في شبه المنحرف ABCD حيث \((AB) // (CD)\)، النقطة M منتصف [AD] والنقطة N منتصف [BC]. أثبت أن \(MN = \frac{AB + CD}{2}\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ارسم القطر [AC]. لتكن P نقطة تقاطع [AC] و [MN]. طبق نظرية مستقيم المنتصفين مرتين، مرة في المثلث ADC ومرة في المثلث ABC.

📝 الطريقة

1. ارسم القطر [AC]. لتكن P نقطة تقاطع [MN] و [AC].

2. في المثلث ADC:

  • M منتصف [AD].
  • نعلم أن (MN) يوازي القاعدتين (AB) و (CD). إذن (MP) // (CD).
  • حسب عكس نظرية المنتصفين، المستقيم المار من منتصف ضلع ومواز لآخر يقطع الضلع الثالث في منتصفه. إذن P منتصف [AC].
  • الآن، حسب نظرية مستقيم المنتصفين، \(MP = \frac{1}{2} CD\).

3. في المثلث ABC:

  • N منتصف [BC] و P منتصف [AC].
  • حسب نظرية مستقيم المنتصفين، \(PN = \frac{1}{2} AB\).

4. الاستنتاج:

  • لدينا \(MN = MP + PN\).
  • عوض بالنتائج السابقة: \(MN = \frac{1}{2} CD + \frac{1}{2} AB\).

✅ الحل الكامل

نرسم القطر [AC] الذي يقطع [MN] في النقطة P.

1. في المثلث ADC:

لدينا M منتصف [AD]. وبما أن [MN] هي القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه منحرف، فإنها توازي القاعدتين. إذن \((MP) // (CD)\).

في المثلث ADC، المستقيم (MP) يمر من منتصف الضلع [AD] ويوازي الضلع [CD]، إذن فهو يقطع الضلع الثالث [AC] في منتصفه P. وحسب نظرية مستقيم المنتصفين، فإن:

MP = \frac{1}{2} CD

2. في المثلث ABC:

لدينا N منتصف [BC] و P منتصف [AC]. حسب نظرية مستقيم المنتصفين، فإن:

PN = \frac{1}{2} AB

3. الاستنتاج:

النقط M, P, N على استقامة واحدة. إذن \(MN = MP + PN\).

بالتعويض، نجد:

MN = \frac{1}{2} CD + \frac{1}{2} AB = \frac{AB + CD}{2}

وهو المطلوب إثباته.