تمارين نظرية طاليس - المستوى المتقدم - الجزء 2

التمرين 17

نظرية طاليس في الرباعي

في الرسم التالي: BACD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [DC] حيث:

$$DC = 8\text{cm}, \; BC = 10\text{cm}, \; BD = 6\text{cm}$$

1) ليكن O منتصف [BD] و J منتصف [BC]

د- بيّن أن $(DC) \parallel (OJ)$

هـ- المستقيم (OJ) يقطع (AC) في J

بيّن أن J منتصف [AC]

2) M نقطة من [BC] حيث CM = 7cm. المستقيم الموازي لـ (BD) والمار من M يقطع (DC) في N

أحسب MN و CN

3) المستقيم (DM) يقطع (AB) في النقطة E. أحسب BE

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1 (د):

• O منتصف [BD]

• J منتصف [BC]

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط في المثلث BDC

• إذا كان O و J منتصفين، فإن (OJ) ∥ (DC)

للسؤال 1 (هـ):

• (OJ) ∥ (DC) أثبتنا ذلك

• (OJ) يقطع (AC) في I

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط مرة أخرى

للسؤال 2:

• CM = 7, BC = 10

• BM = 10 - 7 = 3

• (MN) ∥ (BD)

• استخدم نظرية طاليس في المثلث BDC

للسؤال 3:

• (DM) يقطع (AB) في E

• استخدم خصائص شبه المنحرف

• طبق نظرية طاليس

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• BACD شبه منحرف

• DC = 8 cm, BC = 10 cm, BD = 6 cm

• (AB) ∥ (DC)

1) د- إثبات (DC) ∥ (OJ):

في المثلث BDC:

• O منتصف [BD]: BO = OD = 3 cm

• J منتصف [BC]: BJ = JC = 5 cm

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

إذا كان منتصفا ضلعين في مثلث متصلان بمستقيم:

فإن هذا المستقيم يوازي الضلع الثالث

$$(OJ) \parallel (DC)$$

وأيضاً:

$$OJ = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$$

1) هـ- إثبات أن I منتصف [AC]:

في المثلث ADC:

• (OJ) ∥ (DC) (أثبتنا ذلك)

• I على (AC)

• O على القطر (BD)

بما أن (OJ) يوازي (DC) و O منتصف:

حسب نظرية المستقيم الأوسط العكسية:

$$I \text{ منتصف } [AC]$$

2) حساب MN و CN:

في المثلث BDC مع (MN) ∥ (BD):

• CM = 7, BC = 10

• BM = 3

نطبق نظرية طاليس:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CD} = \frac{MN}{BD}$$

$$\frac{7}{10} = \frac{CN}{8} = \frac{MN}{6}$$

حساب CN:

$$CN = \frac{7 \times 8}{10} = \frac{56}{10} = 5.6 \text{ cm}$$

حساب MN:

$$MN = \frac{7 \times 6}{10} = \frac{42}{10} = 4.2 \text{ cm}$$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• BACD شبه منحرف: (AB) ∥ (DC)

• DC = 8 cm, BC = 10 cm, BD = 6 cm

1) د- إثبات (DC) ∥ (OJ):

في المثلث BDC:

• O منتصف [BD]: BO = OD = 6/2 = 3 cm

• J منتصف [BC]: BJ = JC = 10/2 = 5 cm

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث

$$(OJ) \parallel (DC) \quad ✓$$

وطول المستقيم الأوسط:

$$OJ = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$$

1) هـ- إثبات أن I منتصف [AC]:

في المثلث ADC:

• المستقيم (OJ) يقطع (AC) في I

• (OJ) ∥ (DC) (أثبتنا ذلك)

بما أن (OJ) يوازي (DC) ويقطع الأقطار:

وبتطبيق خصائص شبه المنحرف والمنتصفات:

$$I \text{ منتصف } [AC] \quad ✓$$

2) حساب MN و CN:

المعطيات:

• M على [BC] حيث CM = 7 cm

• BM = BC - CM = 10 - 7 = 3 cm

• (MN) ∥ (BD)

• N على (DC)

في المثلث BDC مع (MN) ∥ (BD):

نطبق نظرية طاليس:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CD} = \frac{MN}{BD}$$

التعويض:

$$\frac{7}{10} = \frac{CN}{8} = \frac{MN}{6}$$

حساب CN:

$$CN = \frac{7 \times 8}{10} = \frac{56}{10} = 5.6 \text{ cm}$$

حساب MN:

$$MN = \frac{7 \times 6}{10} = \frac{42}{10} = 4.2 \text{ cm}$$

3) حساب BE:

المعطى:

• (DM) يقطع (AB) في E

في شبه المنحرف BACD:

• (AB) ∥ (DC)

• M على [BC] حيث CM = 7 cm

بتطبيق نظرية طاليس في الشكل:

$$\frac{BE}{DC} = \frac{BM}{BC}$$

$$\frac{BE}{8} = \frac{3}{10}$$

$$BE = \frac{3 \times 8}{10} = \frac{24}{10} = 2.4 \text{ cm}$$

الإجابات النهائية:

• (OJ) ∥ (DC) ✓

• I منتصف [AC] ✓

• CN = 5.6 cm

• MN = 4.2 cm

• BE = 2.4 cm

التمرين 18

نظرية طاليس - تطبيق شامل

ليكن المثلث ABC حيث:

$$AM = 2 \text{ حيث M من } [AB], \; BC = 3.5, \; AC = 4, \; AB = 5$$

1) ارسم مثلثاً ABC

2) المستقيم المار من M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N

د- أحسب AN و MN

3) ليكن E و F نقطتان على [AB] متناظرتان بالنسبة إلى B و بالنسبة إلى C

بيّن أن $(EF) \parallel (BC)$ و أن $EF = 7$

4) ليكن K نقطة من [EF] بحيث FK = 2، المستقيم (AK) يقطع (BC) في I

د- بيّن أن I منتصف [AK]

هـ- أحسب IC

5) المستقيم (BK) يقطع (MN) في H. بيّن أن MH = 3

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 2:

• (MN) ∥ (BC)

• M على [AB] حيث AM = 2

• AB = 5, AC = 4, BC = 3.5

• استخدم نظرية طاليس

للسؤال 3:

• E و F متناظران بالنسبة لـ B و C

• هذا يعني أن B منتصف و C منتصف

• استخدم خصائص التناظر

للسؤال 4:

• K على [EF] حيث FK = 2

• (AK) يقطع (BC) في I

• استخدم نظرية طاليس

للسؤال 5:

• (BK) يقطع (MN) في H

• استخدم خصائص التوازي

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• مثلث ABC: AB = 5, AC = 4, BC = 3.5

• M على [AB] حيث AM = 2

• MB = 5 - 2 = 3

2) حساب AN و MN:

في المثلث ABC مع (MN) ∥ (BC):

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

$$\frac{2}{5} = \frac{AN}{4} = \frac{MN}{3.5}$$

حساب AN:

$$AN = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \text{ cm}$$

حساب MN:

$$MN = \frac{2 \times 3.5}{5} = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ cm}$$

3) إثبات (EF) ∥ (BC) و EF = 7:

بما أن E و F متناظران بالنسبة لـ B و C:

• B منتصف [AE]

• C منتصف [AF]

في المثلث AEF:

• B منتصف [AE]

• C منتصف [AF]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(BC) \parallel (EF)$$

وأيضاً:

$$EF = 2 \times BC = 2 \times 3.5 = 7 \text{ cm}$$

✅ الحل النهائي

Solution complète disponible avec tous les détails des calculs.

Réponses finales:

• AN = 1.6 cm

• MN = 1.4 cm

• (EF) ∥ (BC)

• EF = 7 cm

• I milieu de [AK]

• MH = 3 cm

التمرين 19

وضعية الطول في المستقيم - المستوى العالي

ليكن مثلثاً ABC بحيث:

$$AB = 6, \; AC = 8, \; BC = 9, \; AE = 4$$

E نقطة من [AB]

المستقيم المار من E والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في F

1) د- أحسب EF

هـ- بيّن أن:

$$FC = \frac{8}{3}$$

2) ليكن النقطة M منتصف [AE]

المستقيم المار من M والموازي لـ (AC) يقطع (EF) في I و يقطع (BC) في N

د- بيّن أن I منتصف [EF] ثم أحسب MI

هـ- أحسب MI ثم استنتج أن MENF متوازي أضلاع

3) المستقيم (AN) يقطع (EF) في O

د- بيّن أن:

$$\frac{OF}{OE} = \frac{1}{2}$$

هـ- استنتج أن EF = 3OF

هـ- أحسب OF

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• (EF) ∥ (BC)

• E على [AB] حيث AE = 4, AB = 6

• BE = 6 - 4 = 2

• استخدم نظرية طاليس لحساب EF و FC

للسؤال 2:

• M منتصف [AE]

• (MI) ∥ (AC)

• I على (EF)

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط

للسؤال 3:

• (AN) يقطع (EF) في O

• استخدم نظرية طاليس المتكررة

• حدد النسب بين الأجزاء المختلفة

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• مثلث ABC: AB = 6, AC = 8, BC = 9

• E على [AB] حيث AE = 4

• BE = 2

• (EF) ∥ (BC)

1) د- حساب EF:

في المثلث ABC مع (EF) ∥ (BC):

$$\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC}$$

$$\frac{4}{6} = \frac{EF}{9}$$

$$EF = \frac{4 \times 9}{6} = \frac{36}{6} = 6 \text{ cm}$$

1) هـ- حساب FC:

من نظرية طاليس:

$$\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$AF = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \text{ cm}$$

$$FC = AC - AF = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3} \text{ cm}$$

2) إثبات وحسابات MENF:

في المثلث AEF:

• M منتصف [AE]

• (MI) ∥ (AC) وبالتالي (MI) ∥ (AF)

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$I \text{ منتصف } [EF]$$

$$MI = \frac{AF}{2} = \frac{16/3}{2} = \frac{8}{3} \text{ cm}$$

✅ الحل النهائي

Solution complète avec tous les calculs détaillés.

Réponses finales:

• EF = 6 cm

• FC = 8/3 cm ≈ 2.67 cm

• I milieu de [EF]

• MI = 8/3 cm

• MENF est un parallélogramme

• OF/OE = 1/2

• EF = 3OF

• OF = 2 cm

دليل شامل - تمارين متقدمة في نظرية طاليس

📐 نظرية طاليس

📏 نظرية المستقيم الأوسط

🔍 طرق الحل

تمارين نظرية طاليس - المستوى المتقدم - الجزء 2 - Code 55

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي