$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AD=6cm}$ و $\mathbf{AB=8cm}$ و $\mathbf{CD=4cm}$. يتقاطع قطراه $\mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{[BD]}$ في $\mathbf{O}$.
1) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}}$ ثمّ استنتج أنّ $\mathbf{O}$ تقسم المسافة $\mathbf{[BD]}$ بنسبة معلومة.
2) لتكن $\mathbf{E}$ نقطة تقاطع المستقيمين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$ . احسب $\mathbf{EA}$.
للسؤال 1: استعمل مبرهنة طالس في وضعية الفراشة (مثلثان) لتحديد التناسب، مع الانتباه لشرط التوازي.
• تذكر أن شبه المنحرف $\mathbf{ABCD}$ قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ يعني أن $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
للسؤال 2: استعمل مبرهنة طالس في وضعية المثلث (الرأس $\mathbf{E}$)، مع استخدام العلاقة $\mathbf{ED = EA + AD}$.
1) إثبات التناسب في وضعية الفراشة (تقاطع القطرين):
النقاط $\mathbf{A}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{C}$ على استقامة واحدة.
النقاط $\mathbf{B}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{D}$ على استقامة واحدة.
لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$ لأن $\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم.
إذن، نستنتج التناسب: $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}}$
2) حساب $\mathbf{EA}$ في وضعية المثلث (الرأس $\mathbf{E}$):
• نطبق مبرهنة طالس على المثلث $\mathbf{EDC}$ والمستقيم $\mathbf{(AB)}$.
• نستخدم العلاقة $\mathbf{\frac{EA}{ED} = \frac{AB}{DC}}$ للتعويض والحساب.
1) إثبات التناسب:
النقاط $\mathbf{A}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{C}$ و $\mathbf{B}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{D}$ على استقامة واحدة.
المستقيمان $\mathbf{(AB)}$ و $\mathbf{(CD)}$ متوازيان (لأنهما قاعدتا شبه المنحرف).
حسب مبرهنة طالس في وضعية الفراشة:
الاستنتاج:
لدينا $\mathbf{\frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{8}{4} = 2}$
إذن $\mathbf{OB = 2 \times OD}$. النقطة $\mathbf{O}$ تقسم القطعة $\mathbf{[BD]}$ بنسبة $2$.
2) حساب $\mathbf{EA}$:
النقاط $\mathbf{E}$، $\mathbf{A}$، $\mathbf{D}$ على استقامة واحدة.
النقاط $\mathbf{E}$، $\mathbf{B}$، $\mathbf{C}$ على استقامة واحدة.
لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
حسب مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{EDC}$:
الحساب:
نعوض بالقيم: $\mathbf{\frac{EA}{ED} = \frac{8}{4} = 2}$
لدينا $\mathbf{ED = EA + AD}$. ونعلم أن $\mathbf{AD = 6cm}$.
إذن $\mathbf{\frac{EA}{EA + 6} = 2}$
$\mathbf{EA = 2 \times (EA + 6)}$
$\mathbf{EA = 2EA + 12}$
$\mathbf{EA - 2EA = 12}$
$\mathbf{-EA = 12}$
بما أن الطول يجب أن يكون موجباً، يجب أن تكون النقطة $\mathbf{D}$ بين $\mathbf{E}$ و $\mathbf{A}$ (وهو التفسير المنطقي لوضعية شبه المنحرف) أي $\mathbf{EA = ED + DA}$.
التفسير الصحيح: $\mathbf{A}$ تقع بين $\mathbf{E}$ و $\mathbf{D}$ يعني $\mathbf{ED = EA + AD}$ . التفسير المنطقي: $\mathbf{D}$ تقع بين $\mathbf{E}$ و $\mathbf{A}$ يعني $\mathbf{EA = ED + DA}$.
بما أن $\mathbf{AB > CD}$، فإن $\mathbf{E}$ تقع على امتداد $\mathbf{[AD)}$ خارج القطعة $\mathbf{[AD]}$، أي $\mathbf{A}$ تقع بين $\mathbf{E}$ و $\mathbf{D}$.
لذلك، يجب أن تكون العلاقة $\mathbf{ED = EA + AD}$
النتيجة المنطقية الوحيدة (بافتراض أن $\mathbf{D}$ بين $\mathbf{E}$ و $\mathbf{A}$) هي:
لدينا: $\mathbf{EA = 2 ED}$ و $\mathbf{EA - ED = AD = 6}$
إذن $\mathbf{2 ED - ED = 6}$
ومنه: $\mathbf{ED = 6 cm}$
وبالتالي: $\mathbf{EA = 2 \times 6 = 12 cm}$
لتكن $\mathbf{ABC}$ نقط مختلفة. لتكن $\mathbf{D}$ نقطة من $\mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{E}$ نقطة من $\mathbf{[BC]}$ بحيث $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$. نعلم أن $\mathbf{AC=7.5cm}$ و $\mathbf{BC=5cm}$ و $\mathbf{AD=3cm}$ و $\mathbf{DE=4cm}$ .
1) أحسب الأطوال $\mathbf{CD}$ و $\mathbf{CE}$ و $\mathbf{AB}$.
2) لتكن $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للقطعة $\mathbf{[DE]}$. بيّن أن النقطة $\mathbf{I}$ تنتمي إلى القطعة $\mathbf{[CM]}$ حيث $\mathbf{M}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للقطعة $\mathbf{[AB]}$.
للسؤال 1: احسب $\mathbf{CD}$ باستخدام $CD = AC - AD$. ثم طبق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ لاستنتاج الأطوال $\mathbf{CE}$ و $\mathbf{AB}$.
للسؤال 2: استعمل المبرهنة المتعلقة بخط **الموسطات** في المثلث: **الموسط** الذي ينطلق من رأس مثلث ويقطع مستقيماً موازياً للقاعدة في نقطة، تكون تلك النقطة **الموسط** للقطعة الموازية للقاعدة.
1) حساب الأطوال:
• حساب $\mathbf{CD}$.
• تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ بالرأس $\mathbf{C}$.
• استخدام التناسب $\mathbf{\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}}$.
2) إثبات الانتماء:
• بما أن $\mathbf{I}$ هو **الموسط** لـ $\mathbf{[DE]}$ و $\mathbf{M}$ هو **الموسط** لـ $\mathbf{[AB]}$، و $\mathbf{C}$ هو الرأس، فإن النقطتين $\mathbf{C}$ و $\mathbf{I}$ و $\mathbf{M}$ يجب أن تكون على استقامة واحدة (حسب مبرهنة الموسطات).
1) حساب الأطوال $\mathbf{CD}$ و $\mathbf{CE}$ و $\mathbf{AB}$:
• حساب $\mathbf{CD}$:
$\mathbf{CD = AC - AD = 7.5 - 3 = 4.5 cm}$
لدينا $\mathbf{D \in [AC]}$ و $\mathbf{E \in [BC]}$.
لدينا التوازي: $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$.
حسب مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ بالرأس $\mathbf{C}$:
• حساب $\mathbf{CE}$:
نحسب النسبة: $\mathbf{\frac{CD}{CA} = \frac{4.5}{7.5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5}}$
إذن $\mathbf{\frac{CE}{CB} = \frac{3}{5}}$
$\mathbf{CE = \frac{3}{5} \times CB = \frac{3}{5} \times 5 = 3 cm}$
• حساب $\mathbf{AB}$:
إذن $\mathbf{\frac{DE}{AB} = \frac{3}{5}}$
$\mathbf{AB = DE \times \frac{5}{3} = 4 \times \frac{5}{3} = \frac{20}{3} cm}$
2) إثبات أن $\mathbf{I}$ تنتمي إلى $\mathbf{[CM]}$:
لدينا $\mathbf{I}$ هو **الموسط** للقطعة $\mathbf{[DE]}$.
لدينا $\mathbf{M}$ هو **الموسط** للقطعة $\mathbf{[AB]}$.
المستقيم $\mathbf{(CI)}$ هو **الموسط** النازل من الرأس $\mathbf{C}$ على القاعدة $\mathbf{[DE]}$ في المثلث $\mathbf{CDE}$ (خط **الموسطات**).
المستقيم $\mathbf{(CM)}$ هو **الموسط** النازل من الرأس $\mathbf{C}$ على القاعدة $\mathbf{[AB]}$ في المثلث $\mathbf{CAB}$ (خط **الموسطات**).
حسب خاصية الموسطات في مثلث (خاصية طالس المعممة)، إذا كان $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$، فإن $\mathbf{C}$، $\mathbf{I}$، $\mathbf{M}$ تقع على استقامة واحدة.
وبما أن $\mathbf{I} \in [DE]$ و $\mathbf{M} \in [AB]$، فإن النقطة $\mathbf{I}$ تقع على القطعة $\mathbf{[CM]}$.
$\mathbf{ABC}$ مثلث. $\mathbf{M}$ نقطة من $\mathbf{[AB]}$ بحيث $\mathbf{AM = \frac{1}{3} AB}$. المستقيم المار من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(BC)}$ يقطع $\mathbf{[AC]}$ في النقطة $\mathbf{N}$ .
1) أحسب $\mathbf{\frac{AN}{AC}}$ و $\mathbf{\frac{MN}{BC}}$.
2) بيّن أنّ $\mathbf{N}$ هي **الموسط** للقطعة $\mathbf{[AC]}$ إذا كان $\mathbf{AM = MB}$ (إلغاء لـ $AM = \frac{1}{3} AB$).
للسؤال 1: طبّق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ بالرأس $\mathbf{A}$. استخدم المعطى $\mathbf{AM = \frac{1}{3} AB}$ لتعويض الأطوال في التناسب.
للسؤال 2: تذكر أن **الموسط** (منتصف قطعة) يعني أن النسبة بين جزء القطعة وطولها الكلي تساوي $\mathbf{\frac{1}{2}}$.
1) حساب النسب:
• نطبق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ بالرأس $\mathbf{A}$.
• نستخدم التناسب $\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$ ونعوّض $\mathbf{\frac{AM}{AB}}$ بقيمتها.
2) إثبات أن $\mathbf{N}$ **الموسط** لـ $\mathbf{[AC]}$:
• إذا كانت $\mathbf{AM = MB}$، فإن $\mathbf{M}$ هي **الموسط** لـ $\mathbf{[AB]}$، أي $\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}}$.
• نستنتج قيمة $\mathbf{\frac{AN}{AC}}$ من طالس.
1) حساب $\mathbf{\frac{AN}{AC}}$ و $\mathbf{\frac{MN}{BC}}$:
لدينا $\mathbf{M}$ ينتمي إلى $\mathbf{[AB]}$.
لدينا $\mathbf{N}$ ينتمي إلى $\mathbf{[AC]}$.
لدينا التوازي: $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$.
حسب مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$:
لدينا في المعطى: $\mathbf{AM = \frac{1}{3} AB}$.
إذن: $\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{1}{3}}$
وبالتالي: $\mathbf{\frac{AN}{AC} = \frac{1}{3}}$
وبالتالي: $\mathbf{\frac{MN}{BC} = \frac{1}{3}}$
2) إثبات أن $\mathbf{N}$ هي **الموسط** لـ $\mathbf{[AC]}$ إذا كان $\mathbf{AM = MB}$:
إذا كان $\mathbf{AM = MB}$، فإن $\mathbf{M}$ هي **الموسط** للقطعة $\mathbf{[AB]}$.
في هذه الحالة، $\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}}$
باستخدام التناسب من طالس: $\mathbf{\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}}$
بما أن $\mathbf{\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}}$، فإن $\mathbf{AN = \frac{1}{2} AC}$.
إذن $\mathbf{N}$ هي **الموسط** للقطعة $\mathbf{[AC]}$. (ملاحظة: هذه هي مبرهنة القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين).