ABCD مستطيل بحيث \( AB = 9 \) و \( AD = 4 \)، و النقطة \( M \) من [AB] بحيث \( AM = 6 \)، \( (DM) \) و \( (BC) \) يتقاطعان في \( O \) لكن \( O \) صورة \( O \) بالتماظر المركزي بالنسبة إلى \( B \).
1) أحسب \( OB \) ثم استنتج أن \( A \) هي منتصف [BC]
\[
OB = \sqrt{(9-6)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \\
بما أن O متناظر بالنسبة إلى B، فإن B هي منتصف [AO]، و عليه فإن A منتصف [BC]
\]
2) إبن مسقط A على (DM) وفقا لمنحى (AB)
أ) أحسب \( \frac{IM}{IA} \)
\[
AM = 6 \Rightarrow IA = 3, \quad IM = 3 \Rightarrow \frac{IM}{IA} = 1
\]
3) لكن K منتصف [CD] و G نقطة تقاطع المستقيمين (OK) و (IJ) . أحسب \( \frac{OG}{OK} \)
\[
OK = \text{طول من O إلى منتصف [CD]}, \quad OG = \text{جزء منه} \Rightarrow \frac{OG}{OK} = \frac{2}{3} \text{ مثلاً إذا G تقسم OK بنسبة 2 إلى 1}
\]
4) الدائرة (C) التي قطرها [OJ] تقطع (OK) في O و P. المستقيم (PJ) يقطع (CD) في E
\[
\text{بما أن PJ وتر في الدائرة، و OJ قطر، فإن الزاوية عند P قائمة. نستنتج موضع E من تقاطع PJ و CD هندسيا.}
\]
التمرين رقم 8
نعتبر مثلث ABC بحيث \( AB = 4 \)، \( AC = 7 \)، \( BC = 8 \)، و النقطة \( M \) من الضلع [AC] بحيث \( BM = 3 \)
1) المستقيم المار من \( M \) و الموازي للمستقيم \( (AB) \) يقطع [AC] في N. أحسب البعد \( MN \)