تمرين في الهندسة والتحليل

المستوى: التاسعة أساسي (تونس) - المعين والمعين المتعامد ونظرية طاليس

نص التمرين

نعتبر المعين المتعامد والممنظم $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $.
النقط التالية معرفة بـ:
$$A(-4, 2) \quad ; \quad B(4, 2) \quad ; \quad C(4, -2) \quad ; \quad D(-4, -2)$$
1. بيّن أنّ الرباعي $ABCD$ معين.
لتكن $I$ نقطة تقاطع قطريه.
2. أ. حدّد إحداثيّات النقطة $I$.
ب. حدّد إحداثيّات النقطة $E$ حيث يكون $E$ مسقط $A$ العمودي على $(BC)$.
3. لتكن $M$ نقطة من القطعة $[AD]$ بحيث
$\frac{DM}{DA} = \frac{1}{4}$
. المستقيم المارّ من $M$ والموازي للمستقيم $(AC)$ يقطع الضلع $[CD]$ في $N$.
أ. أرسم الشكل.
ب. احسب البعد $DN$.

الإصلاح المفصّل

1. تبيان أن الرباعي $ABCD$ معين:

نحسب طولي ضلعين متتاليين باستخدام قيمة المطلقة لفرق الإحداثيات (لأن الأضلاع موازية للمحاور):

حساب AB (أفقي):

$$\text{AB} = |x_B - x_A| = |4 - (-4)| = |8| = 8$$

حساب BC (عمودي):

$$\text{BC} = |y_C - y_B| = |-2 - 2| = |-4| = 4$$

بما أن

$\text{AB} \ne \text{BC}$
، فإن الرباعي $ABCD$ **ليس معينًا** (بل هو مستطيل).

2. أ. تحديد إحداثيّات النقطة $I$:

$I$ هي منتصف القطر $[AC]$. نطبق صيغة المنتصف:

$$I \left(\frac{x_A + x_C}{2} ; \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$ $$x_I = \frac{-4 + 4}{2} = 0 \quad ; \quad y_I = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$$

إحداثيّات النقطة $I$ هي:

$\mathbf{I(0, 0)}$

2. ب. تحديد إحداثيّات النقطة $E$:

$E$ هي المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$.

  • $E \in (BC)$
    والمستقيم $(BC)$ عمودي (معادلته
    $x=4$
    ). إذن:
    $x_E = 4$
    .
  • $(AE) \perp (BC)$
    ، إذن $(AE)$ أفقي.
    $E \in (AE)$
    والمستقيم $(AE)$ يمر من $A$. إذن:
    $y_E = y_A = 2$
    .

إحداثيّات النقطة $E$ هي:

$\mathbf{E(4, 2)}$
وهي النقطة $B$.

3. ب. حساب البعد $DN$ باستعمال نظرية طاليس:

الخطوة 1: تحديد الشروط والمثلث

نحن في المثلث

$\mathbf{DAC}$
.

  • لدينا: $M \in (AD)$ (المستقيم
    $(AD)$
    يمر بالنقطة
    $M$
    ).
  • و: $N \in (CD)$ (المستقيم
    $(CD)$
    يمر بالنقطة
    $N$
    ).
  • و:
    $(MN) // (AC)$
    (حسب المعطيات).
الخطوة 2: تطبيق نظرية طاليس

حسب نظرية طاليس، فإن النسب متساوية:

$$\frac{DM}{DA} = \frac{DN}{DC} = \frac{MN}{AC}$$
الخطوة 3: التعويض وحساب $DN$

نختار المساواة التي تتضمن النسبة المعلومة

$\frac{DM}{DA} = \frac{1}{4}$
والنسبة التي تتضمن المجهول
$DN$
:

$$\frac{DN}{DC} = \frac{DM}{DA}$$

نحسب البعد

$DC$
(أفقي، باستعمال القيمة المطلقة):

$$DC = |x_C - x_D| = |4 - (-4)| = |8| = 8$$

نعوض الأعداد:

$$\frac{DN}{8} = \frac{1}{4}$$

باستعمال الجداء المتصالب:

$$DN = \frac{1 \times 8}{4} = 2$$

إذن البعد

$DN$
يساوي $\mathbf{2}$ وحدات طول.