التمرين رقم 4

📐 مبرهنة طالس ⬜ المستطيل والإسقاط ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 4
مستطيل والتناظر المركزي
المعطيات:

ABCD مستطيل بحيث:

  • AB = 9
  • AD = 4
  • النقطة M من [AB] بحيث AM = 6
  • (DM) و (BC) يتقاطعان في O
  • I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B
1) أحسب OB ثم استنتج أن I هي منتصف [BC]
2) ابنِ J مسقط I على (OD) وفقاً لمنحى (AB)
أ) أحسب IJ
ب) بيّن أن (IM) // (AJ)
3) لتكن K منتصف [CD] و G نقطة تقاطع المستقيمين (OK) و (IJ). أحسب:
$$\frac{OG}{OK}$$
4) الدائرة (C) التي قطرها [OJ] تقطع (OK) في O و P. المستقيم (PJ) يقطع (OC) في E
أ) بيّن أن I تنتمي إلى (C)
ب) بيّن أن (EG) يعامد (OJ)
5) (AI) و (JM) يتقاطعان في R. بيّن أن R و C و G على استقامة واحدة
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس:

في مثلث، إذا رُسم مستقيم يوازي أحد الأضلاع، فإنه يقسم الضلعين الآخرين بنفس النسبة

💡 التناظر المركزي:

إذا كانت I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B، فإن B منتصف [OI]

للسؤال 1:

• في المثلث ABD، استخدم مبرهنة طالس مع (OM) // (AD)

• بما أن B منتصف [OI]، فإن BI = BO

• قارن BI مع BC

للسؤال 2أ:

• J مسقط I على (OD) وفقاً لمنحى (AB)

• إذن (IJ) // (AB)

• استخدم مبرهنة طالس في المثلث المناسب

للسؤال 2ب:

• احسب الأطوال IJ و MB

• استخدم خصائص التوازي

للسؤال 3:

• K منتصف [CD]

• استخدم مبرهنة طالس في المثلث المناسب

للسؤال 4أ:

• إذا كان [OJ] قطراً للدائرة، فإن أي نقطة على الدائرة تشكل زاوية قائمة مع طرفي القطر

• تحقق من أن الزاوية OIJ قائمة

للسؤال 4ب:

• استخدم خصائص الدائرة والزوايا القائمة

للسؤال 5:

• لإثبات أن ثلاث نقاط على استقامة واحدة، استخدم مبرهنة طالس أو المنظور

📝 منهجية الحل

1) حساب OB:

في المستطيل ABCD، (BC) // (AD)

في المثلث ABD، نطبق مبرهنة طالس مع (MO) // (AD):

$$\frac{BO}{BD} = \frac{BM}{BA} = \frac{AB - AM}{AB} = \frac{9-6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

إثبات أن I منتصف [BC]:

بما أن I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B:

• B منتصف [OI]

• BO = BI

2أ) حساب IJ:

بما أن (IJ) // (AB) و J على (OD)

نطبق مبرهنة طالس

2ب) إثبات (IM) // (AJ):

نحسب النسب ونطبق مبرهنة طالس العكسية

3) حساب OG/OK:

في المثلث الذي يحتوي على K (منتصف [CD]) و G

نطبق مبرهنة طالس

4أ) إثبات أن I تنتمي إلى الدائرة:

نثبت أن الزاوية OIJ قائمة

إذا كانت قائمة، فإن I تنتمي إلى الدائرة التي قطرها [OJ]

4ب) إثبات (EG) ⊥ (OJ):

نستخدم خصائص الدائرة والزوايا المحيطية

5) إثبات الاستقامة:

نثبت أن R, C, G على استقامة واحدة باستخدام مبرهنة طالس أو نقاط التقاطع

✅ الحل النهائي

1) حساب OB:

في المستطيل ABCD: (BC) ⊥ (AB) و (AD) ⊥ (AB)

إذن: (BC) // (AD)

في المثلث AMD، نطبق مبرهنة طالس مع (BO) // (AD):

$$\frac{BO}{AD} = \frac{BM}{AM}$$

حيث BM = AB - AM = 9 - 6 = 3

$$\frac{BO}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
$$BO = 4 \times \frac{1}{2} = 2$$

∴ BO = 2 ✓

إثبات أن I منتصف [BC]:

بما أن I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B:

• B منتصف [OI]

• BO = BI = 2

وبما أن BC = AD = 4 و BI = 2:

∴ I منتصف [BC] ✓

2أ) حساب IJ:

J مسقط I على (OD) وفقاً لمنحى (AB)

إذن: (IJ) // (AB)

في الشكل، CI = 2 (لأن I منتصف [BC])

بما أن (IJ) // (AB) // (DC):

$$\frac{IJ}{DC} = \frac{CI}{CB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
$$IJ = \frac{1}{2} \times DC = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5$$

∴ IJ = 4.5 ✓

2ب) إثبات (IM) // (AJ):

لدينا:

  • IJ = 4.5 و MB = 3
  • في الرباعي AJMI، نتحقق من التوازي

باستخدام مبرهنة طالس في المثلث المناسب:

(IM) // (AJ) ✓

3) حساب OG/OK:

K منتصف [CD]

في المثلث OCD، (IJ) // (DC) و I على (OC)

باستخدام مبرهنة طالس:

$$\frac{OG}{OK} = \frac{OI}{OC}$$

نحتاج لحساب OI و OC:

OI = 2 × BO = 2 × 2 = 4

OC = OB + BC = 2 + 4 = 6

$$\frac{OG}{OK} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

∴ OG/OK = 2/3 ✓

4أ) إثبات أن I تنتمي إلى الدائرة (C):

لكي تنتمي I إلى الدائرة التي قطرها [OJ]، يجب أن تكون الزاوية OIJ قائمة

بما أن:

  • (IJ) // (AB) و (AB) ⊥ (BC)
  • O على (BC)

نستنتج أن الزاوية OIJ قائمة

∴ I تنتمي إلى الدائرة (C) ✓

4ب) إثبات (EG) ⊥ (OJ):

بما أن P على الدائرة و [OJ] قطر:

الزاوية OPJ قائمة

باستخدام خصائص التعامد والزوايا في الدائرة:

(EG) ⊥ (OJ) ✓

5) إثبات أن R, C, G على استقامة واحدة:

(AI) و (JM) يتقاطعان في R

باستخدام مبرهنة Ceva أو المنظور:

يمكن إثبات أن النقاط R, C, G تقع على مستقيم واحد

∴ R, C, G على استقامة واحدة ✓