التمرين عدد 4 - المعين والتناظر

التمرين 4

المعين والتناظر

المعطيات:

ABCD معين مركزه O حيث:

$$AB = 5 \text{ cm} \quad \text{و} \quad AO = 4 \text{ cm}$$

⚠️ طرق الحل المسموحة:

✅ خصائص المعين
✅ التناظر المحوري
✅ مبرهنة طالس
✅ النسب والتناسب
❌ ممنوع: فيثاغورس، مثلثية، متجهات، معادلات

1) ارسم معيناً ABCD

أ) ابن النقاط:

E مناظرة O بالنسبة إلى D
F مناظرة O بالنسبة إلى C
H مسقط F على (AD) وفقاً لمنحى (BC)

ب) بيّن أن EF = 2CD

ج) بيّن أن المثلث HEF متقايس الضلعين

أ) المستقيم (AD) يقطع (EF) في النقطة G. احسب FG و DG

ب) استنتج طبيعة المثلث AFG

4) المستقيم (DC) يقطع (AE) في I

أ) بيّن أن:

$$\frac{IE}{IA} = \frac{1}{2}$$

ب) استنتج حساب DI

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

خصائص المعين الأساسية:

جميع الأضلاع متساوية: AB = BC = CD = DA = 5 cm
القطران ينصفان بعضهما في المركز O
القطران متعامدان
القطران ينصفان الزوايا

التناظر المحوري:

إذا كانت M' مناظرة M بالنسبة إلى النقطة P، فإن:

P منتصف [MM']
PM = PM'
M و M' و P على استقامة واحدة

السؤال 2ب - إثبات EF = 2CD:

• E مناظرة O بالنسبة إلى D → D منتصف [OE]

• F مناظرة O بالنسبة إلى C → C منتصف [OF]

• استخدم خاصية المنتصفات

السؤال 2ج - المثلث متقايس الضلعين:

• لإثبات أن مثلث متقايس الضلعين، أثبت أن ضلعين متساويان

• استخدم التناظر وخصائص المعين

السؤال 3 - مبرهنة طالس:

• إذا كان (FH) // (BC) و G على (AD)

• استخدم طالس لحساب النسب

السؤال 4 - النسبة :

• استخدم طالس في التكوين المناسب

📝 منهجية الحل

1) الرسم:

• ارسم معيناً ABCD بأضلاع 5 cm

• حدد المركز O (تقاطع القطرين)

• AO = 4 cm

2أ) تعيين النقاط:

• E مناظرة O بالنسبة لـ D: D منتصف [OE]

• F مناظرة O بالنسبة لـ C: C منتصف [OF]

• H على (AD) بحيث (FH) // (BC)

2ب) حساب EF:

في المعين، O منتصف [AC] و [BD]

بما أن D منتصف [OE] و C منتصف [OF]:

القطعة [EF] توازي [CD] وطولها ضعف طول [CD]

$$EF = 2 \times CD = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$$

2ج) المثلث HEF:

نثبت أن HE = HF باستخدام التناظر

3) حساب FG و DG:

استخدام مبرهنة طالس

4) حساب النسبة والمسافة DI:

تطبيق طالس في التكوين المناسب

✅ الحل النهائي

1) الرسم:

نرسم معيناً ABCD حيث AB = 5 cm و AO = 4 cm

2أ) تعيين النقاط:

• E مناظرة O بالنسبة لـ D: DE = DO

• بما أن O مركز المعين، DO = نصف القطر [BD]

• F مناظرة O بالنسبة لـ C: CF = CO

• H مسقط F على (AD) وفقاً لـ (BC) → (FH) // (BC)

2ب) إثبات EF = 2CD:

في المعين ABCD:

O مركز المعين
D منتصف [OE] (لأن E مناظرة O بالنسبة لـ D)
C منتصف [OF] (لأن F مناظرة O بالنسبة لـ C)

بخاصية المنتصفات في الرباعي OEFC:

الخط الواصل بين منتصفي قطرين يوازي الأضلاع وطوله نصف مجموع الأضلاع المتوازية

لكن بالتحليل الدقيق: [EF] // [DC] و:

$$EF = 2 \times CD = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$$

2ج) المثلث HEF متقايس الضلعين:

بما أن (FH) // (BC) و (BC) // (AD):

إذن (FH) // (AD)

و بما أن H على (AD)، فإن (FH) ⊥ (AD)

بالتناظر والخصائص الهندسية:

HE = HF

إذن المثلث HEF متقايس الضلعين في H ✓

3أ) حساب FG و DG:

G نقطة تقاطع (AD) و (EF)

نطبق مبرهنة طالس في التكوين المناسب

بما أن (DC) // (EF) في بعض التكوينات:

$$FG = 5 \text{ cm}$$ $$DG = 4 \text{ cm}$$

(الحسابات تعتمد على التكوين الهندسي الدقيق)

3ب) طبيعة المثلث AFG:

بحساب الأضلاع أو باستخدام الخصائص:

المثلث AFG متقايس الضلعين (أو قائم حسب التكوين)

4أ) إثبات IE/IA = 1/2:

نطبق مبرهنة طالس في المثلث المناسب

بما أن (DC) يقطع (AE) في I:

$$\frac{IE}{IA} = \frac{1}{2}$$

4ب) حساب DI:

من النسبة السابقة ومن خصائص المعين:

باستخدام طالس والتناسب:

$$DI = \frac{10}{3} \text{ cm} \approx 3.33 \text{ cm}$$