Vous avez تمرين 6: دائرة وإسقاط عمودي

تمرين في الهندسة

دفواراتي
دائرة وإسقاط عمودي
تمرين 6

(C) دائرة مركزها O وقطرها [AB]. M نقطة من (C). N هي مسقط B على المستقيم (AM) وفقا لمنحى (OM).

  1. بيّن أنّ M منتصف [AN] وأنّ المثلث ABN متقايس الضلعين.
  2. (BM) و (ON) يتقاطعان في I. المستقيم (AI) يقطع [BN] في K. بيّن أنّ K منتصف [BN].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للجزء الأول: ما طبيعة المثلث AMB بما أن M نقطة من الدائرة التي قطرها [AB]؟ بعد ذلك، انظر إلى المثلث ABN. لديك O منتصف [AB] والمستقيم (OM) يوازي (BN) (حسب تعريف الإسقاط). ما النظرية التي يمكنك تطبيقها؟

للجزء الثاني: في المثلث ABN، ما الذي يمثله المستقيمان (BM) و (ON)؟ وبالتالي، ما هي طبيعة نقطة تقاطعهما I؟ ماذا تستنتج بخصوص المستقيم (AI)؟

📝 الطريقة

الجزء 1: M منتصف [AN] والمثلث ABN متقايس الضلعين

  1. إثبات أن M منتصف [AN]:
    • بيّن أن O منتصف [AB].
    • ترجم "N مسقط B على (AM) وفقا لمنحى (OM)" إلى علاقة توازي: $(BN) // (OM)$.
    • في المثلث ABN، طبق نظرية المستقيم المار من منتصف ضلع وموازٍ لآخر (عكس نظرية المنتصفين).
  2. إثبات أن ABN متقايس الضلعين:
    • بيّن أن المثلث AMB قائم في M، وبالتالي $(BM) \perp (AN)$.
    • في المثلث ABN، المستقيم (BM) هو ارتفاع (لأنه عمودي) وموسط (لأن M منتصف [AN]).
    • استنتج أن المثلث ABN متقايس الضلعين في الرأس B.

الجزء 2: K منتصف [BN]

  1. في المثلث ABN، حدد طبيعة المستقيم (BM) (موسط من B).
  2. حدد طبيعة المستقيم (ON) (موسط من O؟ لا، من N).
  3. إذن، I هي نقطة تلاقي الموسطين (BM) و (ON)، فهي مركز ثقل المثلث ABN.
  4. المستقيم (AI) يمر من الرأس A ومركز الثقل I، إذن هو الموسط الثالث.
  5. بما أن K هي نقطة تقاطع هذا الموسط مع الضلع [BN]، فإن K هي منتصف [BN].

✅ الحل الكامل

الجزء 1: إثبات أن M منتصف [AN] والمثلث ABN متقايس الضلعين

أولاً، لنثبت أن M منتصف [AN]:

  • لدينا O مركز الدائرة و [AB] قطرها، إذن O هو منتصف [AB].
  • لدينا N هي مسقط B على (AM) وفقا لمنحى (OM)، هذا يعني أن المستقيم $(BN)$ يوازي المستقيم $(OM)$.
  • في المثلث ABN، المستقيم (OM) يمر من منتصف الضلع [AB] (النقطة O) ويوازي الضلع [BN].
  • حسب عكس نظرية المنتصفين، فإن المستقيم (OM) يقطع الضلع الثالث [AN] في منتصفه. إذن، **M هي منتصف [AN]**.

ثانياً، لنثبت أن المثلث ABN متقايس الضلعين:

  • لدينا M نقطة من الدائرة (C) التي قطرها [AB]، إذن المثلث AMB قائم الزاوية في M.
  • هذا يعني أن المستقيم $(BM)$ عمودي على المستقيم $(AM)$ (أو $(AN)$).
  • في المثلث ABN، المستقيم (BM) هو الارتفاع الصادر من B لأنه عمودي على [AN].
  • وقد أثبتنا أن M منتصف [AN]، إذن (BM) هو أيضا الموسط الصادر من B.
  • بما أن المستقيم (BM) هو ارتفاع وموسط في نفس الوقت في المثلث ABN، فإن **المثلث ABN متقايس الضلعين** ورأسه الأساسي B (أي $BA=BN$).

الجزء 2: إثبات أن K منتصف [BN]

  • في المثلث ABN، بما أن M منتصف [AN]، فإن المستقيم (BM) هو **موسط** للمثلث.
  • بما أن O منتصف [AB]، فإن المستقيم (ON) هو **موسط** آخر للمثلث.
  • النقطة I هي نقطة تقاطع الموسطين (BM) و (ON). إذن، **I هي مركز ثقل (centroid) المثلث ABN**.
  • المستقيم (AI) يمر من الرأس A ومركز الثقل I، وبالتالي فهو يمثل **الموسط الثالث** للمثلث ABN، الصادر من A.
  • هذا الموسط يقطع الضلع المقابل [BN] في منتصفه.
  • بما أن K هي نقطة تقاطع (AI) و [BN]، فإن **K هي منتصف [BN]**. وهو المطلوب إثباته.