الدائرة المحيطة بالمثلث

📌 ملاحظة: بناء الدائرة المحيطة بمثلث

مركز الدائرة المحيطة بمثلث يكفي بناؤه بمحسطين:

➤ الدائرة المحيطة بمثلث له 3 زوايا حادّة يكون داخل المثلث.
➤ الدائرة المحيطة بمثلث له زاوية منفرجة يكون خارج المثلث.
➤ مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف الوتر.

تطبيق

الدائرة المحيطة بمثلث

المعطيات:

ارسم مثلثاً \(ABC\) حيث:

\(BC = 5cm\)

\(\widehat{ABC} = 50°\)

\(\widehat{ACB} = 40°\)

الشكل: المثلث ABC والدائرة المحيطة

1) ابن \(\Delta\) المسط العمودي لـ\([AB]\) حيث يقطع \([BC]\) في \(O\)

بيّن أنّ \(O\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\)

2) جد البعد \(AO\) بالـ \(cm\)

3) عيّن \(I\) منتصف \([AC]\)

بيّن أنّ: \((OI) \parallel (AB)\)

💡 توظيف

المعطيات: \(ABC\) مثلث قائم و \(\Delta\) المسط العمودي لأحد الأضلاع و \(O\) نقطة تقاطع \(\Delta\) والوتر \([BC]\)

النتيجة: \(O\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\)

التعليل: نعلم أنّه في المثلث \(ABC\) القائم في \(A\)، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.

💡 توجيهات للتفكير

⚠️ تذكير بخصائص الدائرة المحيطة:

• مركز الدائرة المحيطة بمثلث يبعد نفس المسافة عن رؤوس المثلث الثلاثة

• مركز الدائرة المحيطة هو نقطة تقاطع المساطح العمودية للأضلاع

• شعاع الدائرة المحيطة = المسافة من المركز إلى أي رأس

للسؤال 1:

• المسط العمودي لضلع في مثلث يمر من مركز الدائرة المحيطة

• إذا كان O يبعد نفس المسافة عن A و B و C، فهو المركز

• استخدم خاصية: النقطة على المسط العمودي لقطعة تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة

للسؤال 2:

• البعد AO هو شعاع الدائرة المحيطة

• يمكن حسابه باستخدام العلاقات في المثلث

• أو باستخدام حساب الزوايا وخواص المثلث

للسؤال 3:

• I منتصف [AC]

• O منتصف... (فكّر في علاقة O بالأضلاع)

• استخدم خاصية: المستقيم الذي يصل بين منتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث

📝 منهجية الحل

السؤال 1: إثبات أن O مركز الدائرة المحيطة

الخطوة 1: استخدام خاصية المسط العمودي

• بما أن O على Δ (المسط العمودي لـ[AB])

• إذن: OA = OB

الخطوة 2: حساب الزوايا

• في المثلث ABC:

• ∠BAC = 180° - 50° - 40° = 90°

• إذن المثلث ABC قائم في A

الخطوة 3: استخدام خاصية المثلث القائم

• في المثلث القائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر [BC]

• إذن O هو المركز

السؤال 2: حساب AO

• AO هو شعاع الدائرة المحيطة

• في المثلث القائم: شعاع الدائرة المحيطة = نصف الوتر

• AO = BC/2 = 5/2 = 2.5cm

السؤال 3: إثبات التوازي

• O منتصف [BC] و I منتصف [AC]

• المستقيم (OI) يصل بين منتصفي ضلعين

• إذن (OI) // (AB) بخاصية منتصف الأضلاع

✅ الحل النهائي المفصل

السؤال 1) إثبات أن O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC

البرهان:

📌 الخطوة 1: تحديد نوع المثلث

• في المثلث ABC:

• ∠ABC = 50° (معطى)

• ∠ACB = 40° (معطى)

• مجموع زوايا المثلث = 180°

• إذن: ∠BAC = 180° - 50° - 40° = 90°

إذن المثلث ABC قائم الزاوية في A

📌 الخطوة 2: استخدام خاصية المسط العمودي

• Δ هو المسط العمودي لـ[AB]

• O على Δ

• خاصية: أي نقطة على المسط العمودي لقطعة تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة

• إذن: OA = OB

📌 الخطوة 3: إثبات أن O منتصف الوتر

• O على [BC] (معطى: Δ يقطع [BC] في O)

• في المثلث القائم ABC، الوتر هو [BC] (المقابل للزاوية القائمة)

📌 الخطوة 4: استخدام الخاصية الأساسية

• خاصية مهمة: في المثلث القائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر

• بما أن ABC قائم في A

• والوتر هو [BC]

• ومركز الدائرة المحيطة يقع على منتصف [BC]

📌 التحقق النهائي:

• نتحقق أن: OA = OB = OC

• من الخطوة 2: OA = OB ✓

• بما أن O منتصف [BC]: OB = OC ✓

• إذن: OA = OB = OC ✓

✅ النتيجة:

بما أن O يبعد نفس المسافة عن الرؤوس الثلاثة A و B و C،

فإن O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC

السؤال 2) حساب البعد AO

الحل:

📌 الطريقة الأولى: استخدام خاصية المثلث القائم

• من السؤال 1: المثلث ABC قائم في A

• O مركز الدائرة المحيطة = منتصف الوتر [BC]

• خاصية: في المثلث القائم، شعاع الدائرة المحيطة = نصف طول الوتر

• الحساب:

• BC = 5cm (معطى)

• شعاع الدائرة = AO = BC/2

• AO = 5/2 = 2.5cm

✅ الجواب: AO = 2.5cm

📌 الطريقة الثانية: التحقق

• بما أن O منتصف [BC]:

• BO = OC = BC/2 = 2.5cm

• ومن خاصية الدائرة المحيطة:

• AO = BO = OC = 2.5cm ✓

ملاحظة مهمة:

هذه خاصية أساسية للمثلث القائم:

شعاع الدائرة المحيطة بمثلث قائم = نصف طول الوتر

السؤال 3) إثبات أن (OI) // (AB)

البرهان:

📌 المعطيات:

• I منتصف [AC] (معطى)

• O منتصف [BC] (من السؤال 1)

📌 خاصية منتصف الأضلاع في المثلث:

خاصية أساسية:

في مثلث، المستقيم الذي يصل بين منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث

📌 التطبيق:

• في المثلث ABC:

• I منتصف الضلع [AC]

• O منتصف الضلع [BC]

• المستقيم (OI) يصل بين منتصفي ضلعين

• إذن، بتطبيق الخاصية:

• (OI) يوازي الضلع الثالث [AB]

✅ النتيجة: (OI) // (AB)

📌 نتيجة إضافية:

من نفس الخاصية، نستنتج أيضاً:

• OI = AB/2

• أي أن طول OI يساوي نصف طول AB

حساب OI:

• في المثلث ABC القائم في A:

• يمكن حساب AB باستعمال مبرهنة فيثاغور في المثلث القائم

• ثم: OI = AB/2

🎉 خلاصة التمرين:

النتائج الأساسية:

1. المثلث ABC قائم الزاوية في A (∠BAC = 90°)

2. O مركز الدائرة المحيطة (منتصف الوتر [BC])

3. AO = 2.5cm (شعاع الدائرة المحيطة)

4. (OI) // (AB) (خاصية منتصف الأضلاع)

الخصائص المستخدمة:

✓ مجموع زوايا المثلث = 180°

✓ خاصية المسط العمودي

✓ مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم = منتصف الوتر

✓ شعاع الدائرة المحيطة بمثلث قائم = نصف الوتر

✓ خاصية منتصف الأضلاع في المثلث