تمارين حول مبرهنة مستقيم المنتصفين

دفواراتي
تطبيق مباشر للمبرهنة
تمرين 1

ABC مثلث. I منتصف الضلع [AB] و J منتصف الضلع [AC]. لدينا: \(BC = 14 \text{ cm}\).

  1. ما هي طبيعة المستقيمين (IJ) و (BC)؟
  2. احسب طول القطعة [IJ].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر مبرهنة مستقيم المنتصفين (المبرهنة المباشرة): المستقيم المار بمنتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث، وطوله يساوي نصف طول الضلع الثالث.

📝 الطريقة

1. طبيعة المستقيمين: بما أن I و J هما منتصفا [AB] و [AC] على التوالي، فإن مبرهنة المنتصفين تؤكد أن \((IJ)\) يوازي \((BC)\).

2. حساب الطول: نفس المبرهنة تعطي العلاقة بين طولي القطعتين: \(IJ = \frac{1}{2} BC\). ثم نعوض بالقيمة العددية.

✅ الحل الكامل

في المثلث ABC:

  • لدينا I منتصف [AB] (معطى).
  • لدينا J منتصف [AC] (معطى).

بتطبيق مبرهنة مستقيم المنتصفين، نستنتج أن:

1. المستقيم (IJ) يوازي المستقيم (BC).

2. طول القطعة [IJ] يساوي نصف طول القطعة [BC].

IJ = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm}
المبرهنة العكسية
تمرين 2

EFG مثلث. M منتصف الضلع [EF]. المستقيم المار من M والموازي للمستقيم (FG) يقطع الضلع [EG] في النقطة N. لدينا: \(EG = 10 \text{ cm}\).

أثبت أن N منتصف [EG] ثم احسب طول القطعة [EN].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر مبرهنة مستقيم المنتصفين العكسية: المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث وموازٍ لضلع ثانٍ، يقطع الضلع الثالث في منتصفه.

📝 الطريقة

1. إثبات أن N منتصف: تحقق من شروط المبرهنة العكسية في المثلث EFG: المستقيم (MN) يمر من M (منتصف [EF]) ويوازي (FG). استنتج أن N منتصف [EG].

2. حساب الطول: بما أن N منتصف [EG]، فإن طول [EN] هو نصف طول [EG].

✅ الحل الكامل

في المثلث EFG:

  • لدينا M منتصف [EF] (معطى).
  • لدينا المستقيم \((MN)\) يوازي المستقيم \((FG)\) (معطى).

بتطبيق مبرهنة مستقيم المنتصفين العكسية، فإن المستقيم (MN) يقطع الضلع الثالث [EG] في منتصفه.

إذن، N هي منتصف [EG].

لحساب طول [EN]، بما أن N منتصف [EG]:

EN = \frac{EG}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}
محيط المثلث الأصغري
تمرين 3

محيط المثلث ABC يساوي 30 cm. لتكن I, J, K منتصفات الأضلاع [AB], [BC], [CA] على التوالي. احسب محيط المثلث IJK.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

عبر عن كل ضلع من أضلاع المثلث IJK بدلالة أحد أضلاع المثلث ABC باستخدام مبرهنة المنتصفين. ثم اجمع الأضلاع.

📝 الطريقة

1. طبق مبرهنة المنتصفين 3 مرات:

  • في المثلث ABC، I و J منتصفان \(\Rightarrow IJ = \frac{AC}{2}\).
  • في المثلث ABC، J و K منتصفان \(\Rightarrow JK = \frac{AB}{2}\).
  • في المثلث ABC، K و I منتصفان \(\Rightarrow KI = \frac{BC}{2}\).

2. احسب محيط المثلث IJK: \(\text{P}(IJK) = IJ + JK + KI\).

3. عوض بالقيم من الخطوة 1 واستنتج العلاقة بين محيطي المثلثين.

✅ الحل الكامل

بتطبيق مبرهنة مستقيم المنتصفين على المثلث ABC:

  • I منتصف [AB] و J منتصف [BC] \(\Rightarrow IJ = \frac{AC}{2}\)
  • J منتصف [BC] و K منتصف [CA] \(\Rightarrow JK = \frac{AB}{2}\)
  • K منتصف [CA] و I منتصف [AB] \(\Rightarrow KI = \frac{BC}{2}\)

محيط المثلث IJK هو:

\text{P}(IJK) = IJ + JK + KI = \frac{AC}{2} + \frac{AB}{2} + \frac{BC}{2}
\text{P}(IJK) = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)

بما أن \(AB + BC + AC = \text{P}(ABC) = 30 \text{ cm}\)، فإن:

\text{P}(IJK) = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \text{ cm}
رباعي فارينيون
تمرين 4

ABCD رباعي كيفي. لتكن I, J, K, L منتصفات الأضلاع [AB], [BC], [CD], [DA] على التوالي. أثبت أن الرباعي IJKL متوازي أضلاع.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ارسم أحد قطري الرباعي، مثلاً [AC]. هذا القطر يقسم الرباعي إلى مثلثين. طبق مبرهنة المنتصفين في كل مثلث.

📝 الطريقة

1. ارسم القطر [AC].

2. في المثلث ABC، طبق مبرهنة المنتصفين على I و J. استنتج علاقة بين (IJ) و (AC).

3. في المثلث ADC، طبق مبرهنة المنتصفين على L و K. استنتج علاقة بين (LK) و (AC).

4. قارن بين (IJ) و (LK). استنتج أنهما متوازيان ومتقايسان.

5. استنتج طبيعة الرباعي IJKL (رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان).

✅ الحل الكامل

نرسم القطر [AC] في الرباعي ABCD.

في المثلث ABC:

  • I منتصف [AB] و J منتصف [BC].
  • حسب مبرهنة مستقيم المنتصفين: \((IJ) // (AC)\) و \(IJ = \frac{AC}{2}\).

في المثلث ADC:

  • L منتصف [DA] و K منتصف [CD].
  • حسب مبرهنة مستقيم المنتصفين: \((LK) // (AC)\) و \(LK = \frac{AC}{2}\).

الاستنتاج:

من النتيجتين السابقتين، لدينا:

(IJ) // (LK) \quad \text{و} \quad IJ = LK

بما أن الرباعي IJKL له ضلعان متقابلان ([IJ] و [LK]) متوازيان ومتقايسان، فإن IJKL متوازي أضلاع. (وهذه هي مبرهنة فارينيون).

الموسط في المثلث القائم
تمرين 5

ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث AB = 9 cm و AC = 12 cm. M منتصف الوتر [BC]. احسب المسافة AM.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خاصية الموسط المتعلق بالوتر في المثلث القائم. لكن قبل ذلك، يجب حساب طول الوتر.

📝 الطريقة

1. حساب طول الوتر [BC]: استخدم مبرهنة بيتاغور في المثلث ABC القائم في A.

2. حساب طول الموسط [AM]: طبق الخاصية التي تقول أن طول الموسط الصادر من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر.

✅ الحل الكامل

1. حساب طول الوتر [BC]:

في المثلث ABC القائم في A، حسب مبرهنة بيتاغور:

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}

2. حساب المسافة AM:

في المثلث القائم، طول الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر. بما أن M منتصف الوتر [BC]، فإن [AM] هو الموسط المتعلق به.

AM = \frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}
متوازي الأضلاع
تمرين 6

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. M منتصف [AB] و N منتصف [AD]. أثبت أن \(MN = OB\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

عبر عن MN بدلالة أحد أقطار متوازي الأضلاع باستخدام المثلث ABD. ثم عبر عن OB بنفس القطر.

📝 الطريقة

1. في المثلث ABD: طبق مبرهنة المنتصفين على M و N. ماذا تستنتج عن طول MN؟

2. خاصية متوازي الأضلاع: ما هي خاصية مركز متوازي الأضلاع O بالنسبة للقطر [BD]؟ ماذا تستنتج عن طول OB؟

3. المقارنة: قارن بين النتيجتين اللتين حصلت عليهما.

✅ الحل الكامل

1. في المثلث ABD:

  • لدينا M منتصف [AB] و N منتصف [AD].
  • حسب مبرهنة مستقيم المنتصفين: \(MN = \frac{BD}{2}\).

2. في متوازي الأضلاع ABCD:

  • المركز O هو نقطة تقاطع القطرين وهو منتصف كل منهما.
  • إذن، O هي منتصف القطر [BD].
  • وبالتالي، \(OB = \frac{BD}{2}\).

3. الاستنتاج:

من الخطوتين 1 و 2، نجد أن كلا من MN و OB يساويان نفس القيمة \(\frac{BD}{2}\). إذن:

MN = OB
شبه المنحرف
تمرين 7

ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [DC] حيث (AB) // (DC). M منتصف [AD] و N منتصف [BC]. لدينا AB = 20 cm و DC = 10 cm. احسب طول القطعة [MN].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خاصية القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف. طولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

📝 الطريقة

1. تحديد الشكل: ABCD شبه منحرف.

2. تحديد المعطيات: M منتصف [AD]، N منتصف [BC]. القاعدتان هما [AB] و [DC].

3. تطبيق الخاصية: \(MN = \frac{AB + DC}{2}\).

4. التعويض والحساب: \(MN = \frac{20 + 10}{2}\).

✅ الحل الكامل

في شبه المنحرف، طول القطعة التي تصل بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين (القاعدة الوسطى) يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

لدينا M منتصف [AD] و N منتصف [BC].

MN = \frac{AB + DC}{2}
MN = \frac{20 + 10}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}
تقسيم الموسط
تمرين 8

في مثلث ABC، لتكن M منتصف [BC] و I منتصف الموسط [AM]. المستقيم (BI) يقطع [AC] في J. والمستقيم المار من M والموازي لـ (BJ) يقطع [AC] في K.

  1. أثبت أن K هي منتصف [JC].
  2. أثبت أن J هي منتصف [AK].
  3. استنتج أن \(AJ = \frac{1}{3} AC\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

طبق مبرهنة المنتصفين العكسية مرتين متتاليتين:

1. في المثلث CBJ.

2. في المثلث AMK.

📝 الطريقة

1. في المثلث CBJ: المستقيم (MK) يمر من منتصف [CB] (النقطة M) ويوازي (BJ). ماذا تستنتج عن النقطة K؟

2. في المثلث AMK: المستقيم (IJ) يمر من منتصف [AM] (النقطة I) ويوازي (MK). ماذا تستنتج عن النقطة J؟

3. الاستنتاج: من النتيجتين السابقتين، لديك \(CK = KJ\) و \(KJ = JA\). عبر عن AC بدلالة AJ.

✅ الحل الكامل

1. إثبات أن K منتصف [JC]:

  • في المثلث CBJ، لدينا M منتصف [BC] (معطى) و (MK) يوازي (BJ) (معطى).
  • حسب مبرهنة المنتصفين العكسية، فإن المستقيم (MK) يقطع الضلع [CJ] في منتصفه.
  • إذن، K هي منتصف [JC]، وهذا يعني \(CK = KJ\).

2. إثبات أن J منتصف [AK]:

  • في المثلث AMK، لدينا I منتصف [AM] (معطى) و (IJ) يوازي (MK) (لأن (BI) هو نفسه (BJ) و I,J نقطتان عليه).
  • حسب مبرهنة المنتصفين العكسية، فإن المستقيم (IJ) يقطع الضلع [AK] في منتصفه.
  • إذن، J هي منتصف [AK]، وهذا يعني \(AJ = JK\).

3. الاستنتاج:

  • من 1 و 2، لدينا \(AJ = JK\) و \(JK = KC\). بالتالي \(AJ = JK = KC\).
  • القطعة [AC] مكونة من ثلاث قطع متقايسة: \(AC = AJ + JK + KC\).
  • \(AC = AJ + AJ + AJ = 3 \times AJ\).
  • إذن، \(AJ = \frac{1}{3} AC\). (وهذه نتيجة معروفة من مبرهنة مركز الثقل).
بناء متوازي أضلاع
تمرين 9

ABC مثلث. I منتصف [AB]. J منتصف [AC]. المستقيم المار من C والموازي لـ (AB) يقطع (IJ) في K. أثبت أن الرباعي IBCK متوازي أضلاع.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، يكفي إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. لديك توازٍ واحد معطى، كيف تثبت التوازي الآخر؟

📝 الطريقة

1. التوازي الأول: لديك \((CK) // (AB)\) كمعطى. بما أن I على [AB]، فإن \((CK) // (IB)\).

2. التوازي الثاني: في المثلث ABC، طبق مبرهنة المنتصفين على I و J. ماذا تستنتج عن \((IJ)\) و \((BC)\)؟

3. الاستنتاج: بما أن للرباعي IBCK كل ضلعين متقابلين متوازيين، فهو متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

لإثبات أن الرباعي IBCK متوازي أضلاع، نثبت أن أضلاعه المتقابلة متوازية.

1. إثبات أن \((IK) // (BC)\):

  • في المثلث ABC، I منتصف [AB] و J منتصف [AC].
  • حسب مبرهنة المنتصفين، \((IJ) // (BC)\).
  • بما أن K تنتمي إلى المستقيم (IJ)، فإن المستقيم (IK) هو نفسه (IJ). إذن \((IK) // (BC)\).

2. إثبات أن \((CK) // (IB)\):

  • لدينا المستقيم المار من C يوازي (AB) (معطى).
  • بما أن I نقطة من [AB]، فإن \((CK) // (IB)\).

الاستنتاج:

بما أن للرباعي IBCK كل ضلعين متقابلين متوازيين (\((IK) // (BC)\) و \((CK) // (IB)\))، فإن IBCK متوازي أضلاع.

التوازي في الدائرة
تمرين 10

(C) دائرة مركزها O وقطرها [AB]. M نقطة من الدائرة (C) تختلف عن A و B. I هي منتصف الوتر [AM]. أثبت أن المستقيمين (OI) و (BM) متوازيان.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

اعتبر المثلث ABM. ما هي طبيعة النقطتين O و I بالنسبة لأضلاع هذا المثلث؟

📝 الطريقة

1. في المثلث ABM:

  • حدد موقع النقطة O. بما أن [AB] قطر، فإن O هي منتصف [AB].
  • حدد موقع النقطة I. لدينا I منتصف [AM] (معطى).

2. تطبيق المبرهنة: طبق مبرهنة مستقيم المنتصفين على المثلث ABM مع النقطتين O و I.

✅ الحل الكامل

نعتبر المثلث ABM:

  • بما أن O مركز الدائرة و [AB] قطرها، فإن O هي منتصف [AB].
  • لدينا I هي منتصف [AM] (معطى).

المستقيم (OI) يمر بمنتصفي الضلعين [AB] و [AM] في المثلث ABM.

إذن، حسب مبرهنة مستقيم المنتصفين، فإن المستقيم (OI) يوازي حامل الضلع الثالث، وهو المستقيم (BM).

وبالتالي، \((OI) // (BM)\).