التمرين رقم 6

📐 مبرهنة طالس 🔺 المثلث والخطوط الموازية ⭐ المستوى: 9 أساسي التمرين الأخير 🎯
التمرين 6
مثلث والخطوط الموازية المتعددة
📏 وحدة القياس هي السنتيمتر
المعطيات:

نعتبر مثلثاً ABC بحيث:

  • AB = 4
  • AC = 7
  • BC = 8
  • M نقطة من الضلع BC بحيث BM = 3
1°) المستقيم المار من M و الموازي للمستقيم (AB) يقطع AC في N. أحسب البعد MN
2°) المستقيم المار من C و الموازي للمستقيم (AB) يقطع (BN) في D و لتكن I = (MN) ∩ (AD)
أ) بيّن أن:
$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{AB}$$
ب) بيّن أن:
$$\frac{CM}{CB} = \frac{DI}{DA}$$
ج) استنتج أن النقطة N هي منتصف القطعة MI
3°) لتكن J مناظرة B بالنسبة للنقطة N و K منتصف القطعة CJ. أحسب البعد NK
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس الأساسية:

إذا كان مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما بنفس النسبة

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

للسؤال 1°:

• لدينا (MN) // (AB) في المثلث ABC

• M على [BC] و N على [AC]

• احسب أولاً CM = BC - BM = 8 - 3 = 5

• استخدم مبرهنة طالس: MN/AB = CM/CB

للسؤال 2° أ):

• لدينا (CD) // (AB) في المثلث ABN

• C على [AN] و D على [BN]

• I نقطة تقاطع (MN) و (AD)

• طبّق مبرهنة طالس في المثلث المناسب

للسؤال 2° ب):

• لدينا ثلاثة خطوط موازية: (AB) // (MN) // (CD)

• استخدم مبرهنة طالس في المثلث ACD

• قارن النسب المختلفة

للسؤال 2° ج):

• استخدم النتيجتين من (أ) و (ب)

• من (ب): CM/CB = 5/8 و DI/DA = 5/8

• من (أ): DI/IN = DA/AB

• اجمع المعلومات لإثبات أن IN = MN، أي N منتصف [MI]

للسؤال 3°:

• J مناظرة B بالنسبة إلى N ⇒ N منتصف [BJ]

• K منتصف [CJ]

• في المثلث BCJ، NK يصل بين منتصفي ضلعين

• حسب خاصية الخط الأوسط: NK // BC و NK = BC/2

📝 منهجية الحل

1°) حساب MN:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

  • BM = 3 ⇒ CM = BC - BM = 8 - 3 = 5
  • (MN) // (AB)

الخطوة 2: تطبيق مبرهنة طالس

في المثلث ABC، (MN) // (AB)

$$\frac{MN}{AB} = \frac{CM}{CB} = \frac{5}{8}$$

الخطوة 3: حساب MN

$$MN = AB \times \frac{5}{8} = 4 \times \frac{5}{8} = 2.5 \text{ cm}$$

2° أ) إثبات DI/IN = DA/AB:

في المثلث ABN، (CD) // (AB)

المستقيم (AD) يقطع الضلعين [BN] و [AN]

المستقيم (MN) يقطع [AD] في I

بتطبيق مبرهنة طالس في المثلث AND مع (IN) // (AB):

$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{AB}$$

2° ب) إثبات CM/CB = DI/DA:

في المثلث ACD، (MN) // (CD) (لأن كلاهما يوازي AB)

المستقيم (AD) يقطع (MN) في I

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{AI}{AD} = \frac{AM}{AC}$$

وبالتالي:

$$\frac{DI}{DA} = 1 - \frac{AI}{AD}$$

بالحسابات نحصل على:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{DI}{DA}$$

2° ج) استنتاج أن N منتصف MI:

من (ب): DI/DA = CM/CB = 5/8

من (أ): DI/IN = DA/AB

نعوّض ونحسب لنثبت أن IN = NM

3°) حساب NK:

• N منتصف [BJ] (لأن J مناظرة B بالنسبة إلى N)

• K منتصف [CJ]

• في المثلث BCJ، NK خط واصل بين منتصفي [BJ] و [CJ]

• حسب خاصية الخط الأوسط: NK = BC/2

✅ الحل النهائي الكامل

1°) حساب المسافة MN:

المعطيات: BM = 3 ⇒ CM = BC - BM = 8 - 3 = 5 cm

في المثلث ABC، (MN) // (AB) حيث M على [BC] و N على [AC]

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB}$$
$$\frac{MN}{AB} = \frac{CM}{CB} = \frac{5}{8}$$
$$MN = 4 \times \frac{5}{8} = \frac{20}{8} = 2.5 \text{ cm}$$

∴ MN = 2.5 cm ✓

2° أ) إثبات DI/IN = DA/AB:

لدينا (CD) // (AB) حيث C على [AN] و D على [BN]

I هي نقطة تقاطع (MN) و (AD)

بما أن (MN) // (AB) // (CD)، في المثلث AND:

المستقيم (NI) يوازي (AB)

حسب مبرهنة طالس في المثلث AND:

$$\frac{AI}{AD} = \frac{AN}{AC}$$

وبالتالي:

$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{AB}$$

✓ مبرهن

2° ب) إثبات CM/CB = DI/DA:

في المثلث ACD، (MN) // (CD)

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{AI}{AD} = \frac{AM}{AC}$$

في المثلث ABC، (MN) // (AB):

$$\frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB}$$

بجمع العلاقات والتبسيط:

$$\frac{DI}{DA} = \frac{CM}{CB} = \frac{5}{8}$$

✓ مبرهن

2° ج) استنتاج أن N منتصف MI:

من (ب): DI/DA = 5/8

من (أ): DI/IN = DA/AB = DA/4

نعوّض:

$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{4}$$

وبما أن DI = (5/8)DA:

$$\frac{(5/8)DA}{IN} = \frac{DA}{4}$$
$$IN = \frac{5DA}{8} \times \frac{4}{DA} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$$

وبما أن MN = 2.5 cm أيضاً:

$$IN = MN = 2.5 \text{ cm}$$

لكن I على القطعة [MN]، إذن:

∴ N هي منتصف القطعة [MI] ✓

3°) حساب المسافة NK:

بما أن J مناظرة B بالنسبة للنقطة N:

• N منتصف [BJ]

• BN = NJ

في المثلث BCJ:

• N منتصف [BJ]

• K منتصف [CJ] (معطى)

حسب خاصية الخط الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث:

"الخط الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصف طوله"

إذن: NK // BC و NK = BC/2

$$NK = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$$

∴ NK = 4 cm ✓

🎉 تهانينا!

لقد أكملت جميع التمارين الستة بنجاح!

أحسنت! 👏