التعلم بالمنهج السقراطي - اكتشف الحل بنفسك
في الرسم التالي \(ABC\) مثلث حيث: \(AB = 7 \text{ cm}\) ؛ \(AC = 6 \text{ cm}\) ؛ \(BC = 8 \text{ cm}\).
\(I\) منتصف \([AB]\) و \(J\) منتصف \([AC]\).
(1)
أ- احسب \(IJ\).
ب- بيّن أن الرباعي \(IJCB\) شبه منحرف.
(2) لتكن \(M\) منتصف \([JC]\). المستقيم المار من \(M\) و الموازي لـ \((BC)\) يقطع \((AB)\) في \(N\).
أ- بيّن أن \(N\) منتصف \([BI]\).
ب- احسب \(MN\).
السؤال 1: ماذا نعرف عن المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث؟
✓ المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث وطوله نصف طول الضلع الثالث.
السؤال 2: بما أن \(I\) منتصف \([AB]\) و \(J\) منتصف \([AC]\)، ماذا نستنتج عن \(IJ\)؟
✓ \((IJ) \parallel (BC)\)
✓ \(IJ = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}\)
السؤال 3: لماذا \(IJCB\) شبه منحرف؟
✓ لأن \((IJ) \parallel (BC)\) (ضلعان متوازيان)
✓ و \((IC)\) و \((JB)\) ليسا متوازيين
السؤال 4: في السؤال (2)، \(M\) منتصف \([JC]\). إذن \(AM = ?\)
✓ \(AJ = \frac{AC}{2} = 3\text{ cm}\)
✓ \(JM = \frac{JC}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ cm}\)
✓ \(AM = AJ + JM = 3 + 1{,}5 = 4{,}5\text{ cm} = \frac{3AC}{4}\)
السؤال 5: بمبرهنة طالس في المثلث \(ABC\)، إذا كان \((MN) \parallel (BC)\)، فماذا نستنتج؟
✓ \(\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{3}{4}\)
✓ إذن \(AN = \frac{3AB}{4} = \frac{3 \times 7}{4} = 5{,}25\text{ cm}\)
السؤال 6: كيف نثبت أن \(N\) منتصف \([BI]\)؟
✓ \(AI = \frac{AB}{2} = 3{,}5\text{ cm}\)
✓ \(IN = AN - AI = 5{,}25 - 3{,}5 = 1{,}75\text{ cm}\)
✓ \(IB = \frac{AB}{2} = 3{,}5\text{ cm}\)
✓ \(NB = AB - AN = 7 - 5{,}25 = 1{,}75\text{ cm}\)
✓ إذن \(IN = NB\) فـ\(N\) منتصف \([IB]\) ✓
السؤال 7: كيف نحسب \(MN\)؟
✓ بمبرهنة طالس: \(\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AC} = \frac{3}{4}\)
✓ \(MN = \frac{3BC}{4} = \frac{3 \times 8}{4} = 6\text{ cm}\)
الخاصية المستعملة: في المثلث، المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث وطوله نصف طول الضلع الثالث.
في المثلث \(ABC\):
إذن: \((IJ) \parallel (BC)\) و \(IJ = \frac{BC}{2}\)
بما أن \(BC = 8\text{ cm}\):
$$IJ = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$$
التعريف: الرباعي شبه منحرف إذا كان له ضلعان متوازيان فقط.
الإثبات:
المعطيات:
التحليل:
بما أن \(J\) منتصف \([AC]\)، فإن \(AJ = JC = \frac{AC}{2} = 3\text{ cm}\)
و \(M\) منتصف \([JC]\)، إذن \(JM = MC = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ cm}\)
إذن \(AM = AJ + JM = 3 + 1{,}5 = 4{,}5\text{ cm}\)
تطبيق مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\):
بما أن \((MN) \parallel (BC)\):
$$\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC}$$
$$\frac{AN}{7} = \frac{4{,}5}{6} = \frac{3}{4}$$
$$AN = \frac{3 \times 7}{4} = \frac{21}{4} = 5{,}25\text{ cm}$$
الآن نتحقق من \(N\) منتصف \([BI]\):
بما أن \(I\) منتصف \([AB]\)، فإن \(AI = \frac{7}{2} = 3{,}5\text{ cm}\)
\(IN = AN - AI = 5{,}25 - 3{,}5 = 1{,}75\text{ cm}\)
\(IB = AB - AI = 7 - 3{,}5 = 3{,}5\text{ cm}\)
\(NB = AB - AN = 7 - 5{,}25 = 1{,}75\text{ cm}\)
بما أن \(IN = NB = 1{,}75\text{ cm}\):
نطبّق مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\):
بما أن \((MN) \parallel (BC)\):
$$\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AC}$$
$$\frac{MN}{8} = \frac{4{,}5}{6} = \frac{3}{4}$$
$$MN = 8 \times \frac{3}{4} = 6\text{ cm}$$
لاحظ الرسم التالي حيث \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) و \(I\) منتصف \([AD]\) و \(J\) منتصف \([BC]\).
لدينا: \(DC = 5\text{ cm}\) و \(PJ = 1{,}5\text{ cm}\).
المطلوب: احسب البعد \(IP\).
(ملاحظة: يُفترض أن \(P\) على \((IJ)\) حسب الرسم)
السؤال 1: في شبه منحرف، ما هي خاصية المستقيم الواصل بين منتصفي الساقين؟
✓ يوازي القاعدتين
✓ طوله يساوي نصف مجموع القاعدتين
السؤال 2: يُفترض أن \(P\) هو تقاطع \((IJ)\) مع \((DC)\)؟
✗ مستحيل! لأن \((IJ) \parallel (DC)\)، لا يمكن أن يتقاطعا
✓ إذن \(P\) على المستقيم \((IJ)\) نفسه
السؤال 3: إذا كان الرسم يوضّح أن \((DP)\) عمودي على \((IJ)\) أو له علاقة بـ\((DC)\)؟
✓ الأرجح أن \(P\) هو مسقط \(D\) على \((IJ)\)
✓ أو أن \((DP) \perp (IJ)\)
السؤال 4: إذا كان \((DP) \perp (IJ)\) و \((DC) \parallel (IJ)\)، ماذا نستنتج؟
✓ \((DP) \perp (DC)\) أيضاً
✓ في المثلث \(DJC\)، إذا كان \(P\) على \((IJ)\) و \((DP) \perp (DC)\)...
الاستنتاج: التمرين يحتاج معلومة إضافية من الرسم
⚠️ بدون الرسم أو معطى إضافي (قيمة \(AB\) أو تعريف دقيق لـ\(P\))، لا يمكن الحل
المعطيات:
⚠️ مشكلة: المعطيات لا تحدّد موقع \(P\) بوضوح!
الفرضية 1: إذا كانت النقطة \(P\) تنتمي إلى المستقيم \((IJ)\) وكان هناك معطى إضافي من الرسم يربط \(P\) بـ\((DC)\).
مثال: إذا كان \(P\) هو تقاطع \((IJ)\) مع عمودي نازل من \(D\):
الفرضية 2: إذا كان التمرين يقصد أن \(P\) على \((DC)\) و\((PJ)\) يقطع \((DC)\):
لكن هذا يتطلب معرفة \(AB\) أو معطيات إضافية.
لنفترض مثلاً أن \(AB = 9\text{ cm}\) (كمثال):
$$IJ = \frac{AB + DC}{2} = \frac{9 + 5}{2} = 7\text{ cm}$$
بما أن \(P\) على \((IJ)\) و \(PJ = 1{,}5\text{ cm}\):
$$IP = IJ - PJ = 7 - 1{,}5 = 5{,}5\text{ cm}$$
لكن هذا مجرد مثال تقديري!
وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر.
لاحظ الرسم التالي حيث \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) و \(I\) منتصف \([AD]\) و \(J\) منتصف \([BC]\) و \(L\) منتصف \([DC]\).
لدينا: \(AD=5\) و \(DC=8\) و \(AC=6{,}4\).
(1) بيّن أن \((IJ) \parallel (AB)\).
(2) المستقيم \((IJ)\) يقطع \([AC]\) في \(K\).
أ- بيّن أن \(K\) منتصف \([AC]\).
ب- احسب \(IK\).
(3) بيّن أن \(IKLD\) متوازي أضلاع.
(4) لتكن \(M\) نقطة من \([BC]\) بحيث \(AM=2{,}6\). المستقيم المار من \(M\) و الموازي لـ \((AI)\) يقطع \((IK)\) في \(N\).
المطلوب: احسب البعد \(NI\).
السؤال 1: ما هي خاصية \((IJ)\) في شبه منحرف \(ABCD\)؟
✓ \((IJ)\) يوازي القاعدتين \((AB)\) و \((DC)\)
✓ إذن \((IJ) \parallel (AB)\) ✓
السؤال 2: في المثلث \(ACD\)، \(I\) منتصف \([AD]\) و \((IK) \parallel (DC)\). ماذا نستنتج؟
✓ حسب الخاصية، \(K\) يجب أن يكون منتصف \([AC]\)
السؤال 3: كيف نحسب \(IK\)؟
✓ في المثلث \(ACD\)، \(I\) و \(K\) منتصفان
✓ إذن \(IK = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}\)
السؤال 4: لإثبات أن \(IKLD\) متوازي أضلاع، ماذا نحتاج؟
✓ نثبت أن \((IK) \parallel (DL)\) و \(IK = DL\)
✓ أو أن القطران يتقاطعان في منتصفهما
السؤال 5: هل \((IK) \parallel (DL)\)؟
✓ \((IK) \parallel (DC)\) (من السؤال 2)
✓ \(L\) على \((DC)\) و \(D\) على \((DC)\)
✓ إذن \((DL)\) جزء من \((DC)\)
✓ نعم \((IK) \parallel (DL)\) ✓
السؤال 6: هل \(IK = DL\)؟
✓ \(IK = 4\text{ cm}\)
✓ \(L\) منتصف \([DC]\)، إذن \(DL = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}\)
✓ نعم \(IK = DL\) ✓
السؤال 7: في السؤال (4)، \((MN) \parallel (AI)\). في أي مثلث نطبّق مبرهنة طالس؟
✓ في المثلث \(AIC\)
✓ لأن \(M\) على \([AC]\) (أو قريب منه) و \(N\) على \([IK]\) أو \([IC]\)
السؤال 8: كيف نحسب \(NI\)؟
✓ نطبّق مبرهنة طالس بحذر حسب موقع النقاط
الخاصية: في شبه المنحرف، المستقيم الواصل بين منتصفي الساقين يوازي القاعدتين.
في شبه المنحرف \(ABCD\):
إذن المستقيم \((IJ)\) يوازي القاعدتين \([AB]\) و \([CD]\):
لنعتبر المثلث \(ACD\):
تطبيق الخاصية: في المثلث، إذا كان مستقيم يمر من منتصف ضلع ويوازي ضلعاً آخر، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه.
في المثلث \(ACD\):
المستقيم \((IK)\) يصل بين منتصفي ضلعين، إذن:
$$IK = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$$
الطريقة: نثبت أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان.
أ- الضلعان \([IK]\) و \([DL]\):
ب- الأطوال:
الاستنتاج: بما أن \((IK) \parallel (DL)\) و \(IK = DL\):
المعطيات:
تحليل: نحتاج لتطبيق مبرهنة طالس في مثلث مناسب.
لنعتبر المثلث \(AIC\):
مشكلة: \(M\) على \([BC]\) وليس على \([AC]\)!
يجب إعادة النظر في الرسم... الأرجح أن:
حل تقريبي (بفرض أن المثلث \(AKI\) هو المقصود):
إذا كان \((MN) \parallel (AI)\) في سياق المثلث \(AKI\) أو مثلث آخر، نطبّق:
$$\frac{NI}{AI} = \frac{\text{نسبة معيّنة}}{\text{حسب المعطيات}}$$
لكن بدون الرسم الدقيق، يصعب الحل الكامل.
في الرسم التالي \(ABCD\) شبه منحرف قائم في \(B\) و \(C\) قاعدتاه \([AB]\) و \([DC]\).
حيث: \(AB = 6\) ؛ \(BC = 7\) ؛ \(CD = 10\) و \(AD=\sqrt{65}\).
و \(E\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((DC)\).
(1) لتكن \(M\) منتصف \([AD]\) و \(P\) منتصف \([BC]\).
أ- بيّن أن \((MP) \parallel (DC)\) و احسب \(MP\).
ب- المستقيم \((MP)\) يقطع \((AE)\) في \(N\).
بيّن أن \(N\) منتصف \([AE]\).
ج- احسب \(MN\).
(2) لتكن \(K\) نقطة من \([AE]\) بحيث \(AK=4{,}2\). المستقيم المار من \(K\) و الموازي لـ \((DE)\) يقطع \((AD)\) في \(L\).
المطلوب: احسب \(AL\) و \(LK\).
السؤال 1: ما هي خاصية \((MP)\) في شبه المنحرف؟
✓ \((MP) \parallel (AB) \parallel (DC)\)
✓ \(MP = \frac{AB + DC}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8\text{ cm}\)
السؤال 2: قبل المتابعة، كيف نحسب \(AE\)؟
✓ \(ABCE\) مستطيل (لأن زواياه قائمة)
✓ إذن \(AE = BC = 7\text{ cm}\)
السؤال 3: في المثلث \(AED\)، \(M\) منتصف \([AD]\) و \((MN) \parallel (DE)\). ماذا نستنتج؟
✓ \(N\) منتصف \([AE]\) ✓
السؤال 4: كيف نحسب \(MN\)؟
✓ أولاً نحسب \(DE\): بما أن \(ED = DC - EC = 10 - 6 = 4\text{ cm}\)
✓ في المثلث \(AED\): \(MN = \frac{DE}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}\)
السؤال 5: في السؤال (2)، كيف نحسب \(AL\) و \(LK\)؟
✓ نطبّق مبرهنة طالس في المثلث \(AED\)
✓ \(\frac{AL}{AD} = \frac{AK}{AE}\)
بما أن \(ABCD\) شبه منحرف قائم في \(B\) و \(C\):
الرباعي \(ABCE\) له ثلاث زوايا قائمة، إذن هو مستطيل:
$$AE = BC = 7\text{ cm}$$
$$EC = AB = 6\text{ cm}$$
$$ED = DC - EC = 10 - 6 = 4\text{ cm}$$
في شبه المنحرف \(ABCD\):
الخاصية: المستقيم الواصل بين منتصفي الساقين يوازي القاعدتين.
$$\boxed{(MP) \parallel (AB) \parallel (DC)}$$
$$MP = \frac{AB + DC}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8\text{ cm}$$
لنعتبر المثلث \(AED\):
تطبيق الخاصية: في مثلث، المستقيم المار من منتصف ضلع والموازي لضلع آخر يقطع الضلع الثالث في منتصفه.
في المثلث \(AED\):
المستقيم \((MN)\) يصل بين منتصفي ضلعين، إذن:
$$MN = \frac{ED}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$$
المعطيات:
تطبيق مبرهنة طالس في المثلث \(AED\):
بما أن \((KL) \parallel (DE)\):
$$\frac{AL}{AD} = \frac{AK}{AE} = \frac{LK}{ED}$$
$$\frac{AL}{\sqrt{65}} = \frac{4{,}2}{7}$$
$$AL = \sqrt{65} \times \frac{4{,}2}{7} = \sqrt{65} \times 0{,}6$$
$$AL \approx 8{,}062 \times 0{,}6 \approx 4{,}837\text{ cm}$$
حساب \(LK\):
$$\frac{LK}{ED} = \frac{AK}{AE}$$
$$\frac{LK}{4} = \frac{4{,}2}{7}$$
$$LK = 4 \times \frac{4{,}2}{7} = \frac{16{,}8}{7} = 2{,}4\text{ cm}$$
في الرسم التالي \(ABC\) مثلث حيث \(AB=4 \text{ cm}\) و \(AC=5 \text{ cm}\) و \(BC = 6 \text{ cm}\).
(1) عيّن النقطة \(D\) من نصف المستقيم \([BA\) بحيث \(BD = 6 \text{ cm}\).
(2) ابن النقطة \(E\) مسقط \(D\) على \((AC)\) وفقاً لمنحى \((BC)\).
(3) احسب \(ED\) و \(AE\).
(4) لتكن \(I\) منتصف \([BE]\) و \(J\) منتصف \([CD]\).
بيّن أن \(IJ = 4{,}5 \text{ cm}\) و \((IJ) \parallel (BC)\).
(5) ارسم المستقيم المار من \(A\) و الموازي للمستقيم \((BC)\) و الذي يقطع المستقيم \((DC)\) في النقطة \(M\).
أ- بيّن أن: $$\frac{DA}{DB}=\frac{AM}{BC}$$
ب- استنتج أن \(DA=AM\).
السؤال 1: \(D\) على النصف مستقيم \([BA\) بحيث \(BD = 6\text{ cm}\). ما هو موقع \(D\) بالنسبة لـ\(A\) و \(B\)؟
✓ \(D\) على امتداد \([BA]\) من جهة \(A\)
✓ \(BA = 4\text{ cm}\)، إذن \(DA = BD - BA = 6 - 4 = 2\text{ cm}\)
السؤال 2: \(E\) مسقط \(D\) على \((AC)\) وفقاً لمنحى \((BC)\). ماذا يعني هذا؟
✓ \((DE) \parallel (BC)\)
✓ \(E\) على \((AC)\)
السؤال 3: كيف نحسب \(ED\) و \(AE\)؟
✓ نطبّق مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\)
✓ لكن \(D\) خارج المثلث... نستعمل الصيغة الموسّعة!
السؤال 4: بمبرهنة طالس في \(ABC\) مع \((DE) \parallel (BC)\)؟
✓ \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\)
✓ \(\frac{2}{4} = \frac{AE}{5} = \frac{DE}{6}\)
✓ \(AE = 5 \times \frac{2}{4} = 2{,}5\text{ cm}\)
✓ \(DE = 6 \times \frac{2}{4} = 3\text{ cm}\)
السؤال 5: في رباعي \(BCDE\)، كيف نحسب المستقيم الواصل بين منتصفي قطريه؟
✓ خاصية: المستقيم الواصل بين منتصفي قطري رباعي يوازي ضلعين متقابلين وطوله نصف الفرق بينهما (إذا كانا متوازيين) أو نصف المجموع
✓ هنا أسهل: نطبّق في مثلثات مختلفة
السؤال 6: في السؤال (5)، كيف نطبّق مبرهنة طالس في المثلث \(DBC\)؟
✓ \((AM) \parallel (BC)\)
✓ \(\frac{DA}{DB} = \frac{AM}{BC}\)
السؤال 7: كيف نستنتج أن \(DA = AM\)؟
✓ \(\frac{DA}{DB} = \frac{AM}{BC}\)
✓ \(DB = BC = 6\text{ cm}\)
✓ إذن \(\frac{DA}{6} = \frac{AM}{6}\)
✓ \(DA = AM\) ✓
(1) نعيّن \(D\) على النصف مستقيم \([BA\) بحيث \(BD = 6\text{ cm}\).
بما أن \(BA = 4\text{ cm}\):
$$DA = BD - BA = 6 - 4 = 2\text{ cm}$$
(2) \(E\) مسقط \(D\) على \((AC)\) وفقاً لمنحى \((BC)\) يعني:
$$(DE) \parallel (BC)$$
\(E\) على \((AC)\)
تطبيق مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\):
بما أن \((DE) \parallel (BC)\) و \(D\) على \((BA)\) (الامتداد) و \(E\) على \((AC)\):
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$
$$\frac{2}{4} = \frac{AE}{5} = \frac{DE}{6}$$
حساب \(AE\):
$$AE = AC \times \frac{AD}{AB} = 5 \times \frac{2}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5\text{ cm}$$
حساب \(DE\):
$$DE = BC \times \frac{AD}{AB} = 6 \times \frac{2}{4} = \frac{12}{4} = 3\text{ cm}$$
المعطيات:
الطريقة: نستعمل خاصية المستقيم الواصل بين منتصفي قطري رباعي.
في الرباعي \(BCDE\):
خاصية: في رباعي، المستقيم الواصل بين منتصفي قطريه يوازي الضلعين \([BC]\) و \([DE]\) (إذا كانا متوازيين) وطوله يساوي نصف طول أحدهما.
بما أن \((DE) \parallel (BC)\):
$$(IJ) \parallel (BC) \parallel (DE)$$
$$IJ = \frac{BC + DE}{2} = \frac{6 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\text{ cm}$$
المعطيات:
تطبيق مبرهنة طالس في المثلث \(DBC\):
بما أن \((AM) \parallel (BC)\) و \(A\) على \((DB)\) و \(M\) على \((DC)\):
$$\frac{DA}{DB} = \frac{DM}{DC} = \frac{AM}{BC}$$
من النتيجة السابقة:
$$\frac{DA}{DB} = \frac{AM}{BC}$$
المعطيات:
إذن:
$$\frac{DA}{6} = \frac{AM}{6}$$
بضرب الطرفين في 6:
$$DA = AM$$
في الرسم التالي، \(ABC\) مثلث حيث \(BC = 9\text{ cm}\) و \(AB = 7\text{ cm}\).
لتكن \(M\) نقطة من الضلع \([AB]\) بحيث \(AM = 3\text{ cm}\).
المستقيم المار من \(M\) والموازي للضلع \([BC]\) يقطع \([AC]\) في النقطة \(N\).
المطلوب:
أ- احسب البعد \(AN\) علماً أن \(AC = 6\text{ cm}\).
ب- احسب البعد \(MN\).
السؤال 1: ما هي شروط تطبيق مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\)؟
✓ يجب أن تكون \(M\) تنتمي إلى \((AB)\)، و \(N\) تنتمي إلى \((AC)\)، و \((MN)\) يوازي \((BC)\).
السؤال 2: ما هي نسب طالس المتساوية في هذا الشكل؟
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
السؤال 3: ما هي القيمة العددية لـ \(\frac{AM}{AB}\)؟
✓ \(\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}\)
السؤال 4: كيف نحسب \(AN\) و \(MN\)؟
✓ \(AN = AC \times \frac{3}{7} = 6 \times \frac{3}{7} = \frac{18}{7}\)
✓ \(MN = BC \times \frac{3}{7} = 9 \times \frac{3}{7} = \frac{27}{7}\)
نطبّق مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\).
لدينا في المثلث \(ABC\):
حسب مبرهنة طالس، فإن النسب التالية متساوية:
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
نعوّض بالقيم المعلومة: \(AM = 3\)، \(AB = 7\)، \(AC = 6\)، \(BC = 9\):
$$\frac{3}{7} = \frac{AN}{6} = \frac{MN}{9}$$
أ- حساب البعد \(AN\):
$$\frac{AN}{6} = \frac{3}{7} \quad \implies AN = 6 \times \frac{3}{7} = \frac{18}{7}$$
ب- حساب البعد \(MN\):
$$\frac{MN}{9} = \frac{3}{7} \quad \implies MN = 9 \times \frac{3}{7} = \frac{27}{7}$$