تمارين في مبرهنة طالس وتطبيقاتها

في الرسم التالي \(ABC\) مثلث حيث: \(AB = 7 \text{cm}\) ؛ \(AC = 6 \text{cm}\) ؛ \(BC = 8 \text{cm}\).

\(I\) منتصف \([AB]\) و \(J\) منتصف \([AC]\).

(1)

أ- احسب \(IJ\).

ب- بيّن أن الرباعي \(IJCB\) شبه منحرف.

(2) لتكن \(M\) منتصف \([JC]\). المستقيم المار من \(M\) و الموازي لـ \((BC)\) يقطع \((AB)\) في \(N\).

أ- بيّن أن \(N\) منتصف \([BI]\).

ب- احسب \(MN\).

لاحظ الرسم التالي حيث \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) و \(I\) منتصف \([AD]\) و \(J\) منتصف \([BC]\).

لدينا: \(DC = 5 \text{cm}\) و \(PJ = 1,5 \text{cm}\).

المطلوب: احسب البعد \(IP\).

وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر.

لاحظ الرسم التالي حيث \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) و \(I\) منتصف \([AD]\) و \(J\) منتصف \([BC]\) و \(L\) منتصف \([DC]\).

لدينا: \(AD=5\) و \(DC=8\) و \(AC=6,4\).

(1) بيّن أن \((IJ) // (AB)\).

(2) المستقيم \((IJ)\) يقطع \([AC]\) في \(K\).

أ- بيّن أن \(K\) منتصف \([AC]\).

ب- احسب \(IK\).

(3) بيّن أن \(IKLD\) متوازي أضلاع.

(4) لتكن \(M\) نقطة من \([BC]\) بحيث \(AM=2,6\). المستقيم المار من \(M\) و الموازي لـ \((AI)\) يقطع \((IK)\) في \(N\).

المطلوب: احسب البعد \(NI\).

في الرسم التالي \(ABCD\) شبه منحرف قائم في \(B\) و \(C\) قاعدتاه \([AB]\) و \([DC]\).

حيث: \(AB = 6\) ؛ \(BC = 7\) ؛ \(CD = 10\) و \(AD=\sqrt{65}\).

و \(E\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((DC)\).

(1) لتكن \(M\) منتصف \([AD]\) و \(P\) منتصف \([BC]\).

أ- بيّن أن \((MP) // (DC)\) و احسب \(MP\).

ب- المستقيم \((MP)\) يقطع \((AE)\) في \(N\).

بيّن أن \(N\) منتصف \([AE]\).

ج- احسب \(MN\).

(2) لتكن \(K\) نقطة من \([AE]\) بحيث \(AK=4,2\). المستقيم المار من \(K\) و الموازي لـ \((DE)\) يقطع \((AD)\) في \(L\).

المطلوب: احسب \(AL\) و \(LK\).

في الرسم التالي \(ABC\) مثلث حيث \(AB=4 \text{cm}\) و \(AC=5 \text{cm}\) و \(BC = 6 \text{cm}\).

(1) عيّن النقطة \(D\) من نصف المستقيم \((BA]\) بحيث \(BD = 6 \text{cm}\).

(2) ابن النقطة \(E\) مسقط \(D\) على \((AC)\) وفقاً لمنحى \((BC)\).

(3) احسب \(ED\) و \(AE\).

(4) لتكن \(I\) منتصف \([BE]\) و \(J\) منتصف \([CD]\).

بيّن أن \(IJ = 4,5 \text{cm}\) و \((IJ) // (BC)\).

(5) ارسم المستقيم المار من \(A\) و الموازي للمستقيم \((BC)\) و الذي يقطع المستقيم \((DC)\) في النقطة \(M\).

أ- بيّن أن: $$\frac{DA}{DB}=\frac{AM}{BC}$$

ب- استنتج أن \(DA=AM\).

ليكن \((O, I, J)\) معيناً في المستوي بحيث \(OI=OJ=1 \text{cm}\).

(1) عيّن النقاط: \(A(0;4)\)، \(B(3;2)\)، \(C(3;0)\)، \(M(0;2)\).

(2)

أ- احسب الأبعاد: \(OA\)، \(OC\) و \(OM\).

ب- بيّن أن \((OA) // (BC)\).

ج- بيّن أن الرباعي \(MBCO\) متوازي الأضلاع ثم استنتج \(BC\).

(3) المستقيم \((AB)\) يقطع المستقيم \((OC)\) في النقطة \(D\).

أ- بيّن أن: $$\frac{DC}{DO}=\frac{DB}{DA}=\frac{1}{2}$$

ب- استنتج أن \(C\) منتصف \([DO]\) و أن \(B\) منتصف \([AD]\).

ج- استنتج فاصلة \(D\).

(4) لتكن \(K\) منتصف \([AB]\) و \(L\) منتصف \([OC]\).

أ- احسب \(LK\).

ب- المستقيم \((LK)\) يقطع المستقيم \((MB)\) في النقطة \(P\). أوجد إحداثيات \(P\).