تمارين تطبيقية حول مبرهنة طالس

دفواراتي
حساب طول ناقص
تمرين 1

لدينا مثلث ABC والنقطة M تنتمي إلى [AB] والنقطة N تنتمي إلى [AC] بحيث \((MN) // (BC)\). إذا علمت أن \(AM = 4\text{cm}\)، \(MB = 2\text{cm}\) و \(AN = 6\text{cm}\)، أحسب طول NC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مبرهنة طالس تتطلب استخدام الأطوال الكاملة للأضلاع انطلاقاً من الرأس المشترك A. يجب أولاً حساب طول الضلع [AB] قبل تطبيق المبرهنة.

📝 الطريقة

  1. احسب الطول الكامل للضلع [AB]: \(AB = AM + MB\).
  2. اكتب نسب طالس: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\).
  3. استخدم هذه النسبة لإيجاد الطول الكامل للضلع [AC].
  4. احسب الطول المطلوب NC: \(NC = AC - AN\).

✅ الحل الكامل

1. حساب طول [AB]:

\[AB = AM + MB = 4 + 2 = 6 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

بما أن \((MN) // (BC)\)، فإن: \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\]

\[\frac{4}{6} = \frac{6}{AC}\]

3. إيجاد AC:

\[4 \times AC = 6 \times 6 \Rightarrow AC = \frac{36}{4} = 9 \text{ cm}\]

4. حساب NC:

\[NC = AC - AN = 9 - 6 = 3 \text{ cm}\]
حساب طول ناقص (2)
تمرين 2

في الشكل التالي، المستقيمان (DE) و (BC) متوازيان. إذا كان \(AD = 5\text{cm}\)، \(DB = 3\text{cm}\) و \(AE = 7.5\text{cm}\)، أحسب طول EC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

كما في التمرين السابق، ابدأ بحساب الطول الكامل للضلع [AB].

📝 الطريقة

  1. احسب الطول الكامل للضلع [AB]: \(AB = AD + DB\).
  2. اكتب نسب طالس: \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\).
  3. استخدم هذه النسبة لإيجاد الطول الكامل للضلع [AC].
  4. احسب الطول المطلوب EC: \(EC = AC - AE\).

✅ الحل الكامل

1. حساب طول [AB]:

\[AB = AD + DB = 5 + 3 = 8 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\]
\[\frac{5}{8} = \frac{7.5}{AC}\]

3. إيجاد AC:

\[5 \times AC = 8 \times 7.5 \Rightarrow 5 \times AC = 60\]
\[AC = \frac{60}{5} = 12 \text{ cm}\]

4. حساب EC:

\[EC = AC - AE = 12 - 7.5 = 4.5 \text{ cm}\]
حساب طول كامل
تمرين 3

في الشكل المقابل، المستقيمان (MN) و (BC) متوازيان. إذا علمت أن \(AM = 2\text{cm}\)، \(AN = 3\text{cm}\) و \(NC = 4.5\text{cm}\)، أحسب طول AB.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أنت بحاجة إلى الطول الكامل للضلع [AC] لتطبيق مبرهنة طالس. يمكنك حسابه من المعطيات.

📝 الطريقة

  1. احسب الطول الكامل للضلع [AC]: \(AC = AN + NC\).
  2. اكتب نسب طالس: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\).
  3. عوض بالقيم المعلومة وحل المعادلة لإيجاد AB.

✅ الحل الكامل

1. حساب طول [AC]:

\[AC = AN + NC = 3 + 4.5 = 7.5 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\]
\[\frac{2}{AB} = \frac{3}{7.5}\]

3. إيجاد AB:

\[3 \times AB = 2 \times 7.5 \Rightarrow 3 \times AB = 15\]
\[AB = \frac{15}{3} = 5 \text{ cm}\]
حساب طول جزء
تمرين 4

لدينا مثلث ABC والنقطة M تنتمي إلى [AB] والنقطة N تنتمي إلى [AC] بحيث \((MN) // (BC)\). إذا كان \(AB = 10\text{cm}\)، \(AM = 4\text{cm}\) و \(AC = 12\text{cm}\)، أحسب طول AN.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا تطبيق مباشر لمبرهنة طالس. كل المعطيات الضرورية متوفرة.

📝 الطريقة

  1. اكتب نسب طالس: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\).
  2. عوض بالقيم المعلومة، مع ترك AN كمجهول.
  3. حل المعادلة لإيجاد AN.

✅ الحل الكامل

بما أن \((MN) // (BC)\)، حسب مبرهنة طالس:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\]
\[\frac{4}{10} = \frac{AN}{12}\]
\[10 \times AN = 4 \times 12 \Rightarrow 10 \times AN = 48\]
\[AN = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}\]
حساب طول الضلع الموازي
تمرين 5

في الشكل التالي، المستقيم (EF) يوازي القاعدة (BC) في المثلث ABC. إذا علمت أن \(AE = 6\text{cm}\)، \(EC = 4\text{cm}\) و \(BC = 12\text{cm}\)، أحسب طول EF.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب طول الضلع الموازي، تحتاج إلى النسبة الكاملة \(\frac{AE}{AC}\). ابدأ بحساب AC.

📝 الطريقة

  1. احسب الطول الكامل للضلع [AC]: \(AC = AE + EC\).
  2. اكتب نسب طالس التي تتضمن الأضلاع المتوازية: \(\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC}\).
  3. عوض بالقيم المعلومة وحل المعادلة لإيجاد EF.

✅ الحل الكامل

1. حساب طول [AC]:

\[AC = AE + EC = 6 + 4 = 10 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC}\]
\[\frac{6}{10} = \frac{EF}{12}\]

3. إيجاد EF:

\[10 \times EF = 6 \times 12 \Rightarrow 10 \times EF = 72\]
\[EF = \frac{72}{10} = 7.2 \text{ cm}\]
حساب طول (شكل الفراشة)
تمرين 6

في الشكل المقابل، المستقيمان (MN) و (PQ) متوازيان ويتقاطعان في O. إذا علمت أن \(OM = 3\text{cm}\)، \(OP = 5\text{cm}\) و \(ON = 4.5\text{cm}\)، أحسب طول OQ.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا تطبيق مباشر لمبرهنة طالس في شكل "الفراشة". اكتب النسب الصحيحة.

📝 الطريقة

  1. اكتب نسب طالس: \(\frac{OM}{OP} = \frac{ON}{OQ}\).
  2. عوض بالقيم المعلومة.
  3. حل المعادلة لإيجاد OQ.

✅ الحل الكامل

بما أن \((MN) // (PQ)\)، حسب مبرهنة طالس:

\[\frac{OM}{OP} = \frac{ON}{OQ}\]
\[\frac{3}{5} = \frac{4.5}{OQ}\]
\[3 \times OQ = 5 \times 4.5 \Rightarrow 3 \times OQ = 22.5\]
\[OQ = \frac{22.5}{3} = 7.5 \text{ cm}\]
حساب طول الضلع الموازي
تمرين 7

في المثلث ABC، النقطة D تنتمي إلى [AB] والنقطة E تنتمي إلى [AC] بحيث \((DE) // (BC)\). إذا كان \(AD = 2.4\text{cm}\)، \(DB = 3.6\text{cm}\) و \(DE = 4\text{cm}\)، أحسب طول BC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب طول القاعدة الكبرى، تحتاج إلى كتابة النسبة التي تتضمن الأضلاع المتوازية. لا تنس حساب الطول الكامل للضلع [AB] أولاً.

📝 الطريقة

  1. احسب الطول الكامل للضلع [AB]: \(AB = AD + DB\).
  2. اكتب نسب طالس التي تتضمن الأضلاع المتوازية: \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\).
  3. عوض بالقيم المعلومة وحل المعادلة لإيجاد BC.

✅ الحل الكامل

1. حساب طول [AB]:

\[AB = AD + DB = 2.4 + 3.6 = 6 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\]
\[\frac{2.4}{6} = \frac{4}{BC}\]

3. إيجاد BC:

\[2.4 \times BC = 6 \times 4 \Rightarrow 2.4 \times BC = 24\]
\[BC = \frac{24}{2.4} = 10 \text{ cm}\]
حساب طول (شكل الفراشة)
تمرين 8

في الشكل التالي، المستقيمان (IJ) و (LK) متوازيان ويتقاطعان في O. إذا كان \(OI = 2\text{cm}\)، \(OL = 6\text{cm}\) و \(OK = 9\text{cm}\)، أحسب طول OJ.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تأكد من كتابة النسب بشكل صحيح في شكل الفراشة: الضلع الصغير على الضلع الكبير.

📝 الطريقة

  1. اكتب نسب طالس: \(\frac{OI}{OL} = \frac{OJ}{OK}\).
  2. عوض بالقيم المعلومة.
  3. حل المعادلة لإيجاد OJ.

✅ الحل الكامل

بما أن \((IJ) // (LK)\)، حسب مبرهنة طالس:

\[\frac{OI}{OL} = \frac{OJ}{OK}\]
\[\frac{2}{6} = \frac{OJ}{9}\]
\[6 \times OJ = 2 \times 9 \Rightarrow 6 \times OJ = 18\]
\[OJ = \frac{18}{6} = 3 \text{ cm}\]
العلاقة بين المحيطات
تمرين 9

في المثلث ABC، النقطة M تنتمي إلى [AB] والنقطة N تنتمي إلى [AC] بحيث \((MN) // (BC)\). إذا كان \(AB = 15\text{cm}\), \(AM = 10\text{cm}\) ومحيط المثلث AMN يساوي 32cm، أحسب محيط المثلث ABC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

عندما يكون مثلثان متشابهين (وهو الحال هنا بسبب التوازي)، فإن النسبة بين محيطيهما تساوي النسبة بين أضلاعهما المتناظرة (معامل التصغير/التكبير).

📝 الطريقة

  1. إيجاد معامل التكبير (k): حسب مبرهنة طالس، معامل التكبير من AMN إلى ABC هو \(k = \frac{AB}{AM}\).
  2. كتابة علاقة المحيطات: النسبة بين المحيطات تساوي معامل التكبير: \(\frac{\text{محيط}(ABC)}{\text{محيط}(AMN)} = k\).
  3. حل المعادلة: عوض بالقيم المعلومة لحل المعادلة وإيجاد محيط المثلث ABC.

✅ الحل الكامل

1. حساب معامل التكبير k:

بما أن \((MN) // (BC)\)، فإن المثلث ABC هو تكبير للمثلث AMN. معامل التكبير k هو:

\[k = \frac{AB}{AM} = \frac{15}{10} = 1.5\]

2. تطبيق علاقة المحيطات:

النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي معامل التكبير:

\[\frac{\text{محيط}(ABC)}{\text{محيط}(AMN)} = k = 1.5\]

3. حساب محيط ABC:

\[\text{محيط}(ABC) = 1.5 \times \text{محيط}(AMN)\]
\[\text{محيط}(ABC) = 1.5 \times 32 = 48 \text{ cm}\]
حساب جزء من ضلع
تمرين 10

في المثلث OPQ، المستقيم (RS) يوازي القاعدة (PQ). لدينا \(OR = 5\text{cm}\)، \(RP = 3\text{cm}\) و \(OS = 7.5\text{cm}\). أحسب طول SQ.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لا يمكنك حساب SQ مباشرة. يجب أولاً حساب الطول الكامل للضلع [OQ] باستخدام مبرهنة طالس. لا تنس حساب الطول الكامل للضلع [OP] أولاً.

📝 الطريقة

  1. احسب الطول الكامل للضلع [OP]: \(OP = OR + RP\).
  2. اكتب نسب طالس: \(\frac{OR}{OP} = \frac{OS}{OQ}\).
  3. استخدم النسبة لإيجاد الطول الكامل للضلع [OQ].
  4. احسب الطول المطلوب SQ: \(SQ = OQ - OS\).

✅ الحل الكامل

1. حساب طول [OP]:

\[OP = OR + RP = 5 + 3 = 8 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

بما أن \((RS) // (PQ)\)، فإن: \[\frac{OR}{OP} = \frac{OS}{OQ}\]

\[\frac{5}{8} = \frac{7.5}{OQ}\]

3. إيجاد OQ:

\[5 \times OQ = 8 \times 7.5 \Rightarrow 5 \times OQ = 60\]
\[OQ = \frac{60}{5} = 12 \text{ cm}\]

4. حساب SQ:

\[SQ = OQ - OS = 12 - 7.5 = 4.5 \text{ cm}\]