سلسلة تمارين في الرياضيات

نظرية طاليس و التماثل المحوري - السلسلة الكاملة

1 تمرين عدد 1

1)(أ)(O,I,J) معلما متعامدا حيث $\text{OI} = \text{OJ} = 1$

(1) عين النقاط $C(-2,0)$ و $B(0,2)$ و $A(2,0)$

ب) بين أن $[IJ]//(AB)$ (بطريقتين) $\text{AB}=2\sqrt{2}$

ج- استنتج أن $\text{BC}=2\sqrt{2}$

2) استنتج: $(IJ)$ يقطع $(CB)$ في $H$

(أ) بين أن $\dfrac{IH}{CA} = \dfrac{CH}{CB} = \dfrac{IH}{AB}$

ب- احسب $IH$ و $CH$

3) المستقيم من $B$ و $H$ والموازي لـ $(OI)$ يقطع $(AC)$ في $K$

بين أن $HK = HB$

✓ إصلاح تمرين عدد 1

1)(أ) نطبيق المثلث $(OIJ)$ حيث $\widehat{OIJ} = 45°$ إذن $IJ = \sqrt{2}$ و $\widehat{OIJ} = 45°$
طريقة 1: $\widehat{OAB}$ حيث $\widehat{OAB} = 45°$ و $\widehat{O}$ متقايستين و متناظرتين $\widehat{OIJ}$ و $\widehat{OAB}$ متقابلتين و متناظرتين إذن $(IJ)//(AB)$ طريقة 2: في المثلث $OAB$ حيث $I$ تنتمي إلى $[OA]$ و $J$ تنتمي إلى $[OB]$ $$\dfrac{OI}{OA} = \dfrac{1}{2}$$ و $$\dfrac{OJ}{OB} = \dfrac{1}{2}$$ نحصل على $$\dfrac{OI}{OA} = \dfrac{OJ}{OB}$$ إذن بتطبيق عكس نظرية طاليس $(IJ)//(AB)$

ب- $BC = BA = 2\sqrt{2}$

2) أ- نطبيق نظرية طاليس في المثلث $ABC$ نحصل على:
$$\dfrac{CI}{CA} = \dfrac{CH}{CB} = \dfrac{IH}{AB}$$

ب- بما أن $IH = CH = \dfrac{3}{2}\sqrt{2}$

3) $(KB)//(CI)$ ثم $(IH)$ في المثلث $HCB$ حيث $K = [IH]$ و $B = [CH]$ متوسطات في المثلث
نحصل على $\text{IH} = \text{HK}$ و $\text{HB} = \text{IH}$ و $\text{HC}$ إذن $\text{HK} = \text{HB}$
2 تمرين عدد 2 (وحدة قيس الطول في المم)

1)(أ)(O,I,J) معلما متعامدا حيث $\text{OI} = \text{OJ} = 1$

$A$ و $B$ نقطتين من المستوى حيث $A(3,0)$ و $B(3,5)$

1) استنتج $(BB)$ يقطع $(OJ)$ في نقطة $H$

(أ) بين أن $\dfrac{OJ}{JB} = \dfrac{IH}{JB} = \dfrac{IH}{IB}$

ب- استنتج إحداثيتي $H$

2) لتكن النقطة $K$ متناظرة النقطة $I$ بالنسبة إلى $(OI)$

(أ) حدد إحداثيات النقطة $K$

ب- بين أن $H$ مركز ثقل المثلث $AKH$

3) لتكن $E$ تنتمي إلى نصف المستقيم $[BG)$ بحيث إحداثيات النقطة $E$

✓ إصلاح تمرين عدد 2

يرجى مراجعة الصور للحصول على التصحيح الكامل لهذا التمرين
3 تمرين عدد 3 (وحدة قيس الطول في المم)

يعتبر شبه منحرف قائم في $A$ و $D$ قاعدتاه $[AB]$ و $[DC]$

حيث $AB = 3$ و $AD = 6$ و $DC = 6$ و $BC = 3\sqrt{2}$

لتكن النقاط $M$ و $N$ بحيث $M$ و $N$ و $F$ على نصف المستقيم $E$ على نصف المستقيم $F$ حيث $\text{EF} = \text{F(0,2)}$ على الموالي على $(AB)$

1) احسب $MN$ و $BM$ و $NC$

2) المستقيمين $(AD)$ و $(BC)$ يقطعان في نقطة $O$

(أ) بين أن $\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{1}{2}$ استنتج أن $B$ ينتصف $[OC]$

(ب) (1) بين أن $\dfrac{FN}{DC} = \dfrac{5}{6}$ ثم احسب $FN$

(3) (1) بين أن $\text{EM} = 4$

4)(أ) في المثلث $ODC$ بقطع $N = [MC]$ و $B$ منتصف $[OC]$ إذن $\text{BD} = 3\sqrt{2}$

ب- بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $BDC$ نحصل على:

$\dfrac{BM}{BC} = \dfrac{IM}{DC} = \dfrac{BI}{BD}$

ج- في المثلث $BJN$ المستقيم $(IM)$ يمر من منتصف $[BN]$ وموازي $A$ في الضلع $[BJ]$

في الأوضاع $EBNJ$ المطوران $(BJ)$ و $(EM)$ لكهما نفس المنتصف $I$ إذن $EBNJ$ متوازي أضلاع

✓ إصلاح تمرين عدد 3

1) النقاط $N$ و $M$ و $B$ تنتمي إلى $(IJ) ∕∕ (AB)$ حسب مبرهنة طاليس في المثلث
في المثلث $CAB$ حيث $I$ تنتمي إلى $[AB//(DC)]$ و $J$ حيث متوسطة طاليس في المثلث: $$\text{BM} = \text{MN} = \text{NC} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$$
2) أ- في المثلث $(ODC)$ النقطة $A$ تنتمي إلى $[OD]$ و $B$ تنتمي إلى $[CO]$
$$\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$ وبتطبيق مبرهنة طاليس: $$\dfrac{OB}{OC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{1}{2}$$ ومنه $B$ ينتصف $[OC]$
ب- في المثلث $(ODC)$ حيث $A$ تنتمي إلى $[OD]$ و $(FN)//(OA)$
$$\dfrac{FN}{DC} = \dfrac{OF}{OD}$$ لكن $\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{1}{2}$ إذن $\text{OF} = \dfrac{5}{6}\text{OD}$ إذن $\dfrac{FN}{DC} = \dfrac{5}{6}$ و $FN = 5$ في الشكل $(FN)//(DC)$ لدينا $\text{EM} + \text{DC} = \dfrac{1}{2}(\text{EM} + \text{DC})$ إذن $\text{EM} = 2\text{FN}$ و $\text{DC} = 6$ ومنه $\text{EM} = 4$
4) أ- في المثلث $ODC$ بقطع $N = [MC]$ و $B$ منتصف $[OC]$ إذن $\text{BD} = 3\sqrt{2}$

ب- بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $BDC$ نحصل على:

$$\dfrac{BM}{BC} = \dfrac{IM}{DC} = \dfrac{BI}{BD}$$ إذن $\text{IM} = 6 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2$

ج- في المثلث $BJN$ المستقيم $(IM)$ يمر من منتصف $[BN]$ وموازي لـ $[BJ]$ في الضلع. إذن $IM$ ينتصف $[JE]$ و $(IM)$

في الأوضاع $EBNJ$ المطوران $(BJ)$ و $(EM)$ لهما نفس المنتصف $I$ إذن $EBNJ$ متوازي أضلاع

4 تمرين عدد 4 (وحدة قيس الطول في المم)

نعتبر مثلث $ABC$ متقايس الأضلاع حيث $6 = AB$ و منتصف $[AB]$ و $I$ منتصف $[BC]$

الدائرة التي قطرها $[AB]$ يقطع $[BC]$ في نقطة $I$

1)(أ) بين أن المثلث $AIB$ قائم في $I$

(ب) بين أن $I$ منتصف $[BC]$

2) لتكن $K$ منتصف $[AC]$ بين أن $(IK)$ يقطع $[AC]$ في النقطة $J$

3) (أ) $[BK]$ و $[AI]$ يتقاطعان في نقطة $G$

بين أن النقاط $C$ و $J$ و $G$ على استقامة واحدة

✓ إصلاح تمرين عدد 4

1)(أ) في المثلث $ABJ$ لدينا $\text{IA=IB=IJ}$ إذن $I$ هو مركز ثقل المثلث $ABJ$
ومنه $J$ و $I$ و $C$ على استقامة واحدة لأن $[CI]$ هو المتوسط المار من $C$

(ب) في المثلث $ABC$ لدينا $\text{IA=IB}$ إذن $I$ منتصف $[AB]$ لأن $[CI]$ هو المتوسط ومنه $I$ ينتصف $[AB]$

2) في المثلث $ABC$ لدينا $K$ منتصف $[AC]$ و $I$ منتصف $[AB]$
إذن القطعة $(IK)$ متوازية ومساوية لنصف الضلع $[BC]$
3) في المثلث $ABC$ لدينا $J$ و $K$ و $I$ متوسطات المثلث تتقاطع في $G$ وبما أن $C$ و $I$ و $J$ على استقامة واحدة
فإن $C$ و $J$ و $G$ على استقامة واحدة
5 تمرين عدد 5 (وحدة قيس الطول في المم)

ليكن $c$ دائرة مركزها $O$ و $[AB]$ قطر لها حيث $AB = AC = 6$ و $BC = 10$

$C$ نقطة من الدائرة $\bigodot$ بحيث $AB = 6$ و $BC = 10$

1) بين أن المثلث $ABC$ يثبت الزاوية في $F$

2) لتكن النقطة $K$ المسقط العمودي لـ $O$ على $(BF)$

(أ) بين أن $K$ ينتصف $[BF]$

ب) أحسب $OK$

3) لتكن $M$ نقطة تنتمي المستقيم $M$ بالنسبة إلى $K$ حيث $K$ يقطع $(BF)$ و $(AE)$

بين أن المستقيم $(AB)$ عمودي على $(H)$

بين أن $M$ متناظرة $C$ بالنسبة إلى $K$ يتقاطعان في $[EC]$

✓ إصلاح تمرين عدد 5

التصحيح متوفر في الصور - يرجى مراجعة الصفحة الثالثة والرابعة للحصول على التفاصيل الكاملة
6 تمرين عدد 6 (وحدة قيس الطول في المم)

$BC$ أثبت قائم الزاوية في $B$ حيث $AB = AC = 6$ و $BC = 10$

$E$ نقطة من $[AC]$ حيث $\dfrac{AE}{BC} = ED = \dfrac{BC}{2}$ و $AF = \dfrac{AC}{2}$ و $(AF) /// (BC)$

1) بين أن المستقيم $[EC]$ يقطع $[AC]$

ب- بين أن المثلث $EBC$ قائم في $C$

2)(أ) بين أن $[BF]$ يقطع $(AC)$ في $G$ مركز ثقل المثلث $BCE$

ب- استنتج $\dfrac{CG}{CA}$

3)(أ) (1) $(EG)$ يقطع $(BC)$ في نقطة $M$، بين أن $\widehat{AMCF}$ مربع

✓ إصلاح تمرين عدد 6

1) في المثلث $EBC$ لدينا $F$ منتصف $[EC]$ و $E$ منتصف $[EB]$
إذن $(AF)//(BC)$ لدينا $\text{AE} = \text{AB} = \text{AC}$ حيث $[EB]$ منتصف $[EB]$ إذن $A$ منتصف 2)(أ) في المثلث $EBC$ لدينا $[CA]$ و $[BF]$ و $[EB]$ متوسطات تتقاطع في $G$ إذن $G$ هو مركز ثقل المثلث $EBC$ ب- إذن $G$ في مركز ثقل المثلث $EBC$ إذن $\dfrac{CG}{CA} = \dfrac{2}{3}$
7 تمرين عدد 7 (وحدة قيس الطول في المم)

$ABC$ يشكل و $D$ نقطة من $[BC]$ حيث $BD = \dfrac{DC}{3}$ و $\dfrac{BC}{DC} = BD$

المستقيم المار من $D$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(AB)$ في $H$ في نقطة $H$

1) بين $\dfrac{HI}{AC} = \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{1}{4}$

2) بالتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ حيث $H$ منتصف ثقل المثلث

3) المستقيم المار من $A$ و $B$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(AB)$ في $[AB]$ في $H$ مركز ثقل المثلث

$AEC$ و $G$ مركز ثقل هذا المثلث. بين أن النقاط $D$ و $H$ و $J$ و $K$ على استقامة واحدة

✓ إصلاح تمرين عدد 7

1) بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ حيث $H$ تنتمي $BA$ و $H$ بالنسبة إلى $H$ في المثلث
نحصل على $\dfrac{HD}{AC} = \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{1}{4}$
2) بالتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ بحيث $D=\dfrac{1}{4}$ و $E=\dfrac{1}{4}$ بتطبيق $(DH)//(AB)$
$(DH)//(AB)$ و $D_2$ $E$ بالنسبة إلى $BA$ $(AB)$ يتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ حيث $BA$ و $(DH)$ $E$ بـ $BA$ يتطبيق $$\dfrac{HD}{AC} = \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$$ بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ و $(AB)$ أو $I$ و متوسط للـ $(AB)$ $D$ $E$ $I$ في $(AB)$
8 تمرين عدد 8

ليكن $ABC$ مثلث حيث $CB=AC=6$ و $AB=8$

1) بين النقطة $K$ من $[CK]$ حيث $CK = \dfrac{2}{3}CC$

المستقيم المار من $K$ و الموازي للمستقيم $(AC)$ يقطع $[CB]$ في النقطة $L$

أحسب $LG$ و $CL$

2) (أ) بين النقطة $K$ متناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ لدينا $C$ على $(BD)$

(ب) بين أن المثلث $ABD$ قائم في $B$ و بين أن $L$ مركز ثقل المثلث $ABD$

ج- بين أن النقاط $A$ و $H$ و $L$ و $J$ على استقامة واحدة

✓ إصلاح تمرين عدد 8

1) بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ حيث $E$ بالنسبة $(AC)$ والموازي للمستقيم $(AC)$ يقطع $[CB]$ في النقطة $L$
نحصل على $\dfrac{BL}{BC} = \dfrac{BK}{BA} = \dfrac{KL}{AC}$ ومنه $\text{BL} = \dfrac{2}{3} \times 6 = 4$ إذن $\text{GL} = 2$
2) أ- في المثلث $ABC$ حيث $CA = CB = CD = [AD]$ منتصف $[AD]$
إذن $\text{BL}$ ينتصف $[AD]$ إذن $B$ هو المركز ثقل للمثلث $ABD$ في المثلث $[BG]$ ينتصف $[AD]$ حيث $\text{BL}$ مركز ثقل المثلث $ABD$
ج- بين أن النقاط $A$ و $H$ و $L$ و $J$ على استقامة واحدة
$L$ هو مركز ثقل المثلث $ABD$ و $J$ على استقامة واحدة
9 تمرين عدد 9

1)(أ) $P$ منتصف $[AC]$ و $x_p = 2$

$x_P = \dfrac{x_A+x_C}{2}$

إذن $y_E = \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

B- منتصف $[JK]$ و $y_E = 5$

1)(أ) $[AC]$ منتصف $P$

ب- استنتج أن $[JK]$ ينتصف $[AB]$

2) لتكن $M$ متناظرة $A$ من على $(BC)$ بالنسبة إلى $K$

بين أن $(BC)$ يقطع $(AM)$ في المنتصف

بين أن $M$ مركز ثقل المثلث $(BC)$ يقطع $(AM)$ في منتصف $[AM]$

✓ إصلاح تمرين عدد 9

1)(أ) منتصف $[AC]$ $x_p = \dfrac{x_A+x_C}{2} = 2$ و $x_p = \dfrac{x_A+x_C}{2}$
$y_E = \dfrac{1+5}{2} = 3$ و $x_p = \dfrac{x_A+x_C}{2} = 2$ البحث $[JK]$ منتصف $[AB]$ $y_{JK}$ $(PK)//(O)$ إذن $(PK)$ و $(PK)//(O)$
2) $y_P$ بين $(PK)$ و $(O)$ $(AB)$ في $(O)$ $y_P = 3$ $x_K = y_P$
البحث $BP = BK$ إذن $(PK)//(BK)$ و $JH_{BP}$ $JR$ إذن $B$ منتصف $[(PK)//(O)]$ $BP = BK$
10 تمرين عدد 10 (وحدة قيس الطول في المنتصف)

ليكن $ABC$ مثلث حيث $AB = 8$ و $AC = 6$ و $BC = 10$

لين النقطتين $D$ و $E$ حيث $\dfrac{AE}{AC} = ED = \dfrac{BC}{2}$ بحيث $D$ ينتمي إلى $[EC]$

✓ إصلاح تمرين عدد 10

1) بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ حيث $\dfrac{BC}{BL} = \dfrac{AC}{GL}$
إذن $\text{BL} = \dfrac{2}{3} \times 3 = 2$ و $\text{BL} = 3 - 2 = \dfrac{1}{3}\text{BC}$ في المثلث $ABD$ لدينا $CA = CB = CD$ $[AD]$ منتصف 2)(أ) في المثلث $ABD$ بين النقطة $I$ تنتمي إلى $(AB)$ $BL$ ينتصف $[AD]$ في النقطة $(AC)$ من ثقل المثلث $ABD$ حيث $BL$ مركز ثقل المثلث $L$ $I$ $J$ $ABD$ $$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{GL}{BL}$$ ب- في المثلث $ABD$ النقطة $I$ مركز ثقل للمثلث فإن $(AB)$ ومتوسط $I$ للمثلث $ABD$ $J$ على استقامة واحدة
التفاصيل الكاملة متوفرة في الصور المرفقة