تمرين 75

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين في $A$ و $G$ مركز ثقله و $A'$ مركز ثقل المثلث $BCG$.

بين أن: $AI = \frac{8}{9} AA'$.

تمرين 76

$OAC$ مثلث متقايس الضلعين في $O$ و $G$ مركز ثقله. $( \Delta )$ مستقيم يمر من $G$ و يوازي المستقيم $(OC)$ و يقطع المستقيم $(OA)$ في $M$ و $[AC]$ منتصفه $I$ و لتكن $B$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$.

  1. ما هو نوع المثلث $ABC$؟ علل.
  2. بين أن $M$ هي مركز ثقل المثلث $ABC$.
  3. استنتج أن $M$ هي مركز ثقل المثلث $OAD$.

تمرين 77

$ABCD$ متوازي الأضلاع مركزه $O$ و $I$ هي مركز ثقل المثلث $OBC$ و $J$ هي مركز ثقل المثلث $OAD$.

برهن أن $O$ منتصف القطعة $[IJ]$.

تمرين 78 (فرض تأليفي)

  1. أرسم قطعة مستقيم $[AB]$ و لتكن $M$ نقطة من $[AB]$ بحيث $AB = \text{8cm}$ و $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{4}$ . أحسب $AM$ ثم استنتج $BM$.
  2. أرسم المستقيم المار من $M$ و العمودي على $(AB)$ و عين عليه نقطة $C$ بحيث $MC = \text{7cm}$.
  3. عين المنتصف $J$ لـ $[BC]$. المستقيم $(AJ)$ يقطع $(CI)$ في $G$.
    أ. بين أن $G$ مركز ثقل المثلث $ABC$.
    ب. أحسب $CG$.
  4. المستقيم المار من $I$ و الموازي لـ $(CM)$ يقطع $(AC)$ في $H$. و أكتب $IH$ بدلالة $CM$.

الإصلاح المفصل للتمرين 78

1. حساب $AM$ و استنتاج $BM$:

لدينا: $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{4}$
$AM = \frac{3}{4} \times AB$
تعويض $AB = \text{8cm}$: $AM = \frac{3}{4} \times 8$
$AM = 3 \times 2$
$AM = \text{6cm}$

استنتاج $BM$: بما أن $M \in [AB]$، فإن $AB = AM + BM$.

$BM = AB - AM$
$BM = 8 - 6$
$BM = \text{2cm}$

2. الرسم:

3. أ. تبيان أن $G$ مركز ثقل المثلث $ABC$:

لدينا $J$ هو منتصف $[BC]$, إذن $(AJ)$ هو الموسط (المتوسط) الصادر من $A$. لدينا $I$ هو منتصف $[AC]$ (من سياق السؤال 4 و الشكل، يجب أن يكون $I$ منتصف $[AC]$، ولكن في السؤال 3 لم يتم تعريف $I$. نفترض أن $I$ هي نقطة أخرى أو خطأ مطبعي. بالنظر إلى السؤال 4، $I$ مستعملة. *نفترض أن* $I$ هي منتصف $[AC]$، أو أن $(CI)$ هو موسط آخر. لنعتبر $(CI)$ موسطا.

بما أن $(AJ)$ و $(CI)$ موسطان (متوسطان) في المثلث $ABC$ و يتقاطعان في $G$، فإن $G$ هي مركز ثقل المثلث $ABC$.

3. ب. حساب $CG$:

بما أن $G$ مركز ثقل المثلث $ABC$ و $I$ منتصف $[AC]$، فإن:

$CG = \frac{2}{3} CI$

(*ملاحظة: لحساب $CG$ بدقة يجب حساب $CI$ أولا باستعمال مبرهنة فيثاغورس في $AMC$ أو $BMC$ بعد تحديد $I$. $I$ غير معرفة في السؤال 3.* **لنفترض أن $I$ منتصف $[AC]$، و لكن $I$ غير معرفة**).

4. كتابة $IH$ بدلالة $CM$:

في المثلث $ACM$:
لدينا $I$ منتصف $[AC]$ (من سياق السؤال).
المستقيم المار من $I$ و الموازي لـ $(CM)$ يقطع $(AC)$ في $H$. (يجب أن يقطع $(AM)$ في $H$، لأن $(AC)$ هو ضلع).
**تصحيح الفرضية:** المستقيم المار من $I$ و الموازي لـ $(CM)$ يقطع **$(AM)$** في $H$.

في المثلث $ACM$:
1. $I \in [AC]$ (الفرضية: $I$ منتصف $[AC]$).
2. $H \in [AM]$ (منطقي مع الرسم).
3. $(IH) // (CM)$ (معطى).
حسب خاصية مستقيم المنتصفين (او **مبرهنة طالس**):

بما أن $I$ منتصف $[AC]$ و $(IH) // (CM)$، فإن $H$ هي منتصف $[AM]$.
و بالتالي: $IH = \frac{1}{2} CM$

كتابة $IH$ بدلالة $CM$: $IH = \frac{1}{2} CM$

مسألة تطبيقية:

لتكن $ABC$ مثلثا متقايس الضلعين في $A$ و $H$ الارتفاع المار من $A$ يقطع القطعة $[BC]$ في $H$ بحيث $BC = \text{6cm}$ و لتكن $M$ نقطة من القطعة $[BH]$ بحيث $BH = \text{4cm}$.
المستقيم المار من $M$ و الموازي للمستقيم $(AH)$ يقطع المستقيم $(AB)$ في $P$ و المستقيم $(AC)$ في $Q$. لنضع $x = BM$.

  1. أ. أحسب $BM$ و حدد حصرا لـ $x$، علما أن $M$ نقطة من القطعة $[BH]$.
  2. ب. بين أن: $\frac{MP}{AH} = \frac{x}{3}$ و $\frac{MQ}{AH} = \frac{6-x}{3}$ .
  3. ج. استنتج $MP$ بدلالة $x$.
  4. د. حدد $MQ$ بدلالة $x$.
  5. ه. بين أن: $MQ = \frac{4}{3} (6-x)$.