تمارين في الهندسة - الصف التاسع التونسي

التمرين 1

$ABC$ مثلث و $M$ و $N$ منتصفا $[AB]$ و $[AC]$ على التوالي. لتكن $P$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $B$. $(NP)$ يقطع $[BC]$ في $Q$.

بين أن $Q$ منتصف $[PN]$.
لتكن $I$ منتصف $[MN]$ و $G$ نقطة تقاطع $[MQ]$ و $[BN]$.
بين أن $I$ و $G$ و $P$ على استقامة واحدة.

التمرين 2

$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$. المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $(BD)$ يقطع $(BC)$ في $E$ و $(CD)$ في $F$.

بين أن $B$ منتصف $[CE]$.
بين أن المستقيمات $(CA)$ و $(ED)$ و $(FB)$ تتلاقى في نقطة واحدة.

حل التمرين 2:

1. نبين أن $B$ منتصف $[CE]$:

لدينا $(A E) // (B D)$ (معطى).

بما أن $A B C D$ متوازي أضلاع، فإن $(A D) // (B C)$. وبما أن $E \in (B C)$، فإن $(A D) // (B E)$.

الرباعي $A B E D$ له ضلعان متقابلان متوازيان $(A D) // (B E)$ و $(A E) // (B D)$.

إذن، $A B E D$ هو متوازي أضلاع.

من خصائص متوازي الأضلاع، لدينا $B E = A D$.

من خصائص متوازي الأضلاع $A B C D$، لدينا $B C = A D$.

نستنتج أن $B E = B C$.

بما أن النقاط $E, B, C$ على استقامة واحدة و $B E = B C$، فإن $B$ هي منتصف $[C E]$.

2. نبين أن المستقيمات $(CA)$ و $(ED)$ و $(FB)$ تتلاقى في نقطة واحدة:

بنفس الطريقة، نثبت أن $D$ منتصف $[C F]$ (باستخدام أن $A B D F$ متوازي أضلاع لأن $(A F) // (B D)$ و $(A B) // (D F)$).

في المثلث $C E F$:

لدينا $B$ منتصف $[C E]$ (حسب 1)، إذن $[F B]$ هو مووسط.

لدينا $D$ منتصف $[C F]$، إذن $[E D]$ هو مووسط.

نقطة تقاطع المووسطين $[F B]$ و $[E D]$ هي **مركز الثقل** $K$ للمثلث $C E F$.

نثبت أن $A$ منتصف $[E F]$: بما أن $B$ منتصف $[C E]$ و $D$ منتصف $[C F]$، فإن $(B D) // (E F)$. وبما أن $(A E) // (B D)$ (من متوازي الأضلاع $A B E D$) و $(A F) // (B D)$ (من متوازي الأضلاع $A B D F$)، فإن النقاط $E, A, F$ على استقامة واحدة.

لدينا $E A = B D$ و $A F = B D$ (من خصائص متوازيي الأضلاع). إذن $E A = A F$.

بما أن $E, A, F$ على استقامة واحدة و $E A = A F$، فإن $A$ هي منتصف $[E F]$.

إذن، $[C A]$ هو **الموسط** الثالث للمثلث $C E F$.

بما أن مركز الثقل $K$ يقع على جميع المووسطات، فإن $K \in (C A)$.

إذن، المستقيمات $(CA)$ و $(ED)$ و $(FB)$ تتلاقى في نقطة واحدة هي **مركز ثقل** المثلث $C E F$.

التمرين 3

$MNPQ$ متوازي أضلاع مركزه $O$. $I$ هي منتصف $[MQ]$ و $J$ منتصف $[PQ]$ و $S$ هي نقطة تقاطع المستقيمين $(NQ)$ و $(IJ)$.

بين أن $S$ هي منتصف $[NQ]$.

التمرين 4

$ABCD$ رباعي كان و $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[CD]$. لتكن $K$ مركز ثقل المثلث $ABC$ و $L$ منتصف $[DK]$.

بين أن النقاط $I$ و $K$ و $C$ على استقامة واحدة و احسب $IK$ إذا كان $CK=6$.
بين أن $(JL)//(IK)$ و $JL=IK$.
المستقيمان $(IJ)$ و $(DK)$ يتقاطعان في $O$ أحسب $OI$ بدلالة $IJ$ و أحسب $DK$ بدلالة $LK$.

حل التمرين 4:

1. الاستقامة وحساب $IK$:

في المثلث $A B C$، $I$ هي منتصف $[A B]$$[C I]$ هو **الموسط** الصادر من $C$.

بما أن $K$ هو **مركز ثقل** المثلث $A B C$ (معطى)، فإن $K$ يقع على المووسط $[C I]$.

إذن، النقاط $I$ و $K$ و $C$ على استقامة واحدة.

حسب خاصية مركز الثقل على المووسط $[C I]$، لدينا $C K = 2 I K$.

وبالتالي، $I K = \frac{1}{2} C K$.

إذا كان $C K = 6$، فإن $I K = \frac{1}{2} \times 6 = 3$.

2. التوازي والمساواة $(JL)//(IK)$ و $JL=IK$:

في المثلث $D C K$: لدينا $J$ منتصف $[C D]$ و $L$ منتصف $[D K]$ (معطيات).

إذن، $[J L]$ هي القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين.

حسب خاصية القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين (مبرهنة طالس):

**التوازي:** $(J L) // (C K)$. وبما أن النقاط $I, K, C$ على استقامة واحدة، فإن $(C K) = (I K)$. إذن $(J L) // (I K)$.

**الطول:** $J L = \frac{1}{2} C K$. وبما أن $I K = \frac{1}{2} C K$ (حسب 1)، فإن $J L = I K$.

3. حساب $OI$ بدلالة $IJ$ و $DK$ بدلالة $LK$:

حساب $D K$ بدلالة $L K$: بما أن $L$ هي منتصف $[D K]$ (معطى)، فإن $D K = 2 L K$.

حساب $O I$ بدلالة $I J$:

لدينا $(J L) // (I K)$. المستقيمان $(I J)$ و $(D K)$ يتقاطعان في $O$.

نطبق مبرهنة طالس في وضعية الفراشة (مثلثان متقاطعان) على المثلثين $O L J$ و $O K I$:

لدينا: \frac{O J}{O I} = \frac{O L}{O K} = \frac{J L}{I K}.

بما أن $J L = I K$ (حسب 2)، فإن \frac{J L}{I K} = 1.

إذن، \frac{O J}{O I} = 1، أي $O J = O I$.

بما أن $O J = O I$ و $O \in [I J]$، فإن $O$ هي منتصف $[I J]$.

وبالتالي، $O I = \frac{1}{2} I J$.

التمرين 5

$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ و $M$ منتصف $[BC]$ و $N$ منتصف $[CD]$. المستقيم $(BD)$ يقطع $(AM)$ في $G$ و $(AN)$ في $G'$.

ما هو مركز الثقل لكل من المثلثين $ABC$ و $ADC$.
بين أن $\frac{BD}{G G'}=3$ و $GG' = \frac{1}{3} BD$.
بين أن $GB = G'B = DG' = DG$.

حل التمرين 5:

1. مركز الثقل لكل من المثلثين $ABC$ و $ADC$:

في متوازي الأضلاع $A B C D$، $O$ هي منتصف $[A C]$ و $[B D]$.

في المثلث $A B C$: $[A M]$ مووسط لأن $M$ منتصف $[B C]$$[B O]$ مووسط لأن $O$ منتصف $[A C]$.

نقطة تقاطع المووسطين $[A M]$ و $[B O]$ هي $G$ (لأن $G \in (A M)$ و $G \in (B D)$).

إذن، $G$ هي **مركز ثقل** المثلث $A B C$.

في المثلث $A D C$: $[A N]$ مووسط لأن $N$ منتصف $[C D]$$[D O]$ مووسط لأن $O$ منتصف $[A C]$.

نقطة تقاطع المووسطين $[A N]$ و $[D O]$ هي $G'$ (لأن $G' \in (A N)$ و $G' \in (B D)$).

إذن، $G'$ هي **مركز ثقل** المثلث $A D C$.

2. نبين أن $GG' = \frac{1}{3} BD$:

بما أن $G$ مركز ثقل $A B C$ على المووسط $[B O]$، وحسب خاصية مركز الثقل: $B G = \frac{2}{3} B O$.

بما أن $O$ منتصف $[B D]$، فإن $B O = \frac{1}{2} B D$.

نعوض: $B G = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$.

بما أن $G'$ مركز ثقل $A D C$ على المووسط $[D O]$: $D G' = \frac{2}{3} D O$.

نعوض: $D G' = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$.

النقاط $B, G, G', D$ على استقامة واحدة على القطر $[B D]$. إذن $B D = B G + G G' + G' D$

نعوض: $B D = \frac{1}{3} B D + G G' + \frac{1}{3} B D$.

إذن، $B D = \frac{2}{3} B D + G G'$.

وبالتالي، $G G' = B D - \frac{2}{3} B D = \frac{1}{3} B D$.

من هذه النتيجة، \frac{B D}{G G'} = 3.

3. نبين أن $GB = G'B = DG' = DG$:

نحسب أطوال القطع:

لدينا $G B = \frac{1}{3} B D$ و $D G' = \frac{1}{3} B D$. إذن $G B = D G'$.

نحسب $G' B$: $G' B = G G' + G B = \frac{1}{3} B D + \frac{1}{3} B D = \frac{2}{3} B D$.

نحسب $D G$: $D G = D G' + G' G = \frac{1}{3} B D + \frac{1}{3} B D = \frac{2}{3} B D$.

إذن، $G' B = D G$.

**الاستنتاج:** المساواة الصحيحة هي: $G B = D G' = \frac{1}{3} B D$ و $G' B = D G = \frac{2}{3} B D$. (المساواة في نص السؤال خاطئة رياضياً ويجب كتابتها بهذه الصيغة الصحيحة).

التمرين 6

$ABCD$ متوازي أضلاع و $E$ منتصف $[AB]$ و $F$ منتصف $[CD]$.

بين أن المستقيمين $(EF)$ و $(AD)$ متوازيان.
$(BF)$ يقطع $(AD)$ في $G$. بين أن $F$ هي منتصف $[BG]$ و أن $D$ هي منتصف $[AG]$.
بين أن المستقيمين $(ED)$ و $(BG)$ متوازيان.
$(AC)$ يقطع $(ED)$ في $R$ و $(BF)$ في $S$. بين أن $RS = \frac{1}{3} AC$.

حل التمرين 6:

1. نبين أن المستقيمين $(EF)$ و $(AD)$ متوازيان:

بما أن $A B C D$ متوازي أضلاع، فإن $(A B) // (D C)$ و $A B = D C$.

لدينا $E$ منتصف $[A B]$ و $F$ منتصف $[C D]$$A E = \frac{1}{2} A B$ و $D F = \frac{1}{2} D C$.

نستنتج أن $A E = D F$.

الرباعي $A E F D$ له ضلعان متقابلان $[A E]$ و $[D F]$ متوازيان (لأن $(A B) // (D C)$

إذن، $A E F D$ هو متوازي أضلاع.

وبالتالي، الضلعان المتقابلان الآخران متوازيان: $(E F) // (A D)$.

2. نبين أن $F$ هي منتصف $[BG]$ و أن $D$ هي منتصف $[AG]$:

في المثلث $G C B$$(A B) // (D C)$.

لدينا $(G D) // (B C)$ (لأن $G \in (A D)$

في المثلثين $G D F$ و $B C F$: لدينا $D F = F C$ (لأن $F$ منتصف $[C D]$

لدينا: $G D = B C$ (لأن $G D C B$ هو متوازي أضلاع - أثبتناه ضمنياً).

المثلثان $G D F$ و $B C F$ متقايسان (بالزوايا المتقابلة بالرأس والمتبادلة داخلياً والضلع).

من التقايس: $G F = F B$. وبما أن $G, F, B$ على استقامة واحدة، فإن $F$ هي منتصف $[B G]$.

من التقايس أيضاً: $G D = B C$. وبما أن $A B C D$ متوازي أضلاع، فإن $A D = B C$.

إذن، $G D = A D$. وبما أن $G, D, A$ على استقامة واحدة، فإن $D$ هي منتصف $[A G]$.

3. نبين أن المستقيمين $(ED)$ و $(BG)$ متوازيان:

نعتبر المثلث $A B G$:

لدينا $E$ منتصف $[A B]$ (معطى).

لدينا $D$ منتصف $[A G]$ (حسب 2).

إذن، $[E D]$ هي القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين.

حسب خاصية القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين (مبرهنة طالس)، فإن $(E D) // (B G)$.

4. نبين أن $RS = \frac{1}{3} AC$:

في المثلث $A B C$: $E$ منتصف $[A B]$$[C E]$ مووسط. $[B O]$ مووسط (لأن $O$ منتصف $[A C]$

نعتبر المثلث $A B D$$E$ منتصف $[A B]$$O$ منتصف $[B D]$$[D E]$ و $[A O]$ مووسطان.

نقطة التقاطع $R$ بين $(E D)$ و $(A C)$ هي **مركز ثقل** المثلث $A B D$.

حسب خاصية مركز الثقل على المووسط $[A O]$، لدينا $A R = \frac{2}{3} A O$.

وبما أن $A O = \frac{1}{2} A C$، فإن $A R = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} A C = \frac{1}{3} A C$.

نعتبر المثلث $C B D$$F$ منتصف $[C D]$$O$ منتصف $[B D]$$[B F]$ و $[C O]$ مووسطان.

نقطة التقاطع $S$ بين $(B F)$ و $(A C)$ هي **مركز ثقل** المثلث $C B D$.

حسب خاصية مركز الثقل على المووسط $[C O]$، لدينا $C S = \frac{2}{3} C O$.

وبما أن $C O = \frac{1}{2} A C$، فإن $C S = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} A C = \frac{1}{3} A C$.

النقاط $A, R, S, C$ على استقامة واحدة. إذن $R S = A C - (A R + C S)$

نعوض: $R S = A C - (\frac{1}{3} A C + \frac{1}{3} A C)$