مستخرجة من ملف "Diver 9eme" - المستوى: التاسعة أساسي
التمرين 1: بناء المثلث وخصائصه [cite: 1]
(1) ابنِ مثلثاً \(ABC\) حيث \(AB=6\)، \(AC=12\) و \(BC=9\). [cite: 1]
(2) ابنِ منصف الزاوية \([AB, AC]\) الذي يقطع \((BC)\) في \(D\). [cite: 1]
(3) ابنِ الموسط العمودي لـ \([AD]\) الذي يقطع \([AB]\) في \(E\) ويقطع \((AD)\) في \(O\). [cite: 1, 2]
(4) بيّن أن الزاويتين \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{ADE}\) متقايستان. [cite: 2]
(5) استنتج أن المستقيمين \((AC)\) و \((DE)\) متوازيان. [cite: 2]
بما أن \(O\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ \([AD]\)، فإن المثلث \(AED\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(E\).
إذن \(\widehat{EAD} = \widehat{EDA}\).
بما أن \((AD)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\)، فإن \(\widehat{EAD} = \widehat{DAC}\).
بالتالي \(\widehat{DAC} = \widehat{ADE}\).
بما أن الزاويتين \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{ADE}\) متبادلتان داخلياً ومتقايستان، فإن \((AC) // (DE)\).
التمرين 2: طاليس والمساحات [cite: 2, 3]
لاحظ الرسم حيث \(ABC\) مثلث، \(D\) نقطة من \([AB]\) و \(E\) نقطة من \([AC]\) حيث \((DE) // (BC)\). [cite: 2]
لتكن \(O\) نقطة تقاطع \([DC]\) و \([BE]\). [cite: 2]
إذا علمت أن مساحة المثلث \(OED\) تساوي \(9 cm^2\) ومساحة المثلث \(OBC\) تساوي \(25 cm^2\). [cite: 2]
(1) بيّن أن \(\frac{OD}{OC} = \frac{3}{5}\).
(2) استنتج النسبة \(\frac{AD}{AB}\).
(3) أوجد مساحة المثلث \(ABC\). [cite: 3]
تطبيق مبرهنة طاليس:
1- لدينا \(D \in (AB)\) و \(E \in (AC)\).
2- لدينا \((DE) // (BC)\).
3- حسب مبرهنة طاليس في المثلث \(ABC\): \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\).
في المثلثين \(OED\) و \(OBC\)، النسبة بين المساحات هي مربع نسبة الضلع: \(\frac{Area(OED)}{Area(OBC)} = (\frac{DE}{BC})^2 = \frac{9}{25}\).
ليكن \((O, I, J)\) معيناً متعامداً في المستوي حيث \(OI=OJ=1\). [cite: 5]
(1) عيّن النقاط \(A(3, 4)\)، \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((OJ)\)، و \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\). [cite: 5]
(2) حدد إحداثيات \(B\) و \(C\). [cite: 6]
(3) احسب المسافات \(AB\)، \(AC\) و \(BC\).
(4) بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\). [cite: 6]
حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية، فإن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
التمرين 4: مركز الثقل والموسط [cite: 1, 2]
نعتبر المثلث \(ABC\) من التمرين الأول حيث \(BD=3\) و \(DE=4\). [cite: 2]
(1) لتكن \(G\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(B\). [cite: 2]
(2) بيّن أن \(E\) هي مركز ثقل المثلث \(ADG\). [cite: 2]
(3) استنتج أن الموسط الصادر من \(A\) في المثلث \(ADG\) يمر من \(E\). [cite: 2]
في المثلث \(ADG\)، لدينا \(B\) منتصف \([DG]\) لأن \(G\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(B\).
إذن \((AB)\) هو الموسط الصادر من \(A\).
لدينا \(E \in [AB]\) و \(AB = 6\) و \(AE = 4\).
إذن \(AE = \frac{2}{3} AB\).
بالتالي \(E\) هي مركز ثقل المثلث \(ADG\).
التمرين 5: تقايس المثلثات في متوازي الأضلاع [cite: 23]
\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\) حيث \(AB=6\) و \(AD=4\). [cite: 23]
لتكن \(M\) و \(N\) المسقطين العموديين للنقطتين \(D\) و \(B\) على التوالي على \((AC)\). [cite: 23]
(1) بيّن أن المثلثين \(BCN\) و \(ADM\) متقايسان. [cite: 23]
(2) استنتج أن الرباعي \(BMDN\) متوازي أضلاع. [cite: 23]
في المثلثين القائمين \(BCN\) و \(ADM\):
لدينا \(BC = AD\) (ضلعان متقابلان في متوازي أضلاع).
لدينا \(\widehat{BCN} = \widehat{DAM}\) (زاويتان متبادلتان داخلياً بالنسبة للمتوازيين \((BC)\) و \((AD)\)).
إذن المثلثان متقايسان، ومنه \(BN = DM\).
بما أن \((BN) \perp (AC)\) و \((DM) \perp (AC)\)، فإن \((BN) // (DM)\).
رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.
التمرين 6: المثلثات المتقايسة والأضلاع [cite: 26]
ابنِ زاوية \(\widehat{xAy} = 60^\circ\). عيّن النقطة \(B\) على منصفها \([Az)\) حيث \(AB=8\). [cite: 26]
ليكن \(C\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((Ax)\) و \(E\) نقطة من \([Ay)\) حيث \(AE=AC\). [cite: 26]
(1) بيّن أن المثلثين \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان. [cite: 26]
(2) استنتج أن \(BE=BC\). [cite: 26]
(3) لتكن \(D\) منتصف \([AB]\)، بيّن أن المثلث \(BDE\) متقايس الأضلاع. [cite: 26]
المثلثان \(ABC\) و \(ABE\) فيهما: \(AB\) ضلع مشترك، \(AC = AE\) و \(\widehat{BAC} = \widehat{BAE} = 30^\circ\).
إذن هما متقايسان حسب الحالة الأولى (ضلع-زاوية-ضلع).
ينتج عن التقايس أن \(BC = BE\).
في المثلث القائم \(ABC\)، الزاوية \(\widehat{BAC} = 30^\circ\)، إذن \(BC = \frac{1}{2} AB = 4\).
بما أن \(D\) منتصف \([AB]\)، فإن \(BD = 4\).
لدينا \(BE = BC = 4\) و \(BD = 4\) والزاوية \(\widehat{DBE} = 60^\circ\)، إذن المثلث \(BDE\) متقايس الأضلاع.
التمرين 7: فيتاغورس في المعين [cite: 27, 28]
في معين متعامد \((O, I, J)\)، نعتبر النقاط \(A(-2, 0)\) و \(B(3\sqrt{2}+1, 0)\). [cite: 27]
(1) احسب المسافة \(AB\). [cite: 27]
(2) ابنِ النقطة \(C\) من \([AB]\) بحيث \(AC = \frac{AB}{3}\). [cite: 27]
(3) ابنِ الموسط العمودي لـ \([BC]\) الذي يقطع \([BC]\) في \(D\). [cite: 27]
(4) بيّن أن المثلث \(BCE\) قائم الزاوية في \(E\) حيث \(E\) نقطة تقاطع الموسط مع \((AJ)\). [cite: 28]
إحداثيات \(C\) هي \(x_C = x_A + AC = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1\).
المثلث \(BCE\) متقايس الضلعين في \(E\) لأن \(E\) على الموسط العمودي لـ \([BC]\).
التمرين 8: المربعات وفيتاغورس [cite: 31]
نعتبر \(ABCD\) و \(DEFG\) مربعين حيث \(A\) مركز الدائرة المارة من \(E\) و \(C\). [cite: 31]
(1) بيّن أن \(AE = AC\).
(2) عبّر عن \(AC^2\) بدلالة طول ضلع المربع \(ABCD\).
(3) بيّن أن مساحة المربع \(DEFG\) تساوي ضعف مساحة المربع \(ABCD\). [cite: 31]
ليكن \(a\) طول ضلع \(ABCD\). حسب فيتاغورس: \(AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
بما أن \(E\) و \(C\) على نفس الدائرة مركزها \(A\)، فإن \(AE = AC\).
طول ضلع المربع الثاني هو \(DE\). في المثلث القائم \(ADE\)، \(DE^2 = AD^2 + AE^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2\) (إذا كان \(E\) في وضع معين).
ملاحظة: النتيجة تعتمد على وضعية النقطة \(E\) بالنسبة لـ \(A\) و \(D\).
التمرين 9: مبرهنة طاليس العكسية [cite: 8]
في المثلث \(ABC\)، \(D\) نقطة من \([AB]\) و \(E\) نقطة من \([AC]\). [cite: 8]
إذا كان \(AB=10\)، \(AD=4\)، \(AC=15\) و \(AE=6\).
(1) قارن النسبتين \(\frac{AD}{AB}\) و \(\frac{AE}{AC}\).
(2) ماذا تستنتج بالنسبة للمستقيمين \((DE)\) و \((BC)\)؟ علل جوابك.
\(\frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = 0.4\).
\(\frac{AE}{AC} = \frac{6}{15} = 0.4\).
1- لدينا النقط \(A, D, B\) مرتبة بنفس ترتيب النقط \(A, E, C\).
2- لدينا \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\).
3- حسب مبرهنة طاليس العكسية، فإن \((DE) // (BC)\).
التمرين 10: المثلث القائم والوتر [cite: 31, 32]
ليكن \(ADC\) مثلثاً قائماً في \(A\)، و \(O\) منتصف وتره \([DC]\) حيث \(DC=2\) و \(\widehat{AOC} = 30^\circ\). [cite: 31, 32]
ليكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((DC)\) و \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(H\). [cite: 32]
(1) بيّن أن المثلث \(AOE\) متقايس الأضلاع. [cite: 32]
(2) احسب المسافة \(AH\) ثم استنتج \(AD\). [cite: 32]
في المثلث القائم، الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر، إذن \(OA = OC = OD = 1\).
بما أن \(OA=OE\) (بالتناظر) و \(\widehat{AOE} = 60^\circ\)، فإن المثلث \(AOE\) متقايس الأضلاع.
بما أن \(AB=AD=6\) والزاوية بينهما \(60^\circ\)، فإن \(ABD\) متقايس الأضلاع.
\(AO\) هو ارتفاع في المثلث \(ABD\)، إذن \(AO = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).
بما أن \(O\) منتصف \([AC]\)، فإن \(AC = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).
التمرين 12: طاليس والنسب المتعددة [cite: 41, 42]
ليكن \(ABC\) مثلثاً. المستقيم \(\Delta\) الموازي لـ \((AB)\) والمار من منتصف \([AC]\) يقطع \([BC]\) في \(I\). [cite: 41]
(1) بيّن أن \(I\) هي منتصف \([BC]\).
(2) إذا كان \(AB=8\)، احسب \(OI\) حيث \(O\) هي منتصف \([AC]\).
(3) استنتج علاقة تربط بين مساحة المثلث \(COI\) ومساحة \(CAB\).
حسب مبرهنة الموسطات (حالة خاصة من طاليس):
1- لدينا \(O\) منتصف \([AC]\)، إذن \(O \in (AC)\).
2- لدينا \((OI) // (AB)\).
3- حسب طاليس، \(I\) هي منتصف \([BC]\) و \(OI = \frac{1}{2} AB = 4\).
التمرين 13: شبه المنحرف والمساحة [cite: 40]
\(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) وارتفاعه \(h\). [cite: 40]
نضع \(AB=x+1\)، \(CD=2x+5\) و \(h=x+1\). [cite: 40]
(1) أوجد قيمة \(x\) ليكون \(ABCD\) متوازي أضلاع. [cite: 40]
(2) بيّن أن مساحة شبه المنحرف هي \(S = \frac{3}{2}(x+2)(x+1)\).
(3) إذا كانت \(S=27\)، جد قيمة \(x\). [cite: 40]
يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كان \(AB = CD\).
إذن \(x+1 = 2x+5 \Rightarrow x = -4\) (غير ممكن لأن الأطوال موجبة).
لدينا مستطيلان \(ABCD\) و \(DEFG\) بحيث \(G \in [CD]\) و \(E \in [AD]\). [cite: 25]
ليكن \(AE=CG=a\) مع \(AD=6\) و \(AB=8\). [cite: 25]
(1) احسب مساحة الجزء الملون بدلالة \(a\). [cite: 25]
(2) بيّن أن هذه المساحة تساوي \(14a - a^2\). [cite: 25]
(3) إذا كانت مساحة المستطيل \(ABCD\) ضعف المساحة الملونة، فما هي قيمة \(a\)؟ [cite: 25]
مساحة الملون هي مجموع مساحتي المستطيلين الصغيرين الناتجين عن التداخل.
في مثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، لدينا \(AB=3\) و \(AC=4\).
(1) احسب \(BC\).
(2) عيّن \(M\) من \([AB]\) حيث \(AM=1\). المستقيم الموازي لـ \((BC)\) والمار من \(M\) يقطع \([AC]\) في \(N\).
(3) احسب المسافات \(AN\) و \(MN\).
(4) بيّن أن مساحة المثلث \(AMN\) هي \(\frac{1}{9}\) مساحة المثلث \(ABC\).
حسب فيتاغورس: \(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \Rightarrow BC = 5\).
تطبيق مبرهنة طاليس:
1- لدينا \(M \in (AB)\) و \(N \in (AC)\).
2- لدينا \((MN) // (BC)\).
3- حسب مبرهنة طاليس: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\).