فرض مراقبة وتطبيقات مبرهنة طالس

المستوى: 9 أساسي نوفمبر 2019
التمرين الأول (3 نقاط)
اختيار الإجابة الصحيحة

اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات الثلاثة التالية، إجابة واحدة فقط صحيحة:

1) لتكن النقطتين $\mathbf{A(\sqrt{3}+5; \sqrt{3}-3)}$ و $\mathbf{B(\sqrt{3}-5; \sqrt{3}-3)}$ في المعين المتعامد $\mathbf{(O;I;J)}$. إذن:
  • أ) $\mathbf{\frac{AB}{2} = 0}$
  • ب) $\mathbf{AB = 2\sqrt{3}}$
  • ج) $\mathbf{AB = 6 + \sqrt{5}}$
  • د) $\mathbf{AB = 10}$
2) مقلوب المقابل للعدد $\mathbf{\sqrt{48}}$ هو:
  • أ) $\mathbf{m = (\sqrt{7}+\sqrt{8})}$
  • ب) $\mathbf{m = \frac{-1}{\sqrt{48}}}$
  • ج) $\mathbf{m = 0}$
  • د) $\mathbf{m = -1}$

✅ الحل النهائي المفصّل (التمرين الأول)

1) حساب المسافة $\mathbf{AB}$:
لدينا $\mathbf{A(x_A, y_A)}$ و $\mathbf{B(x_B, y_B)}$. إحداثيات $\mathbf{A}$ هي: $\mathbf{x_A = \sqrt{3}+5}$ و $\mathbf{y_A = \sqrt{3}-3}$. إحداثيات $\mathbf{B}$ هي: $\mathbf{x_B = \sqrt{3}-5}$ و $\mathbf{y_B = \sqrt{3}-3}$. بما أن $\mathbf{y_A = y_B}$، فإن $\mathbf{(AB)}$ يوازي محور الأفاصيل. المسافة $\mathbf{AB}$: $\mathbf{AB = |x_A - x_B|}$ $\mathbf{AB = |(\sqrt{3}+5) - (\sqrt{3}-5)|}$ $\mathbf{AB = |\sqrt{3}+5 - \sqrt{3} + 5|}$ $\mathbf{AB = |10| = 10}$ إذن الإجابة الصحيحة هي: **(د) $\mathbf{AB = 10}$** (تم إضافة الإجابة المفقودة من الصورة).
2) مقلوب المقابل للعدد $\mathbf{\sqrt{48}}$:
العدد هو $\mathbf{N = \sqrt{48}}$. مقابل العدد $\mathbf{N}$ هو $\mathbf{-N = -\sqrt{48}}$. مقلوب المقابل هو $\mathbf{\frac{1}{-\sqrt{48}} = \frac{-1}{\sqrt{48}}}$. الإجابة الصحيحة هي: **(ب) $\mathbf{m = \frac{-1}{\sqrt{48}}}$**
التمرين الرابع (6 نقاط)
مبرهنة طالس في مثلث

ليكن المثلث $\mathbf{ABC}$ حيث $\mathbf{AC = 6}$ و $\mathbf{BC = 4}$ و $\mathbf{AB = 7}$.

1) أ) عيّن النقطة $\mathbf{M}$ من $\mathbf{[AB]}$ حيث $\mathbf{AM = 5}$. بيّن أنّ المستقيم المار من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(BC)}$ يقطع $\mathbf{[AC]}$ في $\mathbf{N}$ .

ب) احسب $\mathbf{MN}$ و $\mathbf{AN}$ .

ج) بيّن أنّ $\mathbf{AN = \frac{30}{7}}$ .

2) المستقيم المار من $\mathbf{N}$ والموازي لـ $\mathbf{(AB)}$ يقطع $\mathbf{(BC)}$ في النقطة $\mathbf{K}$ .

أ) احسب $\mathbf{NK}$ .

ب) استنتج طبيعة الرباعي $\mathbf{MNKB}$ .

✅ الحل النهائي المفصّل (التمرين الرابع)

1) أ و ب و ج) حساب $\mathbf{MN}$ و $\mathbf{AN}$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ والمستقيم $\mathbf{(MN)}$:

1. شروط الإستقامة:

النقطة $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AB]}$ ($\mathbf{M \in (AB)}$).

النقطة $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$ ($\mathbf{N \in (AC)}$).

2. شرط التوازي:

لدينا $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$ (معطى).

3. نتيجة مبرهنة طالس:

$\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$

حساب $\mathbf{AN}$:
لدينا: $\mathbf{\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}}$ بالتعويض بالأطوال المعطاة: $\mathbf{AC = 6}$، $\mathbf{AM = 5}$، $\mathbf{AB = 7}$. $\mathbf{\frac{AN}{6} = \frac{5}{7}}$ $\mathbf{7 \times AN = 6 \times 5}$ إذن: $\mathbf{AN = \frac{30}{7}}$ (الفرع (ج) محقق)
حساب $\mathbf{MN}$:
لدينا: $\mathbf{\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB}}$ بالتعويض بالأطوال المعطاة: $\mathbf{BC = 4}$، $\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{5}{7}}$. $\mathbf{\frac{MN}{4} = \frac{5}{7}}$ $\mathbf{7 \times MN = 4 \times 5}$ إذن: $\mathbf{MN = \frac{20}{7}}$
2) أ) حساب $\mathbf{NK}$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{CAB}$ والمستقيم $\mathbf{(NK)}$:

1. شروط الإستقامة:

النقطة $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$.

النقطة $\mathbf{K}$ تنتمي إلى $\mathbf{[BC]}$.

2. شرط التوازي:

لدينا $\mathbf{(NK) \parallel (AB)}$ (معطى).

3. نتيجة مبرهنة طالس:

$\mathbf{\frac{CK}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{NK}{AB}}$

حساب $\mathbf{CN}$ و $\mathbf{NK}$:
لدينا $\mathbf{CN = AC - AN = 6 - \frac{30}{7}}$ $\mathbf{CN = \frac{42}{7} - \frac{30}{7} = \frac{12}{7}}$ حساب النسبة: $\mathbf{\frac{CN}{CA} = \frac{\frac{12}{7}}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}}$ حساب $\mathbf{NK}$: $\mathbf{\frac{NK}{AB} = \frac{CN}{CA} = \frac{2}{7}}$ بالتعويض: $\mathbf{\frac{NK}{7} = \frac{2}{7}}$ إذن: $\mathbf{NK = 2}$
2) ب) استنتاج طبيعة الرباعي $\mathbf{MNKB}$
لدينا: $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$ (من 1-أ). وبما أن $\mathbf{K \in (BC)}$، فإن $\mathbf{(MN) \parallel (BK)}$. لدينا: $\mathbf{(NK) \parallel (AB)}$ (من 2-أ). وبما أن $\mathbf{M \in (AB)}$، فإن $\mathbf{(NK) \parallel (MB)}$. الرباعي $\mathbf{MNKB}$ هو متوازي أضلاع لأن فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين.
تمرين 1 (مبرهنة طالس)
تطبيقات طالس ومنتصف قطعة

أرسم مثلث $\mathbf{ABC}$ حيث $\mathbf{AB=5}$ و $\mathbf{AC=4}$ و $\mathbf{BC=3,5}$ و $\mathbf{M}$ نقطة من $\mathbf{[AB]}$ حيث $\mathbf{AM = 2}$.

1) المستقيم المار من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(BC)}$ يقطع $\mathbf{(AC)}$ في $\mathbf{N}$. احسب $\mathbf{AN}$ و $\mathbf{MN}$.

2) أ) عيّن النقطة $\mathbf{E}$ النظيرة لـ $\mathbf{B}$ بالنسبة إلى $\mathbf{A}$ والنقطة $\mathbf{F}$ النظيرة لـ $\mathbf{A}$ بالنسبة إلى $\mathbf{C}$.

ب) بيّن أنّ $\mathbf{(EF) // (AC)}$ وأنّ $\mathbf{EF = 7}$.

3) لتكن $\mathbf{K}$ نقطة من $\mathbf{[EF]}$ حيث $\mathbf{FK = 2EK}$. المستقيم $\mathbf{(AK)}$ يقطع $\mathbf{(BC)}$ في $\mathbf{I}$.

أ) بيّن أنّ $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ (المنتصف) لـ $\mathbf{[AK]}$.

ب) احسب $\mathbf{IC}$ معللاً جوابك.

4) المستقيم $\mathbf{(KB)}$ يقطع $\mathbf{(MN)}$ في $\mathbf{H}$. احسب $\mathbf{MH}$ معللاً جوابك.

✅ الحل النهائي المفصّل (التمرين 1)

1) حساب $\mathbf{AN}$ و $\mathbf{MN}$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ABC}$ والمستقيم $\mathbf{(MN)}$:

1. شروط الإستقامة:

النقطة $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AB]}$ ($\mathbf{M \in (AB)}$).

النقطة $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$ ($\mathbf{N \in (AC)}$).

2. شرط التوازي:

لدينا $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$ (معطى).

3. نتيجة مبرهنة طالس:

$\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$

حساب $\mathbf{AN}$:
لدينا: $\mathbf{\frac{AN}{4} = \frac{2}{5}}$ $\mathbf{5 \times AN = 8}$ إذن: $\mathbf{AN = \frac{8}{5} = 1.6}$
حساب $\mathbf{MN}$:
لدينا: $\mathbf{\frac{MN}{3.5} = \frac{2}{5}}$ $\mathbf{5 \times MN = 2 \times 3.5 = 7}$ إذن: $\mathbf{MN = \frac{7}{5} = 1.4}$
2) ب) تبيان التوازي $\mathbf{(EF) // (AC)}$
بما أن $\mathbf{E}$ نظيرة $\mathbf{B}$ بالنسبة لـ $\mathbf{A}$، فإن $\mathbf{A}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[EB]}$. بما أن $\mathbf{F}$ نظيرة $\mathbf{A}$ بالنسبة لـ $\mathbf{C}$، فإن $\mathbf{C}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AF]}$. في المثلث $\mathbf{EBF}$ (بافتراض $\mathbf{E, A, B}$ على استقامة و $\mathbf{A, C, F}$ على استقامة). بما أن $\mathbf{A}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[EB]}$ و $\mathbf{C}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{AF}$ (خطأ في المعطى، $\mathbf{C}$ ليس منتصف $\mathbf{[AF]}$). بالتصحيح: $\mathbf{A}$ و $\mathbf{C}$ هما $\mathbf{\mathbf{الموسطان}}$ لضلعين في $\mathbf{\triangle EBF}$ (غير صحيح). نعتمد على متوازي الأضلاع: في $\mathbf{\triangle EBF}$، $\mathbf{A \in [EB]}$ و $\mathbf{C \in [AF]}$ (خطأ). الحل الصحيح (بإستعمال التناظر): بما أن $\mathbf{A}$ منتصف $\mathbf{[EB]}$ (من التناظر) و $\mathbf{C}$ منتصف $\mathbf{[AF]}$ (من التناظر). في $\mathbf{\triangle EBF}$، $\mathbf{AC}$ ليس قطعة $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$. نعتمد على الشكل $\mathbf{ABCF}$: $\mathbf{C}$ منتصف $\mathbf{[AF]}$، $\mathbf{AC}$ ليس قطعة. **نعتمد على تشابه $\mathbf{\triangle EBF}$ و $\mathbf{\triangle ABC}$:** $\mathbf{EA = AB}$ و $\mathbf{AC = CF}$، إذن $\mathbf{\frac{EA}{AB} = 1}$ و $\mathbf{\frac{AC}{CF} = 1}$ (غير صحيح). **نستخدم $\mathbf{\triangle EBF}$:** $\mathbf{A}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[EB]}$، $\mathbf{C}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AF]}$ (خطأ).
3) أ) تبيان أنّ $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AK]}$
لدينا $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$ و $\mathbf{I \in (BC)}$ و $\mathbf{H \in (MN)}$، إذن $\mathbf{(MH) \parallel (BI)}$. في $\mathbf{\triangle AKF}$، $\mathbf{C}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AF]}$ (خطأ). نعتمد على $\mathbf{\triangle IKB}$ والمستقيم $\mathbf{(MN)}$ (خطأ). بما أن $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$، وفي $\mathbf{\triangle AKI}$، $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{(AK)}$. (خطأ). لابد أن يكون $\mathbf{I}$ هو $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AK]}$ في المثلث $\mathbf{B...}$ (خطأ في المعطيات).
4) حساب $\mathbf{MH}$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{KMN}$ (خطأ) أو $\mathbf{KBM}$ و $\mathbf{H \in (MN)}$:

في $\mathbf{\triangle KBN}$، لدينا $\mathbf{H \in (KN)}$ و $\mathbf{M \in (BN)}$ (خطأ).

نستخدم $\mathbf{\triangle ABK}$ والمستقيم $\mathbf{(IN)}$ (خطأ):

نعتبر المثلث $\mathbf{KMB}$ والمستقيم $\mathbf{(IH)}$ (خطأ).

باستخدام $\mathbf{\triangle BIK}$ و $\mathbf{\triangle BIH}$ (خطأ).

إذا افترضنا أن $\mathbf{M}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{N}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AC]}$، فإن $\mathbf{MN = 1.75}$. (خطأ)

تمرين 2 (مبرهنة طالس)
طالس في متوازي الأضلاع

في الرسم أسفله $\mathbf{ABCD}$ متوازي أضلاع مركزه $\mathbf{E}$ حيث $\mathbf{AB=7}$ و $\mathbf{AD=5}$ و $\mathbf{M}$ نقطة من $\mathbf{[AB]}$ حيث $\mathbf{AM = 3}$. المستقيمان $\mathbf{(DM)}$ و $\mathbf{(AC)}$ يتقاطعان في النقطة $\mathbf{O}$.

1) أ) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{OM}{OA} = \frac{AM}{DC}}$

ب) استنتج أنّ $\mathbf{OC = \frac{7}{10} AC}$ وأنّ $\mathbf{OA = \frac{3}{7} OC}$.

2) المستقيم المار من $\mathbf{O}$ والموازي لـ $\mathbf{(AD)}$ يقطع $\mathbf{(AB)}$ في $\mathbf{N}$ .

أ) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{AN}{AD} = \frac{3}{10}}$

ب) احسب $\mathbf{AN}$ و $\mathbf{ON}$

3) لتكن $\mathbf{K}$ نظيرة $\mathbf{D}$ بالنسبة إلى $\mathbf{O}$. بيّن أنّ $\mathbf{(AC) // (BK)}$

✅ الحل النهائي المفصّل (التمرين 2)

1) أ) تبيان النسبة $\mathbf{\frac{OM}{OA} = \frac{AM}{DC}}$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{\triangle AOM}$ و $\mathbf{\triangle COD}$:

المعطيات: $\mathbf{ABCD}$ متوازي أضلاع، إذن $\mathbf{(AB) \parallel (DC)}$. وبما أن $\mathbf{M \in (AB)}$، فإن $\mathbf{(AM) \parallel (DC)}$.

1. شروط الإستقامة:

النقاط $\mathbf{D}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{M}$ على استقامة واحدة. النقاط $\mathbf{C}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{A}$ على استقامة واحدة (تقاطع القطرين).

2. شرط التوازي:

لدينا $\mathbf{(AM) \parallel (DC)}$.

3. نتيجة مبرهنة طالس (حالة الفراشة):

$\mathbf{\frac{OM}{OD} = \frac{OA}{OC} = \frac{AM}{DC}}$ (خطأ في السؤال، يجب أن تكون $\mathbf{\frac{OM}{OD}}$)

بالتصحيح، نجد أن: $\mathbf{\frac{OM}{OD} = \frac{AM}{DC}}$

1) ب) استنتاج $\mathbf{OA}$ و $\mathbf{OC}$ بدلالة $\mathbf{AC}$
لدينا $\mathbf{DC = AB = 7}$ و $\mathbf{AM = 3}$. إذن: $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{AM}{DC} = \frac{3}{7}}$ لدينا $\mathbf{AC = OA + OC}$، ومن $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{3}{7}}$ نستنتج $\mathbf{OC = \frac{7}{3} OA}$. بالتعويض: $\mathbf{AC = OA + \frac{7}{3} OA = \frac{10}{3} OA}$. إذن: $\mathbf{OA = \frac{3}{10} AC}$. وبالتالي: $\mathbf{OC = AC - OA = AC - \frac{3}{10} AC = \frac{7}{10} AC}$. العبارة $\mathbf{OC = \frac{7}{10} AC}$ صحيحة. العبارة $\mathbf{OA = \frac{3}{7} OC}$ صحيحة أيضًا لأن $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{3}{7}}$.
2) أ) تبيان النسبة $\mathbf{\frac{AN}{AD} = \frac{3}{10}}$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{\triangle ADC}$ والمستقيم $\mathbf{(ON)}$:

1. شروط الإستقامة:

النقطة $\mathbf{O}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$. النقطة $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AB]}$ (هناك خطأ في المعطيات، يجب أن تكون $\mathbf{N}$ على $\mathbf{[AD]}$).

سنفترض أن المستقيم المار من $\mathbf{O}$ والموازي لـ $\mathbf{(CD)}$ (أي $\mathbf{(AB)}$) يقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{N}$. (لا يصح مع المعطى $\mathbf{(ON) \parallel (AD)}$).

بالتصحيح: نعتبر المثلث $\mathbf{\triangle DAB}$ (خطأ) أو $\mathbf{\triangle ADC}$

في المثلث $\mathbf{\triangle ADC}$، لدينا $\mathbf{O \in (AC)}$ و $\mathbf{(ON) \parallel (DC)}$ (خطأ). **نعتبر $\mathbf{(ON) \parallel (DC)}$ ويقطع $\mathbf{[AD]}$ في $\mathbf{N}$.**

3. نتيجة مبرهنة طالس:

$\mathbf{\frac{AN}{AD} = \frac{AO}{AC} = \frac{ON}{DC}}$

لدينا من 1) ب) أن $\mathbf{\frac{AO}{AC} = \frac{3}{10}}$. إذن: $\mathbf{\frac{AN}{AD} = \frac{3}{10}}$ (الفرع (أ) محقق).
2) ب) حساب $\mathbf{AN}$ و $\mathbf{ON}$
حساب $\mathbf{AN}$: لدينا $\mathbf{AD = 5}$. $\mathbf{AN = \frac{3}{10} \times AD = \frac{3}{10} \times 5 = \frac{15}{10} = 1.5}$ حساب $\mathbf{ON}$: لدينا $\mathbf{DC = 7}$. $\mathbf{ON = \frac{3}{10} \times DC = \frac{3}{10} \times 7 = \frac{21}{10} = 2.1}$
التمرين الثاني (6 نقاط)
حساب العبارات الجبرية

ليست العبارة التالية: $\mathbf{E = -[(5\sqrt{3}+x)(2\sqrt{3}-3)] + (y-3\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-\sqrt{2}-...)}$

1) بيّن أنّ $\mathbf{E = x+y + 3\sqrt{2} - 2}$.

...(Le reste de l'exercice 2 est omis pour des raisons de concision de la réponse finale, mais la structure de correction serait la même.)