الأستاذ: محمد شلبي — السنة التاسعة

علم الإحصاء
والاحتمالات

لغة الأرقام والمنطق — رحلة من البيانات إلى اليقين

📊
قراءة الواقع
الإحصاء
🎲
استشراف المستقبل
الاحتمالات
🧠
من البيانات إلى القرار
المنهجية العلمية
ابدأ رحلتك
١

السلسلة الإحصائية: تنظيم البيانات

🔢
المفهوم
مجموعة من المعطيات المحددة والمستقلة، مثل أعمار التلاميذ أو عدد الإخوة.
📚
التنظيم
تُرتّب القيم تصاعدياً أو تنازلياً لتسهيل قراءتها واستخراج خصائصها.
مخطط العصيات ثنائي الأبعاد
💡
تخيّل
مثل تنظيم مكتبتك: السلسلة المنقطعة هي وضع كل كتاب في الرف المخصص له تماماً.
مخطط تفاعلي — أعمار تلاميذ الفصل (انقر على العصا لمعرفة قيمتها)
📏
الفئات
نجمع المعطيات في مجالات (فئات) لتسهيل دراستها، مثل [10, 15[
🎯
مركز الفئة
نعوض كل فئة بنقطة ارتكازها.
مركز = (طرف أ + طرف ب) ÷ 2
📐
الفئة المنوال
هي الفئة (أو الفئات) التي يقابلها التكرار الأكبر في الجدول.
عندما يصعب عدّ قطرات المطر، نقوم بتجميعها في كؤوس للقياس. هذه هي الفئات.
٢

مؤشرات التشتت والتمركز

↔️
المدى
مؤشر التشتت. الفارق الدقيق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في السلسلة.
المدى = القيمة الكبرى − القيمة الصغرى
🏆
المنوال
مؤشر التمركز. القيمة أو القيم التي تملك أكبر تكرار (الأكثر شيوعاً وانتشاراً في السلسلة).
⚖️
المعدل الحسابي
ناتج قسمة مجموع جذاءات كل قيمة في تكرارها على التكرار الجملي.
المعدل = (مجموع الجذاءات) ÷ (التكرار الجملي)
🎯
الموسط
القيمة التي تقسم السلسلة المرتبة إلى نصفين متساويين في عدد التكرارات.
كيف نحسب الموسط؟
▼

إذا كان التكرار الجملي فردياً: الموسط هو القيمة ذات الترتيب (التكرار الجملي + 1) / 2


إذا كان التكرار الجملي زوجياً: الموسط هو المعدل الحسابي للقيمتين في المنتصف.


الموسط لا يهتم بالقيم الشاذة الكبيرة أو الصغيرة، بل يبحث دائماً عن الحقيقة في المنتصف.

الفرق بين المنوال والمعدل والموسط
▼

• المنوال: النقطة التي يتجمع فيها معظم اللاعبين (الأكثر شيوعاً)


• المعدل: نقطة التوازن — كـكز الجاذبية الذي يحفظ توازن الأشياء


• الموسط: نقطة المنتصف بالضبط — نصف البيانات فوقه ونصفها تحته

المدى يخبرنا عن مساحة الملعب، بينما المنوال يدلنا على النقطة التي يتجمع فيها معظم اللاعبين
▼

هذا الفرق جوهري: يمكن أن يكون للملعب مساحة كبيرة (مدى واسع) بينما يتجمع معظم اللاعبين في نقطة محددة (منوال واضح). المدى = مؤشر تشتت، المنوال = مؤشر تمركز.

٣

التكرارات التراكمية

📈
المبدأ
حساب المجموع التدريجي للتكرارات بدءاً من القيمة (أو الفئة) الأصغر نحو الأكبر.
👀
القراءة
يعطينا عدد العناصر التي هي أصغر من أو تساوي قيمة معينة.
%
التواتر التراكمي
قسمة التكرار التراكمي على التكرار الجملي، مضروباً في 100 للنسبة المئوية.
التواتر التراكمي = (تر. تراكمي ÷ تر. جملي) × 100
مثل صعود الجبل، كل خطوة تخطوها تضيف إلى رصيدك من الارتفاع التراكمي.
📉
المبدأ
مجموع تكرارات القيم (أو الفئات) الأكبر أو المساوية لقيمة محددة.
❓
الهدف
يتيح لنا الإجابة السريعة عن أسئلة مثل: كم طالباً حصل على درجة تفوق كذا؟
🔗
العلاقة
مجموع التكرار التراكمي الصاعد والنازل لنفس النقطة الفاصلة = التكرار الجملي.
هنا ننظر من قمة الجبل إلى الأسفل، لنعرف كم خطوة تبقت أو من يتجاوز هذا الحد.
🔗
التمثيل
مضلع يربط بين النقاط التي تمثل القيم وتكراراتها التراكمية في رسم ثنائي الأبعاد.
🎯
إيجاد الموسط بصرياً
هو فاصلة النقطة التي تُرتيبها نصف التكرار الجملي.
50%
نسبة الخمسين
على مستوى التواترات المئوية، الموسط يقابله تماماً مستوى النسبة 50%.
الرسوم البيانية ليست مجرد أشكال، إنها خريطة تدلنا على كنز الموسط بدقة رياضية صارمة.
٤

مقارنة هيكلية: المنقطعة مقابل المسترسلة

المعيار المنقطعة المسترسلة
نوع المعطياتقيم منفردة ودقيقةمجالات وفئات
المخططاتمخطط العصياتمخطط المستطيلات
الحساباتتستخدم القيمة ذاتهاتستخدم مركز الفئة كقيمة بديلة
مثال تطبيقيعدد أفراد الأسرةأوزان التلاميذ بالكيلوغرام
التمثيل التراكميمضلع التراكمياتمضلع التراكميات
الطبيعة تفرض علينا نوع السلسلة؛ نعد التفاح بالأرقام المنقطعة، ونقيس أوزانه بالمسترسلة.
٥

الاحتمالات: علم التوقع

مقياس الاحتمال — من الاستحالة إلى اليقين
0
مستحيل
½
محتمل
1
أكيد
P = 0 0 < P < 1 P = 1
🚫
الحدث المستحيل
P = 0
سحب كرة خضراء من صندوق به كرات بيضاء فقط
🎲
الحدث الممكن
0 < P < 1
احتماله محصور بدقة في المجال بين 0 و1
✅
الحدث الأكيد
P = 1
حدث سيقع لا محالة، وقيمة احتماله تساوي 1 دائماً
🔬
التجربة العشوائية
كل تجربة نعلم مسبقاً جميع نتائجها الممكنة، لكننا لا نجزم بالنتيجة التي ستقع.
🗂️
مجموعة النتائج
تدوين وحصر كل الإمكانيات الواردة هو الخطوة الصفرية في علم الاحتمالات.
🔄
الارتباط بالإحصاء
التواتر النسبي في الإحصاء يتحول تدريجياً إلى احتمال عند تكرار التجربة كثيراً.
📜
قانون الأعداد الكبيرة
العشوائية الظاهرة على المدى القصير تخفي انتظاماً إحصائياً وقانوناً رياضياً دقيقاً يظهر على المدى الطويل.
٦

استراتيجيات السحب

الاستراتيجية الأولى
🔴 السحب المتتالي بدون إرجاع
  • سحب عنصر، الاحتفاظ به خارجاً، ثم سحب العنصر الموالي
  • الصندوق يفقد عناصره مما يغير الاحتمالات في كل سحبة
  • عدد الإمكانيات المتاحة يتناقص، وهو ما يؤثر على احتمال السحبة الثانية
  • كل خطوة تغير مجرى المستقبل؛ الماضي هنا لا يعود
الاستراتيجية الثانية
🟢 السحب المتتالي مع الإرجاع
  • سحب عنصر، تسجيل نتيجته، ثم إعادته إلى الصندوق قبل السحبة الموالية
  • محتوى الصندوق يظل ثابتاً، مما يجعل كل سحبة مستقلة تماماً عن سابقتها
  • احتمالات اختيار كل العناصر تظل متساوية في كل السحبات
  • هنا يعيد التاريخ نفسه؛ إرجاع العنصر يعني أننا نبدأ التجربة من الصفر في كل مرة
الاستراتيجية الثالثة
🔵 السحب المتزامن
  • سحب عنصرين أو أكثر في آن واحد، دفعة واحدة وفي نفس اللحظة
  • في هذا النوع، لا يهم من خرج أولاً لأن السحب تم في نفس الوقت
  • طريقة حساب الإمكانيات هنا تختلف لتجنب تكرار النتائج المتشابهة
  • عندما نسحب معاً، يسقط قانون الترتيب، ونهتم فقط بالنتيجة النهائية للمجموعة
٧

تجربة تفاعلية

🪙 إلقاء قطعة نقدية — تحقق من قانون الأعداد الكبيرة بنفسك!
و
0
—
وجه (Heads)
0
—
كتابة (Tails)
أجرِ التجربة لترى كيف يتقارب التواتر النسبي نحو 0.5
٨

خريطة الإتقان: مسار التعلم الشامل

المدى
المنوال
المعدل
الموسط
المنقطعة والمسترسلة
الفئات ومراكزها
تتويج المسار
القرار الدقيق
المستحيل
الأكيد
الممكن
الصاعدة والنازلة
المضلعات
اكتملت الرؤية. الآن تملك أدوات الإحصاء والاحتمالات، سلاحك الأقوى لفهم العالم رياضياً.

لقد رأينا كيف يروض العقل البشري المجهول، ليجعل من الصدفة علماً يُقاس.