📊 الإحصاء 📊

السلاسل المنفصلة والسلاسل المتصلة - السنة الثامنة أساسي

📈

مدخل إلى الإحصاء

اضغط لفهم المفاهيم الأساسية

مدخل إلى الإحصاء

📌 ما هو الإحصاء؟

الإحصاء هو علم جمع وتنظيم وتحليل وتفسير البيانات

🔑 المصطلحات الأساسية

  • المجتمع الإحصائي: مجموعة كل العناصر المدروسة
  • العينة: جزء من المجتمع الإحصائي
  • الميزة: الخاصية المدروسة
  • القيمة: نتيجة قياس الميزة
  • التكرار: عدد مرات ظهور القيمة
مثال 1 - دراسة أعمار التلاميذ:

المجتمع: جميع تلاميذ المدرسة

العينة: تلاميذ قسم 8 أساسي 2

الميزة: العمر

القيم: 13، 14، 15 سنة

مثال 2 - دراسة علامات الرياضيات:

المجتمع: كل تلاميذ السنة الثامنة بتونس

الميزة: العلامة في الرياضيات

القيم: من 0 إلى 20

📊 أنواع السلاسل الإحصائية

  • سلسلة منفصلة: القيم معزولة ومحدودة
  • سلسلة متصلة: القيم في فترات
💡 الإحصاء يساعدنا على فهم وتحليل الظواهر المختلفة
🔢

السلسلة المنفصلة

اضغط لفهم السلاسل المنفصلة

السلسلة المنفصلة

📌 التعريف

السلسلة المنفصلة هي سلسلة إحصائية تأخذ فيها الميزة قيماً معزولة ومحدودة

مثال 1 - عدد الإخوة:

سألنا 20 تلميذاً عن عدد إخوتهم، النتائج:

عدد الإخوة (القيمة) 1 2 3 4
التكرار 5 8 4 3

المجموع الكلي: 5 + 8 + 4 + 3 = 20 تلميذاً

مثال 2 - عدد السيارات في العائلات:
عدد السيارات \(x_i\) 0 1 2 3
التكرار \(n_i\) 4 12 6 3

عدد العائلات = 4 + 12 + 6 + 3 = 25 عائلة

🎯 خصائص السلسلة المنفصلة

  • القيم أعداد صحيحة غالباً
  • يمكن عدّ القيم بسهولة
  • التكرار يمثل عدد مرات ظهور كل قيمة
  • مجموع التكرارات = الحجم الكلي
⚠️ في السلسلة المنفصلة: القيم معزولة ومحدودة (1، 2، 3...)
📐

التكرارات النسبية

اضغط لحساب النسب

التكرارات النسبية والنسب المئوية

📌 التعريف

التكرار النسبي هو نسبة التكرار إلى الحجم الكلي

\(f_i = \dfrac{n_i}{N}\)

حيث:

  • \(f_i\) : التكرار النسبي
  • \(n_i\) : التكرار المطلق (العددي)
  • \(N\) : الحجم الكلي
النسبة المئوية = \(f_i \times 100\%\)
مثال كامل - علامات 25 تلميذاً:
العلامة \(x_i\) 10 12 15 18 المجموع
التكرار \(n_i\) 5 8 7 5 25
التكرار النسبي \(f_i\) 0.2 0.32 0.28 0.2 1
النسبة المئوية 20% 32% 28% 20% 100%
الحسابات التفصيلية:

\(f_1 = \dfrac{5}{25} = 0.2 = 20\%\)

\(f_2 = \dfrac{8}{25} = 0.32 = 32\%\)

\(f_3 = \dfrac{7}{25} = 0.28 = 28\%\)

\(f_4 = \dfrac{5}{25} = 0.2 = 20\%\)

✅ تحقق: مجموع التكرارات النسبية = 1
✅ تحقق: مجموع النسب المئوية = 100%
🎯

المعدل الحسابي الحسابي

اضغط لحساب المعدل الحسابي

المعدل الحسابي الحسابي - سلسلة منفصلة

📌 التعريف

المعدل الحسابي الحسابي هو مجموع حاصل ضرب كل قيمة في تكرارها مقسوماً على الحجم الكلي

\(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \times n_i}{N}\)
مثال 1 - حساب المعدل الحسابي:
العلامة \(x_i\) 8 10 12 15
التكرار \(n_i\) 3 5 7 5
\(x_i \times n_i\) 24 50 84 75
الحساب:

المجموع = 24 + 50 + 84 + 75 = 233

الحجم الكلي N = 3 + 5 + 7 + 5 = 20

\(\bar{x} = \dfrac{233}{20} = 11.65\)

مثال 2 - عدد الأولاد في 30 عائلة:
عدد الأولاد 1 2 3 4
التكرار 6 12 8 4
الحل:

\(\bar{x} = \dfrac{1×6 + 2×12 + 3×8 + 4×4}{30}\)

\(\bar{x} = \dfrac{6 + 24 + 24 + 16}{30}\)

\(\bar{x} = \dfrac{70}{30} = 2.33\) أولاد

💡 المعدل الحسابي يعطينا فكرة عن القيمة المركزية للسلسلة
⚖️

الموسط

اضغط لفهم الموسط

الموسط - سلسلة منفصلة

📌 التعريف

الموسط هو القيمة التي تقسم السلسلة المرتبة إلى قسمين متساويين

📊 طريقة الحساب

  • نرتب القيم تصاعدياً
  • نحسب الرتبة: \(\dfrac{N+1}{2}\)
  • إذا كانت N فردية: الموسط هو القيمة في الرتبة المحسوبة
  • إذا كانت N زوجية: الموسط هو متوسط القيمتين الوسطيتين
مثال 1 - عدد فردي (N = 9):

القيم: 2، 5، 7، 8، 10، 12، 13، 15، 18

الرتبة = \(\dfrac{9+1}{2} = 5\)

الموسط = 10 (القيمة الخامسة)

مثال 2 - عدد زوجي (N = 8):

القيم: 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17

الرتبة = \(\dfrac{8+1}{2} = 4.5\)

القيمتان الوسطيتان: 9 و 11

الموسط = \(\dfrac{9+11}{2} = 10\)

مثال 3 - مع تكرارات:
القيمة 5 8 10 12 15
التكرار 2 4 6 5 3

N = 20 (زوجي)

السلسلة مرتبة: 5،5،8،8،8،8،10،10،10،10،10،10،12،12،12،12،12،15،15،15

القيمتان في الرتبتين 10 و 11: كلاهما 10

الموسط = 10

💡 الموسط لا يتأثر بالقيم الشاذة (المتطرفة)
📏

السلسلة المتصلة

اضغط لفهم السلاسل المتصلة

السلسلة المتصلة

📌 التعريف

السلسلة المتصلة هي سلسلة إحصائية تأخذ فيها الميزة قيماً في فترات متتالية

🔑 المصطلحات

  • الفئة (الصنف): فترة من القيم [a ; b[
  • مركز الفئة: \(\dfrac{a+b}{2}\)
  • مدى الفئة: b - a
  • التكرار: عدد القيم في الفئة
مثال 1 - أطوال 30 تلميذاً (بالسم):
الطول (الفئة) [140;150[ [150;160[ [160;170[ [170;180[
التكرار 5 12 9 4
المركز 145 155 165 175

الحجم الكلي N = 5 + 12 + 9 + 4 = 30

مثال 2 - كتل 40 تلميذاً (بالكغ):
الكتلة [40;50[ [50;60[ [60;70[
التكرار 8 22 10
المركز 45 55 65
⚠️ الفئة [a ; b[ تعني: a مشمولة و b غير مشمولة
مثال: [150;160[ تشمل 150 ولا تشمل 160

🎯 تمرين:

احسب مركز الفئة [35;45[

الحل: \(\dfrac{35+45}{2} = 40\)

🧮

المعدل الحسابي - متصلة

اضغط لحساب المعدل الحسابي

المعدل الحسابي الحسابي - سلسلة متصلة

📌 الطريقة

نستعمل مراكز الفئات بدلاً من القيم

\(\bar{x} = \dfrac{\sum c_i \times n_i}{N}\)

حيث \(c_i\) هو مركز الفئة

مثال كامل - أعمار 50 شخصاً:
الفئة [10;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[
التكرار \(n_i\) 8 15 18 9
المركز \(c_i\) 15 25 35 45
\(c_i × n_i\) 120 375 630 405
الحساب التفصيلي:

مركز [10;20[ = \(\dfrac{10+20}{2} = 15\)

مركز [20;30[ = \(\dfrac{20+30}{2} = 25\)

مركز [30;40[ = \(\dfrac{30+40}{2} = 35\)

مركز [40;50[ = \(\dfrac{40+50}{2} = 45\)

المجموع = 120 + 375 + 630 + 405 = 1530

\(\bar{x} = \dfrac{1530}{50} = 30.6\) سنة

مثال 2 - علامات 40 تلميذاً:
الفئة [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[
التكرار 4 8 18 10

الحل:

\(\bar{x} = \dfrac{2.5×4 + 7.5×8 + 12.5×18 + 17.5×10}{40}\)

\(\bar{x} = \dfrac{10 + 60 + 225 + 175}{40} = \dfrac{470}{40} = 11.75\)

🎲

الموسط - متصلة

اضغط لطريقة الحساب

الموسط - سلسلة متصلة

📌 الطريقة

نحسب التكرارات التراكمية ونحدد الفئة الموسطية

📊 خطوات الحساب

  • نحسب التكرارات التراكمية
  • نحسب \(\dfrac{N}{2}\)
  • نحدد الفئة التي يقع فيها \(\dfrac{N}{2}\)
  • الموسط هو مركز هذه الفئة
مثال كامل - 40 قيمة:
الفئة [10;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[
التكرار 6 10 15 9
التكرار التراكمي 6 16 31 40
الحل:

\(\dfrac{N}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\)

نبحث عن الفئة التي يصبح فيها التكرار التراكمي ≥ 20

• عند نهاية [10;20[ : 6 < 20

• عند نهاية [20;30[ : 16 < 20

• عند نهاية [30;40[ : 31 ≥ 20 ✓

الفئة الموسطية: [30;40[

الموسط = \(\dfrac{30+40}{2} = 35\)

مثال 2 - 30 قيمة:
الفئة [0;10[ [10;20[ [20;30[
التكرار 8 14 8
التراكمي 8 22 30

\(\dfrac{30}{2} = 15\)

الفئة الموسطية: [10;20[ (لأن 22 ≥ 15)

الموسط = 15

📉

المدى والمنوال

اضغط للمؤشرات الإضافية

المدى والمنوال

📌 المدى (Range)

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة

المدى = القيمة الكبرى - القيمة الصغرى
مثال 1 - سلسلة منفصلة:

القيم: 5، 8، 12، 15، 18، 20

المدى = 20 - 5 = 15

مثال 2 - سلسلة متصلة:

الفئات: [10;20[ , [20;30[ , [30;40[ , [40;50[

المدى = 50 - 10 = 40

📌 المنوال (Mode)

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً

مثال 3 - سلسلة منفصلة:
القيمة 5 8 10 12
التكرار 3 7 9 4

المنوال = 10 (التكرار الأكبر: 9)

مثال 4 - سلسلة متصلة:
الفئة [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[
التكرار 4 12 18 6

الفئة المنوالية: [10;15[ (التكرار الأكبر: 18)

المنوال = مركز الفئة = 12.5

💡 المدى يعطي فكرة عن تشتت القيم
💡 المنوال يشير إلى القيمة الأكثر شيوعاً
📊

التمثيلات البيانية

اضغط لأنواع الرسوم

التمثيلات البيانية

📊 للسلاسل المنفصلة

  • المخطط بالأعمدة: عمود لكل قيمة
  • المخطط الدائري: قطاعات دائرية
مثال - مخطط بالأعمدة:

عدد التلاميذ حسب عدد الإخوة:

6 1
12 2
8 3
4 4

عدد الإخوة

📊 للسلاسل المتصلة

  • المدرج التكراري: مستطيلات متلاصقة
  • عرض المستطيل = مدى الفئة
  • ارتفاع المستطيل يمثل التكرار
مثال - مدرج تكراري:

توزيع الأطوال (بالسم):

5 140-150
12 150-160
9 160-170
4 170-180
💡 التمثيل البياني يسهل قراءة وفهم البيانات بسرعة
🔍

المقارنة والملخص

اضغط للملخص الشامل

المقارنة بين السلاسل

🔢 سلسلة منفصلة
  • قيم معزولة
  • أعداد صحيحة غالباً
  • المعدل الحسابي: \(\dfrac{Σx_i n_i}{N}\)
  • مخطط بالأعمدة
📏 سلسلة متصلة
  • قيم في فئات
  • أي أعداد حقيقية
  • المعدل الحسابي: \(\dfrac{Σc_i n_i}{N}\)
  • مدرج تكراري

📋 جدول المؤشرات

المؤشر الرمز الفائدة
المعدل الحسابي الحسابي \(\bar{x}\) القيمة المركزية
الموسط Me القيمة الوسطى
المنوال Mo القيمة الأكثر تكراراً
المدى R التشتت
مثال تطبيقي شامل:

علامات 20 تلميذاً: 8،10،10،12،12،12،12،14،14،14،14،14،14،15،15،15،16،16،18،20

المعدل الحسابي: \(\bar{x} = 13.3\)

الموسط: Me = 14

المنوال: Mo = 14

المدى: R = 20 - 8 = 12

🎯 نصائح للنجاح:

  • تحقق دائماً من مجموع التكرارات
  • رتب القيم قبل حساب الموسط
  • استعمل مراكز الفئات في السلاسل المتصلة
  • ارسم تمثيلاً بيانياً للتحقق
📊 اضغط على أي بطاقة لإتقان الإحصاء