الإحصاء — الحصة 5 / 6 — 9ème année

التجميع في فئات
والوسيط البياني

عندما تكون البيانات كثيرة جدًّا، نجمعها في فئات. ثم نرسم مضلّع التراكم — وفي لحظة واحدة، نقرأ الوسيط دون أي حساب.
📦 الفئات والسّعة 📐 مركز الفئة 📊 المدرّج التكراري 📈 مضلّع التراكم ⭕ الوسيط البياني
🟢 المستوى 1 — قراءة الوسيط على مضلّع جاهز
🤔
لماذا نجمّع في فئات؟
سُجّلت طوال 87 قيمة مختلفة لأطوال تلاميذ في الفصل. هل يمكنك بناء جدول بـ 87 صفًّا؟
📋
جدول الفئات — مُعطى

الجدول جاهز. لاحظ كيف تحوّلت 87 قيمة إلى 5 صفوف فقط.

الفئةمركز الفئةالتكرارالتكرار التراكميالتكرار التراكمي %
[140 ; 150[145101011.5%
[150 ; 160[155223236.8%
[160 ; 170[165306271.3%
[170 ; 180[175188092.0%
[180 ; 190[185787100%
التكرار التراكمي: نجمع التكرارات من الأعلى. مثلاً: الفئة الثالثة = 10 + 22 + 30 = 62 تلميذًا تطولهم أقل من 170 سم.
📈
مضلّع التراكم — اقرأ الوسيط
التعليمة: المضلّع مرسوم. اضغط على الزر لرؤية كيف تُقرأ الوسيط: ارسم خطًّا أفقيًّا عند 50% حتى يُلاقي المضلّع، ثم انزل عموديًّا.
🎉

لقد قرأت الوسيط بيانيًّا!

الوسيط ≈ 163 سم — أي أنّ نصف التلاميذ يقلّ طولهم عن 163 سم ونصفهم يزيد عنه.

✏️
أسئلة التطبيق
نقاطك 0 / 3
أجب على الأسئلة
⬤ كم تلميذًا طولهم أقل من 170 سم؟
32 تلميذًا
62 تلميذًا
80 تلميذًا
✅ صحيح! التكرار التراكمي للفئة [160;170[ هو 62.
⬤ ما الفئة التي تحتوي على الوسيط؟
[160 ; 170[
[150 ; 160[
[170 ; 180[
✅ صحيح! n/2 = 43.5 — نبحث عن أول تراكمي يتجاوز 43.5: هو 62 في [160;170[.
❌ n = 87 → n/2 = 43.5. أول تراكمي يتجاوز 43.5 هو 62 → الفئة [160 ; 170[.
⬤ ما الفرق بين "مركز الفئة" و"حدّ الفئة"؟
لا فرق، الاثنان نفس الشيء
مركز الفئة هو حدّها الأعلى
مركز الفئة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2
✅ صحيح! مركز الفئة [160;170[ هو (160+170)÷2 = 165.
❌ مركز الفئة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2. مثلاً: [160;170[ → (160+170)÷2 = 165.
🟡 المستوى 2 — بناء الجدول والمضلّع خطوة بخطوة
📊
البيانات: مدة النوم (بالدقيقة) لـ 40 تلميذًا
السياق: سُجّلت مدة نوم 40 تلميذًا ليلة قبل الامتحان. البيانات كثيرة — نجمّعها في فئات.
330, 360, 390, 360, 420, 480, 450, 390, 360, 480, 420, 510, 390, 360, 420, 480, 510, 540, 420, 480, 510, 540, 480, 420, 540, 510, 480, 450, 540, 480, 510, 570, 540, 480, 510, 570, 540, 510, 570, 600
سعة الفئة: 60 دقيقة
عدد الفئات: 5 — هذا عدد مناسب للقراءة الواضحة.
📋
أكمل جدول التوزيع التكراري
أكمل الخلايا الفارغة. اضغط على كل خلية ثم أدخل قيمتك. ✅ = صحيح، ❌ = راجع.
الفئةمركز الفئة x̃ᵢالتكرار nᵢالتكرار التراكمي% التراكمي
[330 ; 390[ 3 7.5%
[390 ; 450[ 420 30%
[450 ; 510[ 480 14
[510 ; 570[ 10 90%
[570 ; 630[ 600 4 40 100%
📈
ارسم مضلّع التراكم — نقطة بنقطة
اضغط على الزر لإضافة كل نقطة. عندما يكتمل المضلّع، اكتشف الوسيط!
اضغط على "أضف النقطة التالية" لبدء رسم المضلّع.
🌟

لحظة رائعة!

لقد قرأت الوسيط بيانيًّا ≈ 476 دقيقة. أي أنّ نصف التلاميذ نام أقل من 476 دقيقة (≈ 8 ساعات) ليلة الامتحان.

🔴 المستوى 3 — اختر السعة وقارن المضلّعات
🔬
سؤال التفكير الناقد
هل تتغيّر قيمة الوسيط عند تغيير سعة الفئات؟
لدينا 60 علامة للامتحان. سنجمّعها مرة بسعة 10، ومرة بسعة 20، ومرة بسعة 5 — ونرى ماذا يحدث للمضلّع وللوسيط.
12,14,15,18,20,22,23,24,25,26,27,28,28,29,30,31,32,33,33,34, 35,35,36,36,37,38,38,39,40,40,41,42,42,43,44,45,46,47,48,48, 49,50,51,52,52,53,54,55,56,57,58,59,60,62,64,65,68,70,74,78
🎛️
اختر سعة الفئات — قارن المضلّعات
السعة: 10
السعة = 10 → 7 فئات. الوسيط المقروء ≈ 40.
🤔
فسّر ما تلاحظه
نقاطك 0 / 3
أجب على الأسئلة
⬤ عند تكبير سعة الفئات من 5 إلى 20، ماذا يحدث للمضلّع؟
يصبح المضلّع أكثر دقة وتفصيلاً
يصبح المضلّع أكثر تقريبًا وعدد نقاطه يقلّ
لا يتغيّر المضلّع أبدًا
✅ صحيح! سعة أكبر = فئات أقل = نقاط أقل = مضلّع أكثر تقريبًا.
❌ السعة الكبيرة تعطي فئات أقل عددًا → المضلّع لديه نقاط أقل → يصبح تقريبيًّا أكثر.
⬤ لماذا تتغيّر قيمة الوسيط المقروء بيانيًّا عند تغيير السعة؟
لأنّ البيانات نفسها تتغيّر
لأنّ 50% لا تتغيّر على الرسم
لأنّ التجميع في فئات هو تقريب — السعة تؤثّر على دقة المضلّع
✅ صحيح! الوسيط البياني تقريبي — دقّته تعتمد على سعة الفئات المختارة.
❌ البيانات لا تتغيّر، لكن التجميع في فئات هو تقريب — السعة تغيّر دقة المضلّع المقروء.
⬤ ما السعة التي تعطي أدقّ تمثيل للبيانات في الغالب؟
سعة صغيرة — لكن ليست صغيرة جدًّا (5 إلى 10 فئات كافية)
أكبر سعة ممكنة
فئة واحدة فقط
✅ صحيح! القاعدة العملية: بين 5 و 10 فئات — لا أقل فيُفقد التفصيل، ولا أكثر فيصعب القراءة.
❌ السعة المثلى تعطي 5 إلى 10 فئات — هذا توازن بين الدقة وسهولة القراءة.
🏆

تفكير نقدي ممتاز!

اكتشفت حدود الأداة الإحصائية: التجميع في فئات هو تقريب — واختيار السعة يؤثّر على النتيجة. هذا ما يميّز الإحصائيَّ الحقيقي.

⚠️
أخطاء شائعة يجب تفاديها
🔴
رسم أعمدة المدرّج التكراري مع مسافات فاصلة
في المدرّج التكراري، الفئات متصلة (قيم مستمرة) → الأعمدة تُرسم مُلتصقة دون مسافات. خلافًا لمخطّط الأعمدة البياني للقيم المنفصلة.
🟡
الخلط بين التكرار والتكرار التراكمي
التكرار nᵢ = عدد القيم في الفئة فقط. التكرار التراكمي = مجموع كل التكرارات من بداية الجدول حتى هذه الفئة.
🟡
وضع نقاط مضلّع التراكم عند مراكز الفئات
نقاط مضلّع التراكم تُوضع عند الحدود العليا للفئات (لا مراكزها): الفئة [140;150[ → النقطة عند x=150.