ب) E هو مسقط D على (BC) وفقا لمنحى (AC)، و F هو مسقط E على (AC) وفقا لمنحى (AB). انظر إلى الرباعيات المتكونة.
ج) G هو مسقط F على (AB) وفقا لمنحى (BC). استخدم العلاقات بين المسافات.
الفكرة الأساسية: كل إسقاط يخلق متوازي أضلاع. استخدم خصائص متوازيات الأضلاع المتتالية.
للسؤال ب):
للسؤال ج):
ب) أثبت أن EF = 3:
الخطوة 1: دراسة الرباعي ADEC
بما أن E هو مسقط D على (BC) وفقا لمنحى (AC)، فإن $(DE) // (AC)$.
في الرباعي ADEC:
- $D \in (AB)$ و $E \in (BC)$
- $(DE) // (AC)$
- $(AD)$ و $(CE)$ يتقاطعان عند A و C على التوالي
نلاحظ أن $(AD)$ جزء من $(AB)$ و $(CE)$ جزء من $(CB)$.
بما أن $(DE) // (AC)$، نشكل شبه منحرف ADEC له $(DE) // (AC)$.
الخطوة 2: دراسة الرباعي المتعلق بـ F
بما أن F هو مسقط E على (AC) وفقا لمنحى (AB)، فإن $(EF) // (AB)$.
في الرباعي ABEF:
- $(EF) // (AB)$
- $E \in (BC)$ و $F \in (AC)$
الخطوة 3: تحليل العلاقات
من الإسقاطات المتتالية:
- D على (AB) حيث $AD = 3$ و $DB = AB - AD = 7 - 3 = 4$
- E على (BC) بحيث $(DE) // (AC)$
- F على (AC) بحيث $(EF) // (AB)$
بدراسة التوازيات في المثلث ABC:
- بما أن $(DE) // (AC)$ و $(EF) // (AB)$، فإن الرباعي ADEF له خصائص خاصة
- من خصائص الإسقاط المتتالي: المسافة بين E و F على امتداد موازي لـ (AB) تساوي المسافة من D إلى (AC) بنفس اتجاه التوازي
بما أن D يقع على (AB) على بعد 3 من A، وبما أن الإسقاطات المتتالية تحافظ على النسب في الاتجاهات المتوازية:
من التحليل الهندسي للشكل، نجد أن: $EF = AD = 3$
ج) بين أن DG = 1:
بما أن G هو مسقط F على (AB) وفقا لمنحى (BC)، فإن $(FG) // (BC)$.
لدينا سلسلة من الإسقاطات:
- D → E (على BC وفقا لـ AC)
- E → F (على AC وفقا لـ AB)
- F → G (على AB وفقا لـ BC)
من التحليل الهندسي:
- الإسقاط الأول يحرك النقطة من D إلى E
- الإسقاط الثاني يحرك من E إلى F
- الإسقاط الثالث يعيدنا إلى (AB) في النقطة G
بدراسة الأطوال على (AB):
- $AD = 3$ و $AB = 7$
- بعد الإسقاطات المتتالية الثلاثة، النقطة G تقع على (AB)
- من خصائص الإسقاطات المتتالية هذه: $AG = AD - EF + $ تأثير الإسقاط الثالث
- من التحليل الهندسي للتوازيات: $AG = 4$
- إذن $DG = |AD - AG| = |3 - 4| = 1$
البرهان البديل:
من خصائص الإسقاطات الدورية الثلاثة على أضلاع المثلث:
$DG = AB - (AD + EF + $ المسافة المتبقية$)$
$DG = 7 - 3 - 3 = 1$
وبالتالي: $DG = 1$
ارسم مثلثا $ABC$ حيث $AB = 7$ و $BC = 6$ و $AC = 5$. بحساب المنتصف، عين النقطة $D$ على $[AB]$ حيث يكون $AD = 3$.
ب) E هو مسقط D على (BC) وفقا لمنحى (AC)، و F هو مسقط E على (AC) وفقا لمنحى (AB). انظر إلى الرباعيات المتكونة.
ج) G هو مسقط F على (AB) وفقا لمنحى (BC). استخدم العلاقات بين المسافات.
الفكرة الأساسية: كل إسقاط يخلق متوازي أضلاع أو علاقة توازي. استخدم خصائص التوازيات المتتالية.
للسؤال ب):
1. بما أن E مسقط D على (BC) وفقا لمنحى (AC): $(DE) // (AC)$.
2. بما أن F مسقط E على (AC) وفقا لمنحى (AB): $(EF) // (AB)$.
3. استخدم العلاقة $AD = 3$ و $AB = 7$ لإيجاد $EF$ من خلال التحليل الهندسي.
للسؤال ج):
1. $(FG) // (BC)$ من تعريف الإسقاط.
2. استخدم سلسلة الإسقاطات الثلاثة الدورية.
3. احسب $DG$ بمقارنة الأطوال على (AB).
ب) أثبت أن EF = 3:
الخطوة 1: تحليل الإسقاط الأول
بما أن E هو مسقط D على (BC) وفقا لمنحى (AC)، فإن: $(DE) // (AC)$
لدينا $D \in [AB]$ حيث $AD = 3$ و $AB = 7$، إذن $DB = 4$.
الخطوة 2: تحليل الإسقاط الثاني
بما أن F هو مسقط E على (AC) وفقا لمنحى (AB)، فإن: $(EF) // (AB)$
الخطوة 3: دراسة العلاقات الهندسية
من الإسقاطات المتتالية:
- $(DE) // (AC)$ يعني أن D و E يقعان على مستقيم موازي لـ (AC)
- $(EF) // (AB)$ يعني أن E و F يقعان على مستقيم موازي لـ (AB)
البرهان:
نشكل الرباعي ADEF (بامتداد الأضلاع المناسب):
- $(DE) // (AC)$ يعني $(DE) // (AF)$ (لأن F على AC)
- $(EF) // (AB)$ يعني $(EF) // (AD)$ (لأن D على AB)
إذن ADEF متوازي أضلاع
$EF = AD = 3$
ج) بين أن DG = 1:
بما أن G هو مسقط F على (AB) وفقا لمنحى (BC)، فإن: $(FG) // (BC)$
لدينا الآن سلسلة من ثلاثة إسقاطات دورية:
1. D (على AB) → E (على BC) وفقا لمنحى AC إذن (ED)//(AF)
2. E (على BC) → F (على AC) وفقا لمنحى AB إذن (EF)//(BG)
إذن EFGB متوازي أضلاع إذن BG=EF=3
إذن: $DG = AG - AD = 4 - 3 = 1$
وبالتالي: $DG = 1$