تمرين حول الإسقاط في المثلث المتقايس الأضلاع

تمرين 2: المساعدة

💡 مؤشر

1) مسقطي A و B على (AC) وفقا لمنحى (BC): بما أن المثلث متقايس الأضلاع، ما هي الزوايا المتساوية؟

2) إذا كانت A مسقط B على (Δ) وفقا لمنحى (Δ')، فما معنى ذلك؟ أنظر إلى العلاقات بين المستقيمات.

3) لإثبات أن (BD) ⊥ (AC)، استخدم خاصية التقاطع وخصائص الإسقاط.

📝 الطريقة

للسؤال 1:

  1. مسقط A على (AC) وفقا لمنحى (BC): بما أن (AC) // (BC) مستحيل، نبحث عن النقطة على (AC) بحيث يكون المستقيم المار منها إلى A موازيا لـ (BC).
  2. مسقط B على (AC) وفقا لمنحى (BC): نبحث عن النقطة على (AC) بحيث يكون (BC) نفسه يمر من B.

للسؤال 2:

  1. من تعريف الإسقاط: (BA) // (Δ') و (BC) // (Δ).
  2. استخدم خاصية أن مستقيمين غير متوازيين يتقاطعان في نقطة وحيدة.

للسؤال 3:

  1. استخدم خصائص الإسقاط والعلاقات الهندسية في المثلث المتقايس الأضلاع.
  2. أثبت أن الزاوية بين (BD) و (AC) هي 90 درجة.

✅ الحل الكامل

1) حدد مسقطي A و B على المستقيم (AC) وفقا لمنحى المستقيم (BC):

مسقط A: نبحث عن نقطة على (AC) بحيث يكون المستقيم المار منها وموازي لـ (BC) يمر من A. بما أن A تنتمي بالفعل إلى (AC)، فإن مسقط A على (AC) وفقا لمنحى (BC) هو A نفسها.

مسقط B: نبحث عن نقطة على (AC) بحيث يكون المستقيم الموازي لـ (BC) والمار منها يمر من B. بما أن (BC) نفسه يربط B بالنقطة C التي تنتمي إلى (AC)، فإن مسقط B على (AC) وفقا لمنحى (BC) هو C.

2) المستقيمان (Δ) و (Δ') متقاطعان:

من تعريف الإسقاط:

لدينا إذن: (BA) // (Δ') و (BC) // (Δ).

بما أن المثلث ABC متقايس الأضلاع، فإن الأضلاع الثلاثة غير متساوية بالضرورة في الاتجاه، وبالتالي (BA) و (BC) غير متوازيان.

بما أن (Δ') // (BA) و (Δ) // (BC)، ولدينا (BA) و (BC) يتقاطعان في B، فإن المستقيمين (Δ) و (Δ') متقاطعان (لأنهما غير متوازيان).

3) بين أن (BD) ⊥ (AC):

D هي نقطة تقاطع (Δ) و (Δ').

من السؤال 2، لدينا:

بما أن D تنتمي إلى (Δ) و (Δ')، ونعلم أن الرباعي الذي يحتوي على B, A, D, C له خصائص هندسية خاصة:

من خاصية الإسقاط والتوازي، نجد أن BADC يشكل شكلا هندسيا حيث BD هو أحد الأقطار.

في المثلث المتقايس الأضلاع ABC، باستخدام خصائص الزوايا والتماثل، وبما أن D تم تحديدها من خلال التوازيات مع ضلعي المثلث، فإن المستقيم (BD) يكون عموديا على (AC).

تمرين حول الإسقاط في المثلث المتقايس الأضلاع

إعداد الأستاذ: دفواراتي
الإسقاط في المثلث المتقايس الأضلاع
تمرين 2

ليكن $ABC$ مثلثا متقايس الأضلاع. حدد مسقطي كل من $A$ و $B$ على المستقيم $(AC)$ وفقا لمنحى المستقيم $(BC)$.

  1. ارسم المستقيمين $(\Delta)$ و $(\Delta')$ حيث تكون النقطة $A$ مسقط $B$ على $(\Delta)$ وفقا لمنحى $(\Delta')$ و تكون النقطة $C$ مسقط $B$ على $(\Delta')$ وفقا لمنحى $(\Delta)$. استنتج أن المستقيمين $(\Delta)$ و $(\Delta')$ متقاطعان.
  2. لتكن $D$ نقطة تقاطع $(\Delta)$ و $(\Delta')$. بين أن $(BD) \perp (AC)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) مسقطي A و B على (AC) وفقا لمنحى (BC): بما أن المثلث متقايس الأضلاع، ما هي الزوايا المتساوية؟

2) إذا كانت A مسقط B على (Δ) وفقا لمنحى (Δ')، فما معنى ذلك؟ أنظر إلى العلاقات بين المستقيمات.

3)انتبه إلى الرباعي ABCD

📝 الطريقة

للسؤال الأول:
1. مسقط A على (AC): بما أن A تنتمي إلى (AC)، فإن مسقط A هو A نفسها.
2. مسقط B على (AC) وفقا لمنحى (BC): هو C لأن (BC) يربط B بـ C.

للسؤال 1:
1. من تعريف الإسقاط: $(BA) // (\Delta')$ و $(BC) // (\Delta)$.
2. بما أن (BA) و (BC) يتقاطعان في B وليسا متوازيين، فإن $(\Delta)$ و $(\Delta')$ متقاطعان.

للسؤال 2:
حدد طبيعة الرباعي ABCD

✅ الحل الكامل

السؤال الأولي: تحديد المسقطين:
مسقط A: نبحث عن نقطة على (AC) بحيث يكون المستقيم المار منها وموازي لـ (BC) يمر من A. بما أن A تنتمي بالفعل إلى (AC)، فإن مسقط A على (AC) وفقا لمنحى (BC) هو A نفسها.

مسقط B: نبحث عن نقطة على (AC) بحيث يكون المستقيم الموازي لـ (BC) والمار منها يمر من B. بما أن (BC) نفسه يربط B بالنقطة C التي تنتمي إلى (AC)، فإن مسقط B على (AC) وفقا لمنحى (BC) هو C.

1) المستقيمان (Δ) و (Δ') متقاطعان:
من تعريف الإسقاط:
- A مسقط B على (Δ) وفقا لمنحى (Δ') يعني: المستقيم المار من B وموازي لـ (Δ') يقطع (Δ) في A، أي $(BA) // (\Delta')$.
- C مسقط B على (Δ') وفقا لمنحى (Δ) يعني: المستقيم المار من B وموازي لـ (Δ) يقطع (Δ') في C، أي $(BC) // (\Delta)$.

لدينا إذن: $(BA) // (\Delta')$ و $(BC) // (\Delta)$.

بما أن $(\Delta') // (BA)$ و $(\Delta) // (BC)$، ولدينا (BA) و (BC) يتقاطعان، فإن المستقيمين $(\Delta)$ و $(\Delta')$ متقاطعان بالضرورة.

2) بين أن $(BD) \perp (AC)$:
D هي نقطة تقاطع $(\Delta)$ و $(\Delta')$.
من السؤال السابق، لدينا:
- $(\Delta) // (BC)$
- $(\Delta') // (BA)$

نشكل الرباعي BADC. بما أن:
- $(BA) // (\Delta')$ و D تنتمي إلى $(\Delta')$
- $(BC) // (\Delta)$ و D تنتمي إلى $(\Delta)$

إذن ABCD متوازي أضلاع
بما أن ABC مثلث متقايس الأضلاع فإن BA=BC
إذن ABCD معين و منه قطراه [BD] و [AC] متعامدان

$(BD) \perp (AC)$.