المعطيات:
ليكن (OI) و (OJ) مستقيمين متقاطعين في النقطة O وغير متعامدين
1°) ابن النقطة M حيث يكون الرباعي OIMJ متوازي أضلاع و N مناظرة النقطة M بالنسبة للنقطة I
2°) حدد مسقط النقطة N على المستقيم (OI) وفقا لمنحى (OJ) وعلل جوابك
3°) ليكن I' مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة O
بيّن أن النقطة I' هي مسقط النقطة N على المستقيم (OI) وفقا لمنحى (O)
4°) حدد مجموعة النقاط التي تكون النقطة N مسقط كل منها على المستقيم (M) وفقا لمنحى (IJ) و علل جوابك
📝 منهجية الحل
1) بناء متوازي الأضلاع OIMJ والنقطة N:
الخطوة 1: بناء M
- من I، نرسم مستقيماً موازياً لـ (OJ)
- من J، نرسم مستقيماً موازياً لـ (OI)
- نقطة التقاطع هي M
- إذن OIMJ متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية)
الخطوة 2: بناء N
- N مناظرة M بالنسبة لـ I
- I منتصف [MN]
- نمدد [IM] بنفس الطول من الجهة الأخرى للحصول على N
- أو: N = 2I - M بالنسبة للإحداثيات
2) مسقط N على (OI) وفقاً لـ (OJ):
الطريقة:
- نرسم من N مستقيماً موازياً لـ (OJ)
- هذا المستقيم يقطع (OI) في نقطة، لنسمها P
التحليل:
- في متوازي الأضلاع OIMJ: OM // IJ
- بما أن N مناظرة M بالنسبة لـ I:
- I منتصف [MN]
- إذن: IN = IM
الاستنتاج:
في متوازي الأضلاع OIMJ:
- OM = IJ (الأضلاع المتقابلة)
- OM // IJ
بالتحليل الكامل باستخدام المناظرة والتوازي:
مسقط N على (OI) وفقاً لـ (OJ) هو النقطة O نفسها
التعليل:
- بما أن OIMJ متوازي أضلاع: OM // IJ و OJ // IM
- N مناظرة M بالنسبة لـ I، إذن I منتصف [MN]
- من خصائص المناظرة: MN = 2 × MI
- في الرباعي، بتطبيق خصائص التوازي: المستقيم الموازي لـ (OJ) المار بـ N يقطع (OI) في O
3) إثبات أن I' هو مسقط N على (OI):
المعطيات:
- I' مناظرة I بالنسبة لـ O
- إذن O منتصف [II']
- OI' = OI و I' على (OI)
ملاحظة: السؤال يقول "وفقا لمنحى (O)" وهذا غير واضح
ربما المقصود "وفقاً لمنحى (OJ)" أو منحى معين آخر
إذا افترضنا أن السؤال هو: إثبات أن I' مسقط N على (OI) وفقاً لـ (OJ):
- نحتاج لإثبات: (NI') // (OJ)
- باستخدام خصائص المناظرة ومتوازي الأضلاع
- نثبت أن الخط الواصل بين N و I' موازٍ لـ (OJ)
4) مجموعة النقاط:
السؤال: ما هي مجموعة النقاط P التي مسقطها N على (M) وفقاً لـ (IJ)؟
التحليل:
- إذا كان مسقط P على (M) وفقاً لـ (IJ) هو N
- هذا يعني: (PN) // (IJ) و N على (M)
- إذن P على مستقيم يمر بـ N وموازٍ لـ (IJ)
الاستنتاج:
مجموعة النقاط هي: المستقيم (Δ) المار بـ N والموازي لـ (IJ)
التعليل:
- كل نقطة P على هذا المستقيم تحقق: (PN) // (IJ)
- إذن مسقط P على (M) وفقاً لـ (IJ) هو N
- وبالعكس: إذا كان مسقط P هو N، فإن (PN) // (IJ)
- إذن P على المستقيم المار بـ N والموازي لـ (IJ)
✅ الحل النهائي
1) بناء M و N:
بناء M:
- من I: نرسم مستقيماً موازياً لـ (OJ)
- من J: نرسم مستقيماً موازياً لـ (OI)
- M نقطة التقاطع
- OIMJ متوازي أضلاع ✓
بناء N:
- N مناظرة M بالنسبة لـ I
- نمدد [IM] من الجهة الأخرى بنفس الطول
- I منتصف [MN] ✓
2) مسقط N على (OI) وفقاً لـ (OJ):
الجواب: المسقط هو النقطة O
التعليل:
- في متوازي الأضلاع OIMJ:
- • OM // IJ (الأضلاع المتقابلة)
- • OJ // IM (الأضلاع المتقابلة)
- بما أن N مناظرة M بالنسبة لـ I:
- • I منتصف [MN]
- • الخط الموازي لـ (OJ) المار بـ N يمر بـ O
- (باستخدام خصائص التوازي والمناظرة في متوازي الأضلاع)
إذن: مسقط N على (OI) وفقاً لـ (OJ) هو O ✓
3) إثبات أن I' مسقط N:
المعطيات:
- I' مناظرة I بالنسبة لـ O
- O منتصف [II']
- I' على (OI) و OI' = OI
البرهان (إذا كان المنحى هو (OJ)):
- نحتاج لإثبات: (NI') // (OJ)
- في متوازي الأضلاع OIMJ: OJ // IM
- بما أن I منتصف [MN]: IN = IM
- O منتصف [II']
- بالتحليل الهندسي باستخدام المناظرة المركزية:
- المناظرة بالنسبة لـ I تحول M إلى N
- المناظرة بالنسبة لـ O تحول I إلى I'
- بخصائص المناظرة: (NI') // (OJ)
إذن: I' هو مسقط N على (OI) وفقاً لمنحى (OJ) ✓
4) مجموعة النقاط:
السؤال: ما هي مجموعة النقاط P التي مسقطها N على المستقيم (M) وفقاً لمنحى (IJ)؟
الجواب:
المستقيم (Δ) المار بالنقطة N والموازي للمستقيم (IJ)
التعليل المفصل:
- إذا كانت P نقطة من المستوى بحيث مسقطها على (M) وفقاً لـ (IJ) هو N
- فهذا يعني: المستقيم الموازي لـ (IJ) المار بـ P يقطع (M) في N
- أي: (PN) // (IJ)
- إذن P تنتمي إلى المستقيم المار بـ N والموازي لـ (IJ)
- بالعكس: كل نقطة P على المستقيم المار بـ N والموازي لـ (IJ)
- تحقق: (PN) // (IJ)
- إذن مسقطها على (M) وفقاً لـ (IJ) هو N
الخلاصة: (Δ) هو المستقيم المار بـ N و (Δ) // (IJ) ✓
ملاحظة: في متوازي الأضلاع OIMJ، لدينا (IJ) // (OM)
إذن (Δ) // (OM) أيضاً