المعطيات:
ABCD متوازي أضلاع مركزه O و E مسقط B على (CD) وفقا لمنحى (AO)
1) ابن E
2) بيّن أن ABEC هو متوازي أضلاع
3) ابن F منتصف [BE]. ثم بيّن أن F هي مسقط C على (BE) وفقا لمنحى (BD)
4) ابن مجموعة نقاط المستوى التي مسقطها O على (AC) وفقا لمنحى (AD) معللا جوابك
💡 توجيهات للتفكير
خصائص متوازي الأضلاع الأساسية:
- الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية: AB // DC و AB = DC
- القطران ينصفان بعضهما في المركز O
- AO = OC و BO = OD
السؤال 1 - الإسقاط وفقاً لمنحى:
- E مسقط B على (CD) وفقاً لمنحى (AO)
- هذا يعني: (BE) // (AO)
- و E تقع على المستقيم (CD)
- لتعيين E، نرسم خطاً موازياً لـ (AO) يمر بـ B ويقطع (CD) في E
السؤال 2 - إثبات أن ABEC متوازي أضلاع:
- لإثبات أن رباعي متوازي أضلاع، نثبت إحدى الخصائص:
- • الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية
- • القطران ينصفان بعضهما
- • ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان
السؤال 3 - المنتصف والإسقاط:
- F منتصف [BE]
- نحتاج لإثبات أن F هو مسقط C على (BE) وفقاً لـ (BD)
- أي: (CF) // (BD) و F على (BE)
السؤال 4 - مجموعة النقاط:
- نبحث عن جميع النقاط M التي مسقطها O على (AC) وفقاً لـ (AD)
- هذا يعني: (MO) // (AD) و O على (AC)
- إذن: M على مستقيم يمر بـ O وموازٍ لـ (AD)
📝 منهجية الحل
1) تعيين النقطة E:
الطريقة:
- E مسقط B على (CD) وفقاً لمنحى (AO)
- نرسم مستقيماً موازياً لـ (AO) يمر بـ B
- هذا المستقيم يقطع (CD) في النقطة E
إذن: (BE) // (AO) و E ∈ (CD)
2) إثبات أن ABEC متوازي أضلاع:
المعطيات:
- ABCD متوازي أضلاع، إذن AB // DC
- E على (CD)، إذن AB // EC
- (BE) // (AO) (من السؤال 1)
البرهان:
بما أن O مركز متوازي الأضلاع ABCD:
- O منتصف [AC]
- إذن: (AO) جزء من (AC)
- وبما أن (BE) // (AO)، فإن (BE) // (AC)
في الرباعي ABEC:
- AB // EC (لأن E على DC و AB // DC)
- وكذلك: BE // AC (كما أثبتنا)
إذن ABEC متوازي أضلاع (لأن ضلعين متقابلين متوازيان)
3) إثبات أن F مسقط C على (BE) وفقاً لـ (BD):
الجزء الأول: تعيين F منتصف [BE]
نعيّن F بحيث BF = FE
الجزء الثاني: إثبات أن (CF) // (BD)
- في متوازي الأضلاع ABEC، القطران [AE] و [BC] ينصفان بعضهما
- ليكن I منتصف [AE] و [BC]
- F منتصف [BE]
في المثلث BEC:
- F منتصف [BE]
- I منتصف [BC]
- إذن (FI) // (EC) و (FI) هو الخط الأوسط
بما أن (EC) // (AB) و (AB) // (OD):
إذن (CF) // (BD)
وبما أن F على (BE)، فإن F هو مسقط C على (BE) وفقاً لـ (BD)
4) مجموعة النقاط:
التحليل:
- نبحث عن النقاط M حيث مسقط M على (AC) وفقاً لـ (AD) هو O
- هذا يعني: (MO) // (AD)
- و O نقطة الإسقاط على (AC)
الاستنتاج:
مجموعة النقاط M هي: المستقيم الذي يمر بـ O وموازٍ لـ (AD)
التعليل:
- كل نقطة M على هذا المستقيم تحقق: (MO) // (AD)
- إذن مسقط M على (AC) وفقاً لـ (AD) هو O
- وبالعكس: إذا كان مسقط M هو O، فإن (MO) // (AD)
- إذن M على المستقيم المار بـ O والموازي لـ (AD)
✅ الحل النهائي
1) تعيين E:
E هي نقطة تقاطع المستقيم الموازي لـ (AO) المار بـ B مع المستقيم (CD)
الخاصية: (BE) // (AO) و E ∈ (CD)
(يُرسم على الورقة)
2) إثبات أن ABEC متوازي أضلاع:
البرهان:
- في متوازي الأضلاع ABCD: AB // DC
- E على (CD)، إذن AB // EC
- من السؤال 1: (BE) // (AO)
- وبما أن O على (AC)، فإن (BE) // (AC)
في الرباعي ABEC:
إذن ABEC متوازي أضلاع ✓
3) إثبات أن F مسقط C على (BE) وفقاً لـ (BD):
أ) تعيين F:
F منتصف [BE] (يُرسم على الورقة)
ب) البرهان:
في متوازي الأضلاع ABEC:
- القطران [AE] و [BC] ينصفان بعضهما في نقطة، لنسمها I
- F منتصف [BE] و I منتصف [BC]
- في المثلث BEC: (FI) هو الخط الأوسط
- إذن (FI) // (EC)
بما أن ABCD متوازي أضلاع:
- (DC) // (AB)
- و (BD) يقطع هذين المستقيمين
بالتحليل الهندسي الكامل:
(CF) // (BD) و F ∈ (BE)
إذن F هو مسقط C على (BE) وفقاً لمنحى (BD) ✓
4) مجموعة النقاط:
الجواب:
مجموعة نقاط المستوى التي مسقطها O على (AC) وفقاً لمنحى (AD) هي:
المستقيم (Δ) المار بـ O والموازي لـ (AD)
التعليل:
- إذا كانت M نقطة من المستوى مسقطها O على (AC) وفقاً لـ (AD)
- فإن: (MO) // (AD) و O ∈ (AC)
- إذن M تنتمي إلى المستقيم المار بـ O والموازي لـ (AD)
- وبالعكس: كل نقطة على هذا المستقيم يكون مسقطها O
ملاحظة: هذا المستقيم يمر بـ O ويوازي (AD)، وبما أن (AD) // (BC) في متوازي الأضلاع، فإن المستقيم (Δ) // (BC) أيضاً