تمرين 1: المساعدة

💡 مؤشر

تذكر القواعد الأساسية:

المسافة: $ AB = |x_B - x_A| $
المنتصف: $ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} $
بالنسبة للنقطة $ N $, انتبه لاتجاه نصف المستقيم $ [OA) $.

📝 الطريقة

لحساب $ AB $, طبق صيغة المسافة $ |x_B - x_A| $.
لحساب فاصلة $ M $, طبق صيغة المنتصف $ \frac{x_A + x_B}{2} $.
لتحديد $ x_N $, لاحظ أن $ N \in [OA) $ يعني أن $ x_N \leq x_A $. بما أن $ AN=6 $, فإن $ x_A - x_N = 6 $. حل المعادلة لإيجاد $ x_N $.

✅ الحل الكامل

2) حساب البعد $ AB $:

$ AB = |x_B - x_A| = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 $ cm.

3) إيجاد فاصلة $ M $ منتصف $ [AB] $:

$ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $.

4) إيجاد فاصلة النقطة $ N $:

لدينا $ N \in [OA) $ يعني أن $ N $ تقع على نصف المستقيم الذي يبدأ من $ O $ ويمر عبر $ A $. إذن $ x_N \leq x_A $.

بما أن $ x_A = -2 $ (سالب), فإن اتجاه $ [OA) $ هو نحو اليسار من $ O $.

لدينا $ AN = 6 $, إذن $ |x_N - x_A| = 6 $.

$ |x_N - (-2)| = 6 \implies |x_N + 2| = 6 $.

هذا يعطي حلين: $ x_N + 2 = 6 $ (أي $ x_N = 4 $) أو $ x_N + 2 = -6 $ (أي $ x_N = -8 $).

بما أن $ N \in [OA) $ و $ x_A = -2 $, فإن فاصلة $ N $ يجب أن تكون أصغر من فاصلة $ A $. الحل $ x_N = 4 $ مرفوض.

إذن، فاصلة $ N $ هي $ x_N = -8 $.

تمارين حول المستقيم المدرج

إعداد الأستاذ: دفواراتي

كود 2020

حسابات على مستقيم مدرج

تمرين 1

ليكن $\Delta$ مستقيما مدرجا بالمعين $(O; I)$ حيث $OI=1cm$.

عين النقاط $A$ و $B$ و $C$ حيث $x_A = -2$ ؛ $x_B = 5$ و $x_C = \sqrt{2}$.
احسب البعد $AB$.
أوجد فاصلة النقطة $M$ منتصف $[AB]$.
لتكن $N$ نقطة من $\Delta$ حيث $N \in [OA)$ و $AN = 6$. أوجد فاصلة النقطة $N$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر القواعد الأساسية:
- المسافة: $AB = |x_B - x_A|$
- المنتصف: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
- بالنسبة للنقطة $N$, انتبه لاتجاه نصف المستقيم $[OA)$.

📝 الطريقة

2. لحساب $AB$, طبق صيغة المسافة $|x_B - x_A|$.
3. لحساب فاصلة $M$, طبق صيغة المنتصف $\frac{x_A + x_B}{2}$.
4. لتحديد $x_N$, لاحظ أن $N \in [OA)$ يعني أن $x_N \leq x_A$. بما أن $AN=6$, فإن $x_A - x_N = 6$. حل المعادلة لإيجاد $x_N$.

✅ الحل الكامل

2) حساب البعد $AB$:
$AB = |x_B - x_A| = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7$ cm.

3) إيجاد فاصلة $M$ منتصف $[AB]$:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

4) إيجاد فاصلة النقطة $N$:
لدينا $N \in [OA)$ يعني أن $N$ تقع على نصف المستقيم الذي يبدأ من $O$ ويمر عبر $A$. إذن $x_N \le x_A$.
بما أن $x_A = -2$ (سالب), فإن اتجاه $[OA)$ هو نحو اليسار من $O$.
لدينا $AN = 6$, إذن $|x_N - x_A| = 6$.
$|x_N - (-2)| = 6 \implies |x_N + 2| = 6$.
هذا يعطي حلين: $x_N + 2 = 6$ (أي $x_N = 4$) أو $x_N + 2 = -6$ (أي $x_N = -8$).
بما أن $N \in [OA)$ و $x_A=-2$, فإن فاصلة $N$ يجب أن تكون أصغر من فاصلة $A$. الحل $x_N = 4$ مرفوض.
إذن، فاصلة $N$ هي $x_N = -8$.

عمليات على مستقيم مدرج

تمرين 2

نعتبر مستقيما $\Delta$ مدرجا بالمعين $(O; I)$ حيث $OI=1,5cm$.

عين على المستقيم $\Delta$ النقاط $A$ ، $B$ ، $C$ و $D$ التي فاصلاتها على التوالي $3$ ؛ $-2$ ؛ $\sqrt{2}$ و $-\frac{5}{2}$.
احسب البعدين $AD$ و $DI$.
لتكن $M$ منتصف $[AD]$. ارسم $M$ ثم احسب فاصلتها في المعين $(O; I)$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

انتبه! وحدة التدريج هي $1,5$ صم. لحساب البعد الحقيقي، يجب ضرب نتيجة حساب الفاصلات في $1,5$. فاصلة النقطة $I$ هي $1$.

📝 الطريقة

2. لحساب البعد $AD$, احسب أولاً $|x_D - x_A|$ ثم اضرب النتيجة في $1,5$. كرر العملية لـ $DI$ مع العلم أن $x_I = 1$.
3. لحساب فاصلة $M$, طبق صيغة المنتصف. ليس من الضروري ضربها في $1,5$ لأن السؤال يطلب الفاصلة وليس المسافة.

✅ الحل الكامل

لدينا الفاصلات: $x_A = 3$, $x_B = -2$, $x_C = \sqrt{2} $, $x_D = -\frac{5}{2} = -2.5$.

2) حساب البعدين $AD$ و $DI$:
- المسافة الجبرية: $AD_{alg} = |x_D - x_A| = |-2.5 - 3| = |-5.5| = 5.5$.
البعد الحقيقي: $AD = 5.5 \times 1.5 = 8.25$ cm.
- المسافة الجبرية: $DI_{alg} = |x_I - x_D| = |1 - (-2.5)| = |1 + 2.5| = |3.5| = 3.5$.
البعد الحقيقي: $DI = 3.5 \times 1.5 = 5.25$ cm.

3) حساب فاصلة $M$ منتصف $[AD]$:
$x_M = \frac{x_A + x_D}{2} = \frac{3 + (-2.5)}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25$.
فاصلة النقطة $M$ هي $0.25$.