المسقط هو نقطة تقاطع المستقيم المارّ بـ $M$ والموازي لـ $\delta$ مع المستقيم $\Delta$.

1. أرسم من $M$ مستقيما يوازي منحى الإسقاط $\delta$.
2. أعيّن نقطة تقاطعه مع $\Delta$.
3. هذه النقطة هي المسقط المطلوب.

المطلوب : مسقط $B$ على $(AD)$ وفق منحى $(DC)$ في متوازي الأضلاع $ABCD$.
التحرير : في متوازي الأضلاع $ABCD$ لدينا $(AB)\,/\!/\,(DC)$ ، إذن المستقيم المارّ بـ $B$ والموازي لـ $(DC)$ هو $(AB)$.
و $(AB)$ يقطع $(AD)$ في $A$.
إذن المسقط هو $A$.

كلّ نقطة تنتمي إلى مستقيم الإسقاط تكون مسقطا لنفسها.

1. أتحقّق أوّلا : هل النقطة موجودة على مستقيم الإسقاط ؟
2. إن كانت كذلك ، فالمستقيم المارّ بها والموازي للمنحى يقطع مستقيم الإسقاط فيها هي.
3. أستنتج أنّ المسقط هو النقطة نفسها.

المطلوب : مسقط $B$ على $(DB)$ وفق منحى $(AC)$.
التحرير : $B\in(DB)$ بحكم تسمية المستقيم.
المستقيم المارّ بـ $B$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(DB)$ في $B$ نفسها.
إذن المسقط هو $B$.

في معين متعامد : المسقط العمودي لـ $M(x\,;\,y)$ على $(OI)$ هو $(x\,;\,0)$ ، وعلى $(OJ)$ هو $(0\,;\,y)$.

1. أحدّد المحور المطلوب.
2. المحور $(OI)$ يحفظ الفاصلة ويُلغي الترتيب ؛ والمحور $(OJ)$ يحفظ الترتيب ويُلغي الفاصلة.
3. أكتب زوج الإحداثيّات.

المطلوب : $H$ المسقط العمودي لـ $B(-1\,;\,-3)$ على $(OI)$ ، ثمّ $AH$ حيث $A(2\,;\,0)$ و $OI=2\,\text{cm}$.
التحرير : المسقط العمودي على $(OI)$ يحفظ الفاصلة ، إذن $H(-1\,;\,0)$.
و $A$ و $H$ على $(OI)$ ، إذن $AH=\left|2-(-1)\right|\times OI=3\times 2=6\,\text{cm}$.

نقطتان لهما نفس المسقط إذا وفقط إذا كانتا على نفس المستقيم الموازي لمنحى الإسقاط.

1. أبيّن أنّ النقطتين تنتميان إلى مستقيم واحد يوازي المنحى.
2. أستنتج أنّ إسقاطهما يعطي نفس نقطة التقاطع مع مستقيم الإسقاط.

المطلوب : بيّن أنّ $B$ و $O$ لهما نفس المسقط على $(CD)$ وفق منحى $(BD)$ ، حيث $O$ مركز متوازي الأضلاع $ABCD$.
التحرير : $O$ مركز متوازي الأضلاع ، إذن $O\in(BD)$ ، وكذلك $B\in(BD)$.
النقطتان على نفس المستقيم $(BD)$ الموازي للمنحى ، و $(BD)$ يقطع $(CD)$ في $D$.
إذن لهما نفس المسقط $D$.

مستقيم يوازي $(OJ)$ : كلّ نقاطه لها نفس الفاصلة. مستقيم يوازي $(OI)$ : كلّ نقاطه لها نفس الترتيب.

1. أحدّد لكلّ مستقيم الإحداثيّة الثابتة على نقاطه.
2. نقطة التقاطع تحقّق الشرطين معا.
3. أكتب الزوج : الفاصلة أوّلا ثمّ الترتيب.

المطلوب : $(AD)$ يقطع الموازي لـ $(OI)$ المارّ من $J$ في $G$ ، حيث $A\left(\sqrt3\,;\,-2\right)$ و $D\left(\sqrt3\,;\,\dfrac32\right)$.
التحرير : $x_A=x_D=\sqrt3$ إذن كلّ نقاط $(AD)$ لها الفاصلة $\sqrt3$.
و $J(0\,;\,1)$ ، فكلّ نقاط الموازي لـ $(OI)$ المارّ بـ $J$ لها الترتيب $1$.
إذن $G\left(\sqrt3\,;\,1\right)$.

نقطتان لهما نفس الترتيب $\Longleftrightarrow$ المستقيم الذي يحملهما يوازي محور الفواصل.

1. أقارن $y_A$ و $y_B$.
2. أُعلن التساوي : « للنقطتين نفس الترتيب ».
3. أستنتج : $(AB)\,/\!/\,(OI)$.

المطلوب : $A(-3\,;\,2)$ و $B(1\,;\,2)$.
التحرير : $y_A=y_B=2$.
للنقطتين نفس الترتيب.
إذن $(AB)\,/\!/\,(OI)$.

نقطتان لهما نفس الفاصلة $\Longleftrightarrow$ المستقيم الذي يحملهما يوازي محور التراتيب.

1. أبسّط الجذور والكسور قبل المقارنة.
2. أقارن $x_A$ و $x_B$.
3. أستنتج : $(AB)\,/\!/\,(OJ)$.

المطلوب : $M\left(-\dfrac23\,;\,\sqrt3\right)$ و $N\left(-\sqrt{\dfrac49}\,;\,\sqrt5\right)$.
التحرير : $\sqrt{\dfrac49}=\dfrac{\sqrt4}{\sqrt9}=\dfrac23$ ، إذن $x_N=-\dfrac23=x_M$.
للنقطتين نفس الفاصلة.
إذن $(MN)\,/\!/\,(OJ)$.

التعامد لا يُستنتج إلّا إذا كان المعين متعامدا — تحقّق من نصّ التمرين.

1. أثبت أوّلا التوازي مع أحد المحورين (نفس الفاصلة أو نفس الترتيب).
2. أذكر صراحة أنّ المعين متعامد : $(OI)\perp(OJ)$.
3. أستنتج التعامد بالسلسلة : يوازي $(OJ)$ و $(OJ)\perp(OI)$ إذن $\perp(OI)$.

المطلوب : $A(2\,;\,3)$ و $E(2\,;\,-1)$ في معين متعامد.
التحرير : $x_A=x_E=2$ ، إذن $(EA)\,/\!/\,(OJ)$.
وبما أنّ المعين متعامد فإنّ $(OJ)\perp(OI)$.
إذن $(EA)\perp(OI)$.

مستقيمان يوازيان مستقيما ثالثا يكونان متوازيين فيما بينهما. المحور هو الوسيط.

1. أثبت أنّ $(AB)$ يوازي أحد المحورين.
2. أثبت أنّ $(CD)$ يوازي نفس المحور.
3. أستنتج التوازي بينهما.

المطلوب : $A(-4;2)$ ، $B(4;2)$ ، $C(4;-4)$ ، $D(-4;-4)$.
التحرير : $y_A=y_B=2$ إذن $(AB)\,/\!/\,(OI)$.
$y_C=y_D=-4$ إذن $(CD)\,/\!/\,(OI)$.
مستقيمان يوازيان $(OI)$.
إذن $(AB)\,/\!/\,(CD)$.

لا تحكم من الرسم : قارن الإحداثيّات بالحساب الدقيق.

1. أقارن الفواصل : متساوية ؟ فالمستقيمان يوازيان $(OJ)$.
2. وإلّا أقارن التراتيب : متساوية ؟ فهما يوازيان $(OI)$.
3. إن لم يتساوَ شيء ، فالمستقيمان متقاطعان.

المطلوب : $(BC)$ و $(OJ)$ حيث $B\left(\dfrac{14}{5}\,;\,\dfrac{13}{6}\right)$ و $C\left(2\sqrt2\,;\,\sqrt2\right)$.
التحرير : $(BC)\,/\!/\,(OJ)$ يعني $\dfrac{14}{5}=2\sqrt2$.
نرفع إلى المربّع : $\left(\dfrac{14}{5}\right)^2=\dfrac{196}{25}=7{,}84$ و $\left(2\sqrt2\right)^2=8$.
$7{,}84\ne 8$ إذن $x_B\ne x_C$.
إذن المستقيمان متقاطعان.

$K$ منتصف $[AB]$ $\Longleftrightarrow$ $x_K=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ و $y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}$.

1. أحسب $\dfrac{x_A+x_B}{2}$ ثمّ $\dfrac{y_A+y_B}{2}$.
2. أقارن النتيجة بإحداثيّات $K$.
3. أختم : « وهي بالضبط إحداثيّات $K$ ، إذن $K$ منتصف $[AB]$ ».

المطلوب : بيّن أنّ $C(0\,;\,-2)$ منتصف $[AE]$ حيث $A(-3\,;\,0)$ و $E(3\,;\,-4)$.
التحرير : $\dfrac{x_A+x_E}{2}=\dfrac{-3+3}{2}=0$
$\dfrac{y_A+y_E}{2}=\dfrac{0+(-4)}{2}=-2$
المنتصف هو $(0\,;\,-2)$ وهي إحداثيّات $C$.
إذن $C$ منتصف $[AE]$.

من $\dfrac{x_A+x_B}{2}=x_K$ نستنتج $x_B=2x_K-x_A$ ، وكذلك للترتيب.

1. أضرب إحداثيّات المنتصف في $2$.
2. أطرح إحداثيّات النقطة المعلومة.
3. أتحقّق : منتصف القطعة الجديدة يجب أن يعطي $K$.

المطلوب : $F$ حيث $B(0\,;\,2)$ منتصف $[AF]$ و $A(-3\,;\,0)$.
التحرير : $x_F=2x_B-x_A=2\times 0-(-3)=3$
$y_F=2y_B-y_A=2\times 2-0=4$
إذن $F(3\,;\,4)$.
تحقّق : $\left(\dfrac{-3+3}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\right)=(0\,;\,2)=B$ ✔

مناظرة $M(x\,;\,y)$ بالنسبة إلى $O$ هي $M'(-x\,;\,-y)$ : الإحداثيّتان تنقلبان معا.

1. أتحقّق أنّ $x_B=-x_A$ و $y_B=-y_A$.
2. أو أحسب منتصف $[AB]$ وأبيّن أنّه $O$.
3. أستنتج.

المطلوب : $A(1\,;\,2)$ و $E(-1\,;\,-2)$.
التحرير : منتصف $[AE]$ : $\left(\dfrac{1+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{2+(-2)}{2}\right)=(0\,;\,0)=O$.
إذن $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.

$(OI)$ يحفظ الفاصلة ويقلب الترتيب. $(OJ)$ يحفظ الترتيب ويقلب الفاصلة. يستوجب معينا متعامدا.

1. أبحث عن الإحداثيّة المتساوية : هي التي يحميها المحور.
2. أتحقّق أنّ الأخرى متقابلة.
3. أستنتج المحور : الفاصلة محفوظة $\to(OI)$ ، الترتيب محفوظ $\to(OJ)$.

المطلوب : $C\left(-3\,;\,\sqrt2\right)$ و $D\left(-3\,;\,-\sqrt2\right)$.
التحرير : $x_C=x_D=-3$ : نفس الفاصلة.
$y_C=\sqrt2$ و $y_D=-\sqrt2$ : ترتيبان متقابلان.
إذن $C$ و $D$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$.

$B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $K$ $\Longleftrightarrow$ $K$ منتصف $[AB]$.

1. أحسب منتصف $[AB]$.
2. أقارنه بإحداثيّات $K$.
3. أختم بالعبارة المطلوبة : « إذن $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $K$ ».

المطلوب : بيّن أنّ $L(3\,;\,-1)$ مناظرة $B(1\,;\,2)$ بالنسبة إلى $K\left(2\,;\,\dfrac12\right)$.
التحرير : $\dfrac{x_B+x_L}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2=x_K$
$\dfrac{y_B+y_L}{2}=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac12=y_K$
إذن $K$ منتصف $[BL]$.
إذن $L$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $K$.

القطران يتناصفان $\Longleftrightarrow$ الرباعي متوازي أضلاع. صالح في أيّ معين.

1. أحدّد القطرين : الحرف 1 مع الحرف 3 ، والحرف 2 مع الحرف 4.
2. أحسب منتصف القطر الأوّل.
3. أحسب منتصف القطر الثاني.
4. أقارن : نفس المنتصف $\Rightarrow$ متوازي أضلاع.

المطلوب : $A(3;1)$ ، $B(-2;3)$ ، $C(-3;-1)$ ، $D(2;-3)$.
التحرير : قطرا $ABCD$ هما $[AC]$ و $[BD]$.
منتصف $[AC]$ : $\left(\dfrac{3-3}{2}\,;\,\dfrac{1-1}{2}\right)=(0\,;\,0)$
منتصف $[BD]$ : $\left(\dfrac{-2+2}{2}\,;\,\dfrac{3-3}{2}\right)=(0\,;\,0)$
للقطرين نفس المنتصف.
إذن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$.

إذا كان $K$ منتصف القطر المعلوم ، فالرأس المجهول يُحسب بـ $D=2K-B$.

1. أحدّد القطرين وأسمّي المعلوم منهما.
2. أحسب $K$ منتصف القطر المعلوم بالكامل.
3. أستعمل $D=2K-B$ على كلّ إحداثيّة.
4. أتحقّق بحساب منتصف القطر الجديد.

المطلوب : $F$ بحيث يكون $ABFC$ متوازي أضلاع ، مع $A(-2;2)$ ، $B(3;2)$ ، $C(2;-1)$.
التحرير : في $ABFC$ القطران هما $[AF]$ و $[BC]$.
$K$ منتصف $[BC]$ : $\left(\dfrac{3+2}{2}\,;\,\dfrac{2-1}{2}\right)=\left(\dfrac52\,;\,\dfrac12\right)$
$x_F=2\times\dfrac52-(-2)=7$ و $y_F=2\times\dfrac12-2=-1$
إذن $F(7\,;\,-1)$.

مستطيل $=$ متوازي أضلاع $+$ زاوية قائمة واحدة. يستوجب معينا متعامدا.

1. أثبت أوّلا أنّه متوازي أضلاع (تناصف القطرين).
2. أختار رأسا وأدرس ضلعيه المتجاورين.
3. أبيّن أنّ أحدهما يوازي $(OI)$ والآخر يوازي $(OJ)$.
4. أستنتج الزاوية القائمة ، ثمّ المستطيل.

المطلوب : $C(5;4)$ ، $D(5;-2)$ ، $B(0;-2)$ ، $E(0;4)$.
التحرير : $x_C=x_D=5$ إذن $(CD)\,/\!/\,(OJ)$ ، و $x_B=x_E=0$ إذن $(BE)\,/\!/\,(OJ)$.
$y_D=y_B=-2$ إذن $(DB)\,/\!/\,(OI)$ ، و $y_E=y_C=4$ إذن $(EC)\,/\!/\,(OI)$.
الضلعان المتقابلان متوازيان في الحالتين : $CDBE$ متوازي أضلاع.
و $(CD)\,/\!/\,(OJ)$ و $(DB)\,/\!/\,(OI)$ و $(OI)\perp(OJ)$ : الزاوية في $D$ قائمة.
إذن $CDBE$ مستطيل.

معيّن $=$ متوازي أضلاع $+$ قطران متعامدان.

1. أثبت تناصف القطرين.
2. أبيّن أنّ أحد القطرين محمول على $(OI)$ والآخر على $(OJ)$.
3. أستنتج تعامد القطرين ، ثمّ المعيّن.

المطلوب : $A(-3;0)$ ، $B(0;-2)$ ، $C(3;0)$ ، $D(0;2)$.
التحرير : منتصف $[AC]$ هو $(0;0)=O$ ومنتصف $[BD]$ هو $(0;0)=O$ : متوازي أضلاع.
$y_A=y_C=0$ إذن $[AC]$ محمول على $(OI)$.
$x_B=x_D=0$ إذن $[BD]$ محمول على $(OJ)$.
و $(OI)\perp(OJ)$ إذن القطران متعامدان.
إذن $ABCD$ معيّن.

شبه منحرف $=$ ضلعان متقابلان متوازيان وغير متقايسين.

1. أثبت التوازي بين الضلعين المتقابلين (نفس الترتيب أو نفس الفاصلة).
2. أحسب الطولين.
3. أبيّن أنّهما مختلفان.
4. أستنتج : شبه منحرف وليس متوازي أضلاع.

المطلوب : $A\left(\sqrt2;0\right)$ ، $B\left(2\sqrt2;0\right)$ ، $F(-2;\sqrt2)$ ، $E(2;\sqrt2)$.
التحرير : $y_A=y_B=0$ إذن $(AB)\,/\!/\,(OI)$ ، و $y_F=y_E=\sqrt2$ إذن $(FE)\,/\!/\,(OI)$ ؛ ومنه $(AB)\,/\!/\,(FE)$.
$AB=\left|2\sqrt2-\sqrt2\right|=\sqrt2$ و $FE=\left|2-(-2)\right|=4$.
$\sqrt2\ne 4$.
إذن $ABFE$ شبه منحرف.

إذا كان لعدّة نقاط نفس الترتيب (أو نفس الفاصلة) فهي على مستقيم واحد يوازي محورا.

1. أقارن ترتيبات النقاط الثلاث ، ثمّ فواصلها.
2. أُعلن الإحداثيّة المشتركة.
3. أستنتج الاستقامة ، وأذكر المحور الذي يوازيه المستقيم.

المطلوب : $A(-1;3)$ ، $B(4;3)$ ، $E(0;3)$.
التحرير : $y_A=y_B=y_E=3$.
للنقاط الثلاث نفس الترتيب ، فهي تنتمي إلى مستقيم واحد يوازي $(OI)$.
إذن $A$ و $B$ و $E$ على استقامة واحدة.

إذا كانت $C$ و $E$ متناظرتين بالنسبة إلى مستقيم $\Delta$ ، فإنّ $\Delta$ هو الموسّط العمودي لـ $[CE]$ ، وكلّ نقطة منه تبعد نفس البعد عن $C$ و $E$.

1. أبيّن أنّ رأسَي القاعدة متناظران بالنسبة إلى أحد المحورين.
2. أستنتج أنّ هذا المحور هو الموسّط العمودي للقاعدة.
3. أتحقّق أنّ رأس المثلّث ينتمي إلى هذا المحور.
4. أستنتج تساوي الساقين.

المطلوب : المثلّث $JCE$ حيث $C(2;5)$ و $E(-2;5)$.
التحرير : $y_C=y_E=5$ وفاصلتاهما متقابلتان ، إذن $C$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$.
إذن $(OJ)$ هو الموسّط العمودي لـ $[CE]$.
و $J(0\,;\,1)$ تنتمي إلى $(OJ)$.
إذن $JC=JE$ والمثلّث $JCE$ متقايس الساقين رأسه $J$.

لا يُحسب إلّا إذا كانت القطعة موازية لأحد المحورين : نفس الترتيب $\Rightarrow\left|x_A-x_B\right|\times OI$ ، نفس الفاصلة $\Rightarrow\left|y_A-y_B\right|\times OJ$.

1. أبحث عن الإحداثيّة المتساوية.
2. أحسب الفرق بين الإحداثيّتين الأخريين بالقيمة المطلقة.
3. أضرب في الوحدة $OI$ أو $OJ$.

المطلوب : $A$ و $B$ على مستقيم مدرّج ، $x_A=-2$ و $x_B=5$ و $OI=1\,\text{cm}$.
التحرير : $AB=\left|x_B-x_A\right|\times OI=\left|5-(-2)\right|\times 1$
$=\left|5+2\right|=7\,\text{cm}$
إذن $AB=7\,\text{cm}$.

الإحداثيّة الثابتة تحدّد المستقيم ، ونوع التحصير يحدّد الجزء منه.

1. أنظر إلى الإحداثيّة الثابتة : تعطي المستقيم.
2. أنظر إلى التحصير : من الجهتين $\to$ قطعة · من جهة واحدة $\to$ نصف مستقيم · حرّ $\to$ مستقيم.
3. أتحقّق : متراجحة صارمة $\to$ الطرف مستبعد.
4. أُسمّي المجموعة بالنقاط المعروفة إن أمكن.

المطلوب : $M(x;y)$ حيث $y=2$ و $-3التحرير : $y=2$ هو ترتيب $A$ و $B$ معا ، إذن النقاط على $(AB)$.
و $x$ محصور بين $x_A$ و $x_B$ بمتراجحة صارمة.
إذن المجموعة هي $]AB[$ — القطعة محرومة من طرفيها.

أحدّد نوع الشكل من إحداثيّات رؤوسه ، ثمّ أطبّق صيغته. الارتفاع هو المسافة بين المستقيمين المتوازيين.

1. أرتّب الرؤوس وأبحث عن ضلعين محمولين على مستقيمين متوازيين.
2. أستنتج نوع الشكل (شبه منحرف ، مستطيل …).
3. أحسب القاعدتين والارتفاع بفروق الإحداثيّات.
4. أطبّق الصيغة.

المطلوب : مساحة $OIBA$ حيث $A(-3;2)$ و $B(1;2)$.
التحرير : $[OI]$ محمول على المستقيم ذي الترتيب $0$ و $[AB]$ على المستقيم ذي الترتيب $2$ : المستقيمان متوازيان ، فالرباعي شبه منحرف.
$OI=1$ ، $AB=\left|1-(-3)\right|=4$ ، والارتفاع $=2$.
$\mathcal{A}=\dfrac{(4+1)\times 2}{2}=5$
إذن المساحة تساوي $5$ وحدة مساحة.