تمارين المعالم والإحداثيات

التمرين الرابع والخامس الهندسة التحليلية والإحداثيات
المنتصفات والمناظرات ومركز الثقل
تمرين 4

المعطيات: ليكن $(O; I; J)$ معيناً متعامداً في المستوي حيث $OI=OJ=1\text{cm}$.

الأسئلة:

  1. أ- عيّن النقاط: $A(-2; \frac{5}{2})$، $B(2; 5)$، $C(0; \frac{15}{4})$، $D(\frac{5}{2}; \frac{5}{2})$
    ب- بيّن أن $C$ منتصف $[AB]$
  2. أ- ابنِ النقطة $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى النقطة $D$
    ب- احسب احداثيات النقطة $E$
  3. المستقيم $(OB)$ يقطع $[AD]$ في النقطة $M$
    أ- بيّن أن $M$ منتصف $[OB]$. احسب $MD$
    ب- احسب احداثيات النقطة $M$
  4. أ- احسب $AD$ و $AM$
    ب- ماذا تمثل النقطة $M$ بالنسبة للمثلث $ABE$؟
    ج- استنتج أن النقاط $E$ و $M$ و $C$ على استقامة واحدة
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مفاهيم أساسية:

  • المنتصف: للنقطتين $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$، المنتصف هو $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
  • المناظرة: إذا كانت $E$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $D$، فإن $D$ منتصف $[BE]$
  • مركز الثقل: في المثلث، مركز الثقل هو نقطة تقاطع المتوسطات
  • التقاطع: لإيجاد تقاطع مستقيمين، نحل نظام المعادلات

ملاحظة: النقاط $A$ و $D$ لهما نفس الترتيب $y = \frac{5}{2}$، إذن $(AD)$ مواز لمحور الفواصل

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) إثبات أن $C$ منتصف $[AB]$:

نحسب منتصف $[AB]$: $(\frac{-2+2}{2}, \frac{\frac{5}{2}+5}{2}) = (0, \frac{15}{4})$

هذه هي إحداثيات $C$، إذن $C$ منتصف $[AB]$

2) إحداثيات $E$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $D$:

إذا كانت $E$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $D$، فإن $D$ منتصف $[BE]$

نستخدم: $D = \frac{B + E}{2}$ لنجد إحداثيات $E$

3) إيجاد النقطة $M$:

$M$ هي تقاطع $(OB)$ مع $[AD]$

$(AD)$ مواز لمحور الفواصل بمعادلة $y = \frac{5}{2}$

$(OB)$ يمر من الأصل بميل محدد

✅ الحل الكامل

1) إثبات $C$ منتصف $[AB]$:

منتصف $[AB]$ = $(\frac{-2+2}{2}, \frac{\frac{5}{2}+5}{2}) = (0, \frac{\frac{5}{2}+\frac{10}{2}}{2}) = (0, \frac{15}{4})$

إذن $C(0; \frac{15}{4})$ هي منتصف $[AB]$ ✓

2) إحداثيات $E$:

بما أن $E$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $D$، فإن:

$D = \frac{B + E}{2}$ ← $E = 2D - B$

$E = 2(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}) - (2, 5) = (5, 5) - (2, 5) = $ (3, 0)

3) النقطة $M$:

$(AD)$ مواز لمحور الفواصل: $y = \frac{5}{2}$

$(OB)$ يمر من $O(0,0)$ و $B(2,5)$، : $y = \frac{5}{2}x$

تقاطعهما: $\frac{5}{2}x = \frac{5}{2}$ ← $x = 1$

إذن $M = $ $(1, \frac{5}{2})$

التحقق أن $M$ منتصف $[OB]$:

منتصف $[OB]$ = $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}) = (1, \frac{5}{2}) = M$ ✓

حساب $MD$:

بما أن $M(1, \frac{5}{2})$ و $D(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ على نفس المستقيم الموازي لمحور الفواصل:

$MD = |\frac{5}{2} - 1| = \frac{3}{2}$

4) الحسابات والاستنتاجات:

$AD = |\frac{5}{2} - (-2)| = \frac{9}{2}$

$AM = |1 - (-2)| = 3$

مركز ثقل المثلث $ABE$:

إحداثيات مركز الثقل = $(\frac{-2+2+3}{3}, \frac{\frac{5}{2}+5+0}{3}) = (1, \frac{5}{2}) = M$

إذن $M$ هي مركز ثقل المثلث $ABE$ ✓

الاستقامة:

بما أن $M$ مركز ثقل المثلث $ABE$، فهي تقع على كل متوسط من متوسطات المثلث

$[EC]$ هو متوسط المثلث (لأن $C$ منتصف $[AB]$)

إذن النقاط $E$، $M$، $C$ على استقامة واحدة ✓

خاصية مهمة: مركز ثقل المثلث يقسم كل متوسط بنسبة $2:1$ من القمة
المستقيمات الموازية والمضلعات المنتظمة
تمرين 5

المعطيات: وحدة قيس الطول هي السنتيمتر

$ABC$ شكل له ضلعان متساويان حيث $AB=5$ و $BC=6$، والقمة الرئيسية $A$

الأسئلة:

  1. لتكن $I$ منتصف $[BC]$. احسب $AI$ باستخدام الإحداثيات
  2. لتكن $D$ نقطة من $(IA)$ حيث $ID=6$. احسب $BD$ و $DC$ باستخدام خواص التناظر
  3. الموازي لـ $(BC)$ والمار من $A$ يقطع $(BD)$ في $J$ ويقطع $(DC)$ في $K$. بيّن أن الشكل $DJK$ له ضلعان متساويان
  4. الموازي لـ $(AC)$ والمار من $B$ يقطع $(AJ)$ في $M$ ويقطع $(AI)$ في $N$
    1. بيّن أن الرباعي $AMBC$ متوازي أضلاع
    2. بيّن أن الرباعي $ABNC$ منتظم باستخدام خواص التناظر
  5. $(NC)$ يقطع $(AJ)$ في النقطة $R$. احسب محيط ومساحة الرباعي $DMNR$ باستخدام الإحداثيات
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

إعداد نظام إحداثي:

  • ضع $I$ في الأصل $(0,0)$
  • ضع $B$ و $C$ على محور الفواصل: $B(-3,0)$ و $C(3,0)$ (لأن $BC=6$ و $I$ منتصف)
  • $A$ تقع على محور التراتيب لأن الشكل له ضلعان متساويان
  • استخدم المسافة بين النقاط لحساب إحداثيات $A$

خصائص التناظر:

  • $(AI)$ هو محور تناظر للشكل ذي الضلعين المتساويين
  • النقاط $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $(AI)$

📝 الطريقة

1) إعداد النظام الإحداثي:

نضع $I(0,0)$، $B(-3,0)$، $C(3,0)$

بما أن $AB = AC = 5$، فإن $A$ تقع على محور التراتيب

لنجد $A(0,h)$ حيث $h > 0$

2) حساب إحداثيات $A$:

المسافة $AB = \sqrt{(0-(-3))^2 + (h-0)^2} = \sqrt{9 + h^2} = 5$

$9 + h^2 = 25$ ← $h^2 = 16$ ← $h = 4$

إذن $A(0,4)$

3) استخدام التناظر:

$(AI)$ هو محور التناظر، إذن $BD = CD$ للنقطة $D$ على $(AI)$

إذا كانت $D(0,d)$، فإن المسافات متساوية بالتناظر

✅ الحل الكامل

النظام الإحداثي:

$I(0,0)$، $B(-3,0)$، $C(3,0)$، $A(0,4)$

1) حساب $AI$:

$AI = |4 - 0| = 4$ سم

2) النقطة $D$ والمسافات:

بما أن $D$ على $(AI)$ و $ID = 6$، فإن $D(0,6)$ أو $D(0,-6)$

نأخذ $D(0,6)$ (فوق $A$)

$BD = \sqrt{(0-(-3))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$CD = \sqrt{(0-3)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{9+36} = 3\sqrt{5}$

إذن $BD = CD$ (بسبب التناظر حول محور التراتيب)

3) الشكل $DJK$:

المستقيم الموازي لـ $(BC)$ والمار من $A$ $y = 4$

بسبب التناظر حول $(AI)$، إذا كان $J$ على $(BD)$ و $K$ على $(DC)$

فإن $DJ = DK$ (التناظر يحفظ المسافات)

إذن الشكل $DJK$ له ضلعان متساويان

4) الرباعيات:

أ) المستقيم الموازي لـ $(AC)$ من $B$ يوازي $AC$

$(AM)$ يوازي $(BC)$ (من المعطيات)

إذن $AMBC$ متوازي أضلاع

ب) بما أن $(AI)$ محور تناظر و $N$ على $(AI)$:

$AB = AC = 5$ و $NB = NC$ (بالتناظر)

إذن $ABNC$ شكل منتظم (جميع الأضلاع متساوية)

5) الرباعي $DMNR$:

باستخدام الإحداثيات المحددة:

$D(0,6)$، $M$ و $N$ و $R$ تُحسب من تقاطعات المستقيمات

نحسب إحداثيات كل نقطة ثم نطبق قوانين المحيط والمساحة

النتيجة التقريبية:

المحيط ≈ $20 + 4\sqrt{10}$ سم

المساحة ≈ $60$ سم²

ملاحظة: هذا التمرين يظهر أهمية استخدام نظام إحداثي مناسب وخصائص التناظر في حل المسائل الهندسية