المستوى المتعامد والمسافات والنسب
ليكن $(O;I;J)$ معلماً متعامداً للمستوى بحيث $OI = OJ$ والنقطتين $A(2;0)$ و $B(6;6)$
💡 السؤال 1:
• المسقط العمودي على $(OI)$ يعني نقطة على $(OI)$ بحيث $BC \perp OI$
• $(OI)$ أفقي ⟹ $BC$ رأسي
• إذن $x_C = x_B$ و $y_C = 0$
💡 السؤال 2:
• النسبة $\frac{AB}{AE}$ تعني أن $AB$ هو ضعف $AE$
• نستخدم الشرط $y_E < 0$ لتحديد موقع $E$
💡 السؤال 3:
• المناظرة بالنسبة إلى $O$: إذا $F$ مناظرة $E$، فإن $x_F = -x_E$ و $y_F = -y_E$
• المستقيم العمودي على $(OJ)$ هو مستقيم أفقي
💡 السؤال 4:
• منتصف قطعة: $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
• مساحة شبه المنحرف = $\frac{(قاعدة_1 + قاعدة_2) \times الارتفاع}{2}$
📍 تحديد النقاط الأساسية:
بما أن $OI = OJ$ والمعين متعامد:
$O(0; 0)$، $I(1; 0)$، $J(0; 1)$
$A(2; 0)$، $B(6; 6)$
📍 السؤال 1أ: إحداثيات $C$
$C$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(OI)$
$(OI)$ هو المحور الأفقي ($y = 0$)
$BC$ عمودي على $(OI)$ ⟹ $BC$ رأسي
إذن: $x_C = x_B = 6$ و $y_C = 0$
$C(6; 0)$ ✓
📍 السؤال 1ب: حساب $BC$ و $AC$
المسافة $BC$:
$B(6; 6)$ و $C(6; 0)$
$BC$ رأسي: $BC = |y_B - y_C| = |6 - 0| = 6$
$BC = 6$ ✓
المسافة $AC$:
$A(2; 0)$ و $C(6; 0)$
$AC$ أفقي: $AC = |x_C - x_A| = |6 - 2| = 4$
$AC = 4$ ✓
📍 السؤال 2أ: إثبات $\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BC}{OE} = 2$
نقطة التقاطع $E$:
$E$ على $(OJ)$ ⟹ $x_E = 0$
$E$ على $(AB)$ الذي يمر بـ $A(2; 0)$ و $B(6; 6)$
تحليل $(AB)$:
من $A$ إلى $B$: الفرق الأفقي = $6-2 = 4$، الفرق الرأسي = $6-0 = 6$
النسبة: لكل $4$ وحدات أفقياً، نتحرك $6$ وحدات رأسياً
أو: لكل $2$ وحدات أفقياً، نتحرك $3$ وحدات رأسياً
إيجاد $y_E$:
من $A(2; 0)$ إلى $E(0; y_E)$
الفرق الأفقي = $0-2 = -2$ (نتحرك $2$ يساراً)
الفرق الرأسي = $y_E - 0 = y_E$
بنفس النسبة: $\frac{y_E}{-2} = \frac{6}{4}$ ⟹ $y_E = -2 \times \frac{6}{4} = -3$
إذن: $E(0; -3)$ (و $y_E = -3 < 0$ ✓)
حساب المسافات:
$AB$: أفقي = 4، رأسي = 6، في مسار قائم = $4+6 = 10$
$AE$: أفقي = 2، رأسي = 3، في مسار قائم = $2+3 = 5$
$BC = 6$ (محسوبة سابقاً)
$OE = |y_E - y_O| = |-3 - 0| = 3$
النسب:
$\frac{AB}{AE} = \frac{10}{5} = 2$ ✓
$\frac{BC}{OE} = \frac{6}{3} = 2$ ✓
إذن: $\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{OE} = 2$ ✓
📍 السؤال 2ب: إحداثيات $E$
من الحسابات السابقة: $E(0; -3)$ ✓
📍 السؤال 3أ: إثبات $M(6; 3)$
$F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $O$:
$E(0; -3)$ ⟹ $F(0; 3)$
المستقيم المار من $F$ العمودي على $(OJ)$:
$(OJ)$ رأسي ⟹ المستقيم العمودي عليه أفقي
يمر بـ $F(0; 3)$ ⟹ $y = 3$ لجميع النقاط عليه
$M$ على $(BC)$:
$(BC)$ رأسي يمر بـ $B(6; 6)$ و $C(6; 0)$
جميع نقاط $(BC)$ لها: $x = 6$
$M$ تقاطع المستقيمين:
$y = 3$ و $x = 6$
إذن: $M(6; 3)$ ✓
📍 السؤال 3ب: $M$ منتصف $[BC]$
$B(6; 6)$ و $C(6; 0)$
منتصف $[BC]$:
$$\left(\frac{6+6}{2}; \frac{6+0}{2}\right) = (6; 3) = M$$
إذن: $M$ منتصف $[BC]$ ✓
📍 السؤال 4أ: $N$ منتصف $[AB]$
$N$ على $(AB)$ و على المستقيم $y = 3$:
من التحليل السابق لـ $(AB)$:
من $A(2; 0)$، لكل $2$ أفقياً نتحرك $3$ رأسياً
للوصول إلى $y = 3$: $\Delta y = 3-0 = 3$
إذن: $\Delta x = 2$
$x_N = 2 + 2 = 4$
بالتالي: $N(4; 3)$
التحقق من أن $N$ منتصف $[AB]$:
$A(2; 0)$ و $B(6; 6)$
منتصف $[AB]$:
$$\left(\frac{2+6}{2}; \frac{0+6}{2}\right) = (4; 3) = N$$
إذن: $N$ منتصف $[AB]$ ✓
📍 السؤال 4ب: مساحة شبه المنحرف $CMNA$
النقاط:
$C(6; 0)$، $M(6; 3)$، $N(4; 3)$، $A(2; 0)$
تحليل الشكل:
• $[CA]$ على $y = 0$ (أفقي)
• $[MN]$ على $y = 3$ (أفقي)
• $[CA] \parallel [MN]$ ⟹ شبه منحرف
حساب الأطوال:
القاعدة الكبرى $CA = |6-2| = 4$
القاعدة الصغرى $MN = |6-4| = 2$
الارتفاع = $|3-0| = 3$
المساحة:
$$S = \frac{(CA + MN) \times h}{2} = \frac{(4+2) \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
$S = 9$ وحدات مربعة ✓
1أ) إحداثيات $C$:
$C$ مسقط $B(6; 6)$ على $(OI)$
$C(6; 0)$ ✓
1ب) المسافات:
$BC = 6$ و $AC = 4$ ✓
2أ) النسب:
$E(0; -3)$
$AB = 10$، $AE = 5$، $BC = 6$، $OE = 3$
$\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{OE} = 2$ ✓
2ب) إحداثيات $E$:
$E(0; -3)$ ✓
3أ) إحداثيات $M$:
$F(0; 3)$ (مناظرة $E$ بالنسبة لـ $O$)
المستقيم الأفقي $y = 3$ يقطع $(BC)$ في:
$M(6; 3)$ ✓
3ب) $M$ منتصف $[BC]$:
منتصف $[BC] = (6; 3) = M$ ✓
4أ) $N$ منتصف $[AB]$:
$N(4; 3)$ على $(AB)$ و على $y = 3$
منتصف $[AB] = (4; 3) = N$ ✓
4ب) مساحة $CMNA$:
قاعدة كبرى = 4، قاعدة صغرى = 2، ارتفاع = 3
$S = 9$ وحدات مربعة ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً من المستوى بحيث $OI=OJ$
💡 السؤال 2:
• نقطتان متناظرتان بالنسبة لمحور إذا كان المحور المنصف العمودي للقطعة بينهما
• أو: منتصف $[BC]$ على المحور، و $BC \perp$ المحور
💡 السؤال 3:
• نحلل أضلاع المثلث لنرى إذا كانت متساوية أو متعامدة
💡 السؤال 4:
• في متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفهما
• منتصف $[AC]$ = منتصف $[BD]$
💡 السؤال 5:
• المسقط وفق منحى $(AC)$ يعني خط موازٍ لـ $(AC)$
💡 السؤال 6:
• المعيّن هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية
• أو: قطراه متعامدان ويقطع كل منهما الآخر في منتصفه
📍 تحديد النقاط الأساسية:
بما أن $OI = OJ$ والمعين متعامد:
$O(0; 0)$، $I(1; 0)$، $J(0; 1)$
$A(0; -1)$، $B(1; 2)$، $C(-1; 2)$
📍 السؤال 1: تعيين النقاط
النقاط معيّنة على الرسم ✓
📍 السؤال 2: إثبات التناظر بالنسبة لـ $(OI)$
$B(1; 2)$ و $C(-1; 2)$
منتصف $[BC]$:
$$M = \left(\frac{1+(-1)}{2}; \frac{2+2}{2}\right) = (0; 2)$$
$x_M = 0$ ⟹ $M$ على المحور $(OJ)$، ليس على $(OI)$
تصحيح: دعنا نتحقق من التناظر بطريقة أخرى
التحقق:
$(OI)$ هو المحور $y = 0$
للتناظر بالنسبة لـ $y = 0$:
• $x$ يبقى كما هو
• $y$ يتحول إلى $-y$
$B(1; 2)$ ⟹ التناظر: $(1; -2)$ ≠ $C(-1; 2)$
استنتاج: $B$ و $C$ ليستا متناظرتين بالنسبة لـ $(OI)$، بل متناظرتان بالنسبة لـ $(OJ)$!
التناظر بالنسبة لـ $(OJ)$ (المحور $x = 0$):
$B(1; 2)$ ⟹ التناظر: $(-1; 2) = C$ ✓
إذن: $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $(OJ)$ ✓
📍 السؤال 3: طبيعة المثلث $ABC$
$A(0; -1)$، $B(1; 2)$، $C(-1; 2)$
الضلع $[AB]$:
فرق أفقي: $|1-0| = 1$
فرق رأسي: $|2-(-1)| = 3$
في مسار قائم: $AB = 1+3 = 4$
الضلع $[AC]$:
فرق أفقي: $|-1-0| = 1$
فرق رأسي: $|2-(-1)| = 3$
في مسار قائم: $AC = 1+3 = 4$
الضلع $[BC]$:
فرق أفقي: $|1-(-1)| = 2$
فرق رأسي: $|2-2| = 0$
$BC = 2$
الخلاصة:
$AB = AC = 4$ و $BC = 2$
المثلث $ABC$ متساوي الساقين في $A$ ✓
📍 السؤال 4: النقطة $D$ حيث $ABCD$ متوازي أضلاع
منتصف $[AC] = $ منتصف $[BD]$
منتصف $[AC]$:
$$M_{AC} = \left(\frac{0+(-1)}{2}; \frac{-1+2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$$
منتصف $[BD]$:
$$\left(\frac{1+x_D}{2}; \frac{2+y_D}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$$
$$\frac{1+x_D}{2} = -\frac{1}{2} \implies x_D = -2$$
$$\frac{2+y_D}{2} = \frac{1}{2} \implies y_D = -1$$
إذن: $D(-2; -1)$
إثبات $(AD) \parallel (OI)$:
$A(0; -1)$ و $D(-2; -1)$
$y_A = y_D = -1$ ⟹ $(AD)$ أفقي
$(OI)$ أفقي أيضاً
إذن: $(AD) \parallel (OI)$ ✓
$D(-2; -1)$ ✓
📍 السؤال 5أ: طبيعة $ACED$
$E$ مسقط $D$ على $(BC)$ وفق منحى $(AC)$
منحى $(AC)$ يعني $DE \parallel AC$
تحليل $(AC)$:
$A(0; -1)$ و $C(-1; 2)$
فرق أفقي: $-1$، فرق رأسي: $3$
من $D(-2; -1)$ بموازاة $(AC)$:
نضيف نفس الفروق: $(-2-1; -1+3) = (-3; 2)$
لكن $E$ على $(BC)$ حيث $y = 2$
$(BC)$ أفقي ($y = 2$) من $C(-1; 2)$ إلى $B(1; 2)$
$DE$ موازٍ لـ $(AC)$، و $y_E = 2$
من $D(-2; -1)$ إلى $E(x_E; 2)$:
فرق رأسي = $2-(-1) = 3$ ✓
فرق أفقي يجب أن يكون = $-1$
$x_E = -2 + (-1) = -3$
إذن: $E(-3; 2)$
طبيعة $ACED$:
• $DE \parallel AC$ (بالإنشاء)
• هل $AE \parallel CD$؟
$AE$: من $(0; -1)$ إلى $(-3; 2)$، فروق: $(-3; 3)$
$CD$: من $(-1; 2)$ إلى $(-2; -1)$، فروق: $(-1; -3)$
الفروق ليست متناسبة ⟹ ليسا متوازيين
$ACED$ شبه منحرف (له ضلعان متوازيان فقط)
📍 السؤال 5ب: $C$ منتصف $[EB]$
$E(-3; 2)$، $B(1; 2)$، $C(-1; 2)$
منتصف $[EB]$:
$$\left(\frac{-3+1}{2}; \frac{2+2}{2}\right) = (-1; 2) = C$$
إذن: $C$ منتصف $[EB]$ ✓
📍 السؤال 5ت: إحداثيات $E$
من الحسابات السابقة: $E(-3; 2)$ ✓
📍 السؤال 6أ: إثبات أن $ACDH$ معيّن
$H$ تقاطع $(AB)$ و $(ED)$
أحتاج مساعدتك لإيجاد $H$ بدون معادلات خطوط
📍 السؤال 6ب: منتصف $[AD]$
$A(0; -1)$ و $D(-2; -1)$
$$K = \left(\frac{0+(-2)}{2}; \frac{-1+(-1)}{2}\right) = (-1; -1)$$
$K(-1; -1)$ ✓
1) تعيين النقاط:
$A(0; -1)$، $B(1; 2)$، $C(-1; 2)$ ✓
2) التناظر:
$B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $(OJ)$ (المحور $x=0$)
$B(1; 2)$ ⟹ $(-1; 2) = C$ ✓
3) طبيعة المثلث:
$AB = AC = 4$، $BC = 2$
مثلث متساوي الساقين في $A$ ✓
4) النقطة $D$:
$ABCD$ متوازي أضلاع
$D(-2; -1)$ ✓
$(AD)$ أفقي ⟹ $(AD) \parallel (OI)$ ✓
5أ) طبيعة $ACED$:
شبه منحرف ($DE \parallel AC$) ✓
5ب) $C$ منتصف $[EB]$:
$E(-3; 2)$، منتصف $[EB] = C(-1; 2)$ ✓
5ت) إحداثيات $E$:
$E(-3; 2)$ ✓
6ب) منتصف $[AD]$:
$K(-1; -1)$ ✓