التمرين 5 والتمرين 6
ليكن $(O;I;J)$ معلماً متعامداً للمستوى بحيث $OJ = OI$ والنقطتين $B(4;5)$ و $D(2;3)$
💡 الفكرة الأساسية:
• مستقيم موازٍ لـ $(OI)$ معناه مستقيم أفقي (جميع نقاطه لها نفس الإرتفاع $y$)
• نقطة على $(OJ)$ معناها نقطة أفصولها $x = 0$
• المسافة بين نقطتين على نفس المستقيم الأفقي = فرق الأفاصيل
💡 للسؤال 2:
• بما أن $OI = OJ$ والمعين متعامد، إذن $I(1;0)$ و $J(0;1)$
• المستقيم $(IJ)$ يربط بين هاتين النقطتين
• المستقيم $(AB)$ موازٍ لـ $(OI)$ ويمر بـ $E$
💡 للسؤال 3:
• المسافة $AJ$ تُحسب باستخدام فروق الإحداثيات
💡 للسؤال 5:
• في متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفهما المشترك
💡 للسؤال 6:
• المسقط وفق منحى $(OI)$ يعني خط أفقي من $B$ إلى $(FJ)$
📍 السؤال 1أ: تحديد إحداثيات $E$
المعطيات: $B(4; 5)$
الخطوة 1: المستقيم المار من $B$ موازٍ لـ $(OI)$
$(OI)$ مستقيم أفقي ⟹ المستقيم الموازي له أيضاً أفقي
جميع نقاط هذا المستقيم لها: $y = y_B = 5$
الخطوة 2: $E$ موجودة على $(OJ)$
$(OJ)$ هو المحور الرأسي ⟹ جميع نقاطه لها: $x = 0$
الخلاصة:
$E(0; 5)$ ✓
📍 السؤال 1ب: حساب $BE$
$B(4; 5)$ و $E(0; 5)$
النقطتان على نفس الخط الأفقي ($y_B = y_E = 5$)
$$BE = |x_B - x_E| = |4 - 0| = 4$$
إذن: $BE = 4$ ✓
📍 السؤال 2أ: إثبات $AE = 4$
تحديد النقاط $I$ و $J$:
بما أن $OI = OJ$ والمعين متعامد:
$I(1; 0)$ و $J(0; 1)$
المستقيم $(IJ)$:
يمر بـ $I(1; 0)$ و $J(0; 1)$
خاصية هذا المستقيم في معين متعامد متساوي: $x + y = 1$
المستقيم $(AB)$:
موازٍ لـ $(OI)$ ويمر بـ $E(0; 5)$
إذن: $y = 5$ لجميع النقاط على $(AB)$
نقطة التقاطع $A$:
على $(IJ)$: $x + y = 1$
على $(AB)$: $y = 5$
إذن: $x + 5 = 1$ ⟹ $x = -4$
بالتالي: $A(-4; 5)$
حساب $AE$:
$$AE = |x_E - x_A| = |0 - (-4)| = 4$$
إذن: $AE = 4$ ✓
📍 السؤال 2ب: إحداثيات $A$
من الحسابات السابقة: $A(-4; 5)$
التحقق: $x_A = -4 < 0$ ✓
الجواب: $A(-4; 5)$
📍 السؤال 3: حساب $AJ$
$A(-4; 5)$ و $J(0; 1)$
الفرق الأفقي: $|x_J - x_A| = |0 - (-4)| = 4$
الفرق الرأسي: $|y_A - y_J| = |5 - 1| = 4$
بدون استخدام فيثاغورس، نحسب المسافة في مسار قائم الزاوية:
من $A$ نتحرك $4$ وحدات أفقياً إلى $(-4+4; 5) = (0; 5)$
ثم $4$ وحدات رأسياً إلى $(0; 5-4) = (0; 1) = J$
المسافة الكلية في مسار قائم = $4 + 4 = 8$
$AJ$ = 8 وحدات في مسار قائم
ملاحظة: إذا كان المطلوب المسافة المباشرة، فهي تحتاج لفيثاغورس
📍 السؤال 5: تحديد $F$ حيث $AJFB$ متوازي أضلاع
خاصية متوازي الأضلاع:
القطران $[AB]$ و $[JF]$ يتقاطعان في منتصفهما المشترك
منتصف $[AB]$:
$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
$$M = \left(\frac{-4 + 4}{2}; \frac{5 + 5}{2}\right) = (0; 5)$$
منتصف $[JF]$ يجب أن يساوي $M$:
$$\left(\frac{x_J + x_F}{2}; \frac{y_J + y_F}{2}\right) = (0; 5)$$
$$\frac{0 + x_F}{2} = 0 \implies x_F = 0$$
$$\frac{1 + y_F}{2} = 5 \implies 1 + y_F = 10 \implies y_F = 9$$
إذن: $F(0; 9)$ ✓
📍 السؤال 6أ: حساب $JH$
فهم المسقط:
$H$ مسقط $B$ على $(FJ)$ وفق منحى $(OI)$
منحى $(OI)$ أفقي ⟹ $BH$ أفقي
إذن: $y_H = y_B = 5$
موقع $H$:
$H$ على المستقيم $(FJ)$
$F(0; 9)$ و $J(0; 1)$ ⟹ $(FJ)$ هو المحور الرأسي
إذن: $x_H = 0$
بالتالي: $H(0; 5)$
حساب $JH$:
$$JH = |y_H - y_J| = |5 - 1| = 4$$
إذن: $JH = 4$ ✓
📍 السؤال 6ب: إحداثيات $H$
من الحسابات السابقة: $H(0; 5)$
ملاحظة مهمة: $H = E$ !
📍 السؤال 6ت: حساب $\dfrac{S_{BHJ}}{S_{BHE}}$
ملاحظة حاسمة: $H = E(0; 5)$
حساب $S_{BHE}$:
النقاط: $B(4; 5)$، $H(0; 5)$، $E(0; 5)$
لاحظ أن $H = E$ و $B$، $H$، $E$ كلها على نفس الخط الأفقي $y = 5$
إذن هذه ثلاث نقاط على استقامة واحدة
$$S_{BHE} = 0$$
حساب $S_{BHJ}$:
النقاط: $B(4; 5)$، $H(0; 5)$، $J(0; 1)$
القاعدة $[BH]$: أفقية، طولها = $4$
الارتفاع من $J$ إلى $[BH]$: $|5 - 1| = 4$
$$S_{BHJ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$
النسبة:
$$\frac{S_{BHJ}}{S_{BHE}} = \frac{8}{0}$$
تنبيه: النسبة غير معرّفة لأن المقام = 0
1أ) إحداثيات $E$:
$E(0; 5)$
1ب) المسافة $BE$:
$BE = 4$
2أ) إثبات $AE = 4$:
$I(1; 0)$، $J(0; 1)$
المستقيم $(IJ)$: $x + y = 1$
المستقيم $(AB)$: $y = 5$
التقاطع: $x = -4$ ⟹ $A(-4; 5)$
$AE = |0-(-4)| = 4$ ✓
2ب) إحداثيات $A$:
$A(-4; 5)$ (حيث $x_A = -4 < 0$ ✓)
3) المسافة $AJ$:
المسافة في مسار قائم الزاوية:
$AJ = 8$ وحدات (مسار أفقي + رأسي)
5) إحداثيات $F$:
منتصف $[AB] = (0; 5)$
منتصف $[JF] = (0; 5)$
$F(0; 9)$ ✓
6أ) المسافة $JH$:
$H(0; 5)$ (على $(FJ)$ مع $y_H = y_B$)
$JH = 4$ ✓
6ب) إحداثيات $H$:
$H(0; 5)$ (نلاحظ أن $H = E$)
6ت) النسبة:
$S_{BHJ} = 8$
$S_{BHE} = 0$ (نقاط مستقيمية)
النسبة غير معرّفة
$(O,I,J)$ معيّناً في المستوى بحيث $OI=1cm$ و $OJ=2cm$ و $(IO)$ و $(IJ)$ متعامدان و $IJ=2cm$
💡 الفكرة الأساسية:
• المعلم ليس متساوياً: $OI = 1cm$ و $OJ = 2cm$
• لكنه متعامد: المحوران متعامدان
💡 للسؤال 2:
• مستقيمان متوازيان لهما نفس "الإتجاه"
• $(OI)$ أفقي
• نحتاج أن نتحقق من أن $(AJ)$ أفقي أيضاً
💡 للسؤال 3:
• إذا كان $IA = IB$ ، فـ $I$ متساوية البعد عن $A$ و $B$
• المناظرة بالنسبة إلى $J$: $J$ منتصف $[AB]$
💡 للسؤال 4:
• المسقط العمودي على $(OI)$ يعطي نقطة على $(OI)$ بحيث $AC \perp OI$
• $(OI)$ أفقي ⟹ $AC$ رأسي
💡 للسؤال 5:
• $x = 2$: خط رأسي
• $y \leq 1$: منطقة تحت الخط $y = 1$
📍 تحديد النقاط الأساسية:
$O(0; 0)$ - نقطة الأصل
$I(1; 0)$ - على بعد $1cm$ من $O$ على المحور الأفقي
$J(0; 2)$ - على بعد $2cm$ من $O$ على المحور الرأسي
📍 السؤال 1: تعيين $A(-2; 1)$
النقطة $A$ لها:
• الأفصول: $-2$ (وحدتان يساراً من $O$)
• الإرتفاع: $1$ (وحدة واحدة للأعلى من $O$)
$A(-2; 1)$ معيّنة على الرسم ✓
📍 السؤال 2: إثبات $(AJ) \parallel (OI)$
$A(-2; 1)$ و $J(0; 2)$
تحليل:
• $(OI)$ هو المحور الأفقي
• لكي يكون $(AJ)$ موازياً لـ $(OI)$، يجب أن يكون أفقياً
• أي: $y_A = y_J$
التحقق:
$y_A = 1$ و $y_J = 2$
إذن: $y_A \neq y_J$
استنتاج: $(AJ)$ ليس موازياً لـ $(OI)$ حسب هذه المعطيات!
تصحيح محتمل: ربما السؤال يقصد أن نثبت خاصية أخرى، أو أن هناك خطأ في نقل المعطيات
📍 السؤال 3أ: تحديد $B$ بحيث $IA = IB$ و $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$
إذا كانت $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$:
$J$ منتصف $[AB]$
$$\frac{x_A + x_B}{2} = x_J$$
$$\frac{-2 + x_B}{2} = 0 \implies x_B = 2$$
$$\frac{y_A + y_B}{2} = y_J$$
$$\frac{1 + y_B}{2} = 2 \implies y_B = 3$$
إذن: $B(2; 3)$
التحقق من $IA = IB$:
$I(1; 0)$، $A(-2; 1)$، $B(2; 3)$
المسافة $IA$:
فرق أفقي: $|1-(-2)| = 3$
فرق رأسي: $|0-1| = 1$
مسافة في مسار قائم: $3 + 1 = 4$
المسافة $IB$:
فرق أفقي: $|1-2| = 1$
فرق رأسي: $|0-3| = 3$
مسافة في مسار قائم: $1 + 3 = 4$
إذن: $IA = IB = 4$ ✓
📍 السؤال 3ب: إحداثيات $B$
$B(2; 3)$ ✓
📍 السؤال 4أ: طبيعة الرباعي $AJIC$
$C$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$
$(OI)$ أفقي ⟹ $AC$ رأسي
إذن: $x_C = x_A = -2$ و $y_C = 0$
بالتالي: $C(-2; 0)$
النقاط:
• $A(-2; 1)$
• $J(0; 2)$
• $I(1; 0)$
• $C(-2; 0)$
تحليل الأضلاع:
• $[AC]$: من $(-2; 1)$ إلى $(-2; 0)$ - رأسي، طوله = $1$
• $[CI]$: من $(-2; 0)$ إلى $(1; 0)$ - أفقي، طوله = $3$
• $[AC] \perp [CI]$ (زاوية قائمة في $C$)
الخلاصة:
الرباعي $AJIC$ هو شبه منحرف قائم
(له ضلع رأسي وضلع أفقي متعامدان)
📍 السؤال 4ب: إحداثيات $C$
$C(-2; 0)$ ✓
📍 السؤال 5: مجموعة النقاط بحيث $x = 2$ و $y \leq 1$
الشرط الأول: $x = 2$
مجموعة جميع النقاط على المستقيم الرأسي الذي يمر بـ $x = 2$
الشرط الثاني: $y \leq 1$
مجموعة جميع النقاط التي إرتفاعها أقل من أو يساوي $1$
الجمع بين الشرطين:
نصف المستقيم: $\{(2; y) : y \leq 1\}$
أي: المستقيم الرأسي $x = 2$ من النقطة $(2; 1)$ ونزولاً
المعطيات الأساسية:
$O(0; 0)$، $I(1; 0)$، $J(0; 2)$
1) تعيين النقطة $A$:
$A(-2; 1)$ معيّنة على الرسم ✓
2) إثبات $(AJ) \parallel (OI)$:
$y_A = 1$ و $y_J = 2$
⚠️ حسب الإحداثيات، $(AJ)$ ليس موازياً لـ $(OI)$
3أ) النقطة $B$:
$B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$:
$x_B = 2$، $y_B = 3$
$IA = IB = 4$ ✓
3ب) إحداثيات $B$:
$B(2; 3)$ ✓
4أ) طبيعة $AJIC$:
$C(-2; 0)$ (مسقط $A$ على $(OI)$)
شبه منحرف قائم
4ب) إحداثيات $C$:
$C(-2; 0)$ ✓
5) مجموعة النقاط:
نصف المستقيم الرأسي: $\{(2; y) : y \leq 1\}$
المستقيم $x = 2$ من $(2; 1)$ ونزولاً