🔷 تمارين الهندسة 🔷

الخطوة 1: المستقيم المار من $B$ موازي لـ $(OI)$ أي أفقي

إذن: $y_E = y_B = 5$

الخطوة 2: $E$ موجودة على $(OJ)$ أي محور الإحداثيات الثانية

إذن: $x_E = 0$

النتيجة: $E(0; 5)$

لدينا $B(4; 5)$ و $E(0; 5)$

بما أن $y_B = y_E$، المسافة أفقية:

$$BE = |x_B - x_E| = |4 - 0| = 4$$

إذن: $BE = 4$

معطيات: $OI = OJ$ و $(O;I;J)$ متعامد

إذن: $I(1; 0)$ و $J(0; 1)$

المستقيم $(IJ)$ يمر بـ $I$ و $J$

المستقيم $(AB)$ موازي لـ $(OI)$ ويمر بـ $E(0; 5)$

إذن جميع نقاط $(AB)$ لها إحداثية ثانية = 5

تقاطع $(IJ)$ و $(AB)$:

المستقيم $(IJ)$: بما أن المعين متعامد متساوي، فإن المستقيم $(IJ)$ له خاصية: $x + y = 1$

على المستقيم $(AB)$: $y = 5$

إذن: $x + 5 = 1$ ⟹ $x = -4$

بالتالي: $A(-4; 5)$

المسافة: $AE = |x_E - x_A| = |0 - (-4)| = 4$

إذن: $AE = 4$ ✓

من السؤال السابق: $A(-4; 5)$

والشرط $x_A < 0$ محقق: $-4 < 0$ ✓

النتيجة: $A(-4; 5)$

لدينا $A(-4; 5)$ و $J(0; 1)$

نحسب الفرق بين الإحداثيات:

• فرق الأفاصيل: $|x_A - x_J| = |-4 - 0| = 4$

• فرق الإرتفاعات: $|y_A - y_J| = |5 - 1| = 4$

بما أننا لا نستخدم فيثاغورس، نلاحظ أن $A$ و $J$ يشكلان مع النقطة $(-4; 1)$ مثلثاً قائماً

المسافة: $AJ$ = المسافة الرأسية + الأفقية في مسار متعامد

لكن للحصول على المسافة المباشرة، نلاحظ: $AJ = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

ملاحظة: إذا كان ممنوعاً استخدام فيثاغورس تماماً، يمكن القول: المسافة الأفقية = 4 والرأسية = 4، والمسافة الكلية في مسار قائم الزاوية

خاصية متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفهما

القطران هما $[AB]$ و $[JF]$

منتصف $[AB]$:

$$M_{AB} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-4 + 4}{2}; \frac{5 + 5}{2}\right) = (0; 5)$$

منتصف $[JF]$ يجب أن يساوي $M_{AB}$:

$$M_{JF} = \left(\frac{x_J + x_F}{2}; \frac{y_J + y_F}{2}\right) = (0; 5)$$

إذن: $\frac{0 + x_F}{2} = 0$ ⟹ $x_F = 0$

و: $\frac{1 + y_F}{2} = 5$ ⟹ $1 + y_F = 10$ ⟹ $y_F = 9$

النتيجة: $F(0; 9)$

$H$ مسقط $B$ على $(FJ)$ وفق منحى $(OI)$

إذن $BH$ موازي لـ $(OI)$ أي أفقي

بالتالي: $y_H = y_B = 5$

$H$ موجودة على $(FJ)$ حيث $F(0; 9)$ و $J(0; 1)$

المستقيم $(FJ)$ هو محور $(OJ)$ أي $x = 0$

إذن: $x_H = 0$

بالتالي: $H(0; 5)$

المسافة: $JH = |y_H - y_J| = |5 - 1| = 4$

إذن: $JH = 4$

من الحسابات السابقة:

$H(0; 5)$

ملاحظة: $H = E$ في هذا التمرين!

لاحظ أن $H = E(0; 5)$

إذن $S_{BHE} = 0$ (لأن $B$، $H$، $E$ على نفس المستقيم الأفقي)

لكن لنحسب $S_{BHJ}$:

$B(4; 5)$، $H(0; 5)$، $J(0; 1)$

القاعدة $[BH]$: طولها = $|4 - 0| = 4$

الإرتفاع من $J$ على $[BH]$: $|5 - 1| = 4$

$$S_{BHJ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$

تنبيه: السؤال به إشكالية لأن $H = E$، والنسبة غير معرفة

الخطوة 1: $O$ هي نقطة الأصل $(0; 0)$

الخطوة 2: $I$ على بعد $1cm$ من $O$ على المحور الأفقي: $I(1; 0)$

الخطوة 3: $J$ على بعد $2cm$ من $O$ على المحور الرأسي: $J(0; 2)$

الخطوة 4: النقطة $A$ لها أفصول $-2$ وإرتفاع $1$

نتحرك $2$ وحدات يساراً من $O$ ثم $1$ وحدة للأعلى

النتيجة: $A(-2; 1)$ معيّنة على الرسم

لدينا: $A(-2; 1)$ و $J(0; 2)$

ملاحظة: لكي يكون $(AJ)$ موازياً لـ $(OI)$، يجب أن تكون الإحداثيات الثانية لـ $A$ و $J$ متساويتان

لكن $y_A = 1$ و $y_J = 2$

إذن $y_A \neq y_J$

تنبيه: حسب المعطيات، $(AJ)$ ليس موازياً لـ $(OI)$ بالمعنى المباشر

احتمال آخر: ربما يقصد السؤال شيئاً مختلفاً، أو هناك خطأ في نقل المعطيات

لنفترض أن السؤال يقصد إثبات خاصية أخرى أو أن هناك نقطة أخرى

حساب $IA$:

$I(1; 0)$ و $A(-2; 1)$

فرق الأفاصيل: $|1 - (-2)| = 3$

فرق الإرتفاعات: $|0 - 1| = 1$

بدون فيثاغورس: $IA$ هي المسافة التي تجمع فرق أفقي = 3 وفرق رأسي = 1

إذا كانت $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$:

$J$ منتصف $[AB]$

$$\frac{x_A + x_B}{2} = x_J \implies \frac{-2 + x_B}{2} = 0 \implies x_B = 2$$

$$\frac{y_A + y_B}{2} = y_J \implies \frac{1 + y_B}{2} = 2 \implies y_B = 3$$

إذن: $B(2; 3)$

التحقق من $IA = IB$:

$IB$: $I(1; 0)$ و $B(2; 3)$

فرق الأفاصيل: $|1 - 2| = 1$

فرق الإرتفاعات: $|0 - 3| = 3$

نلاحظ أن: $IA$ له فروق $(3, 1)$ و $IB$ له فروق $(1, 3)$

بدون استخدام فيثاغورس، نقول: المسافتان متماثلتان ✓

من السؤال السابق: $B(2; 3)$

$C$ هو المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$

$(OI)$ أفقي، إذن $AC$ رأسي

بالتالي: $x_C = x_A = -2$ و $y_C = 0$ (لأن $C$ على $(OI)$)

إذن: $C(-2; 0)$

نقاط الرباعي:

• $A(-2; 1)$

• $J(0; 2)$

• $I(1; 0)$

• $C(-2; 0)$

تحليل الأضلاع:

• الضلع $[AC]$: من $(-2; 1)$ إلى $(-2; 0)$ - رأسي، طوله = $|1 - 0| = 1$

• الضلع $[JI]$: من $(0; 2)$ إلى $(1; 0)$ - منحدر

• الضلع $[AJ]$: من $(-2; 1)$ إلى $(0; 2)$

• الضلع $[CI]$: من $(-2; 0)$ إلى $(1; 0)$ - أفقي، طوله = $|1 - (-2)| = 3$

الخلاصة: لتحديد طبيعة الرباعي، نحتاج للتحقق من التوازي والتساوي

• $[AC]$ رأسي و $[JI]$ ليس رأسياً

• $[CI]$ أفقي و $[AJ]$ ليس أفقياً

الرباعي هو شبه منحرف (له ضلعان متوازيان فقط)

من التحليل السابق: $C(-2; 0)$

الشرط الأول: $x = 2$

هذا يعني جميع النقاط على المستقيم الرأسي الذي يمر بـ $x = 2$

الشرط الثاني: $y \leq 1$

هذا يعني جميع النقاط التي إحداثيتها الثانية أقل من أو تساوي $1$

الجمع بين الشرطين:

المجموعة هي: نصف المستقيم الرأسي الذي أفصوله $2$ وجميع النقاط عليه التي $y \leq 1$

أي: المستقيم $x = 2$ من النقطة $(2; 1)$ ونزولاً (بما في ذلك جميع النقاط تحت $y = 1$)