التمرين رقم 1 - الهندسة في المستوي

📊 المعطيات

$(O,I,J)$ هو معلم للمستوى بحيث $(OI) \perp (OJ)$ والنقاط:

$A(-3, 2)$، $B(1, 2)$، $D(-1, -1)$، $C(3, -1)$

1 توازي المستقيمات

السؤال:

بين أن $(OI)$ و $(AB)$ متوازيان.

📝 الحل التفصيلي للسؤال 1

🔹 تحليل الإحداثيات

المعطيات:

$A(-3, 2)$ و $B(1, 2)$

نلاحظ أن:

الإحداثي الصادي لـ $A$ هو: $y_A = 2$
الإحداثي الصادي لـ $B$ هو: $y_B = 2$

💡 خاصية أساسية

عندما يكون لنقطتين نفس الإحداثي الصادي، فإن المستقيم المار بهما يكون أفقيًا (موازيًا لمحور الفواصل)

الاستنتاج:

بما أن $y_A = y_B = 2$، فإن المستقيم $(AB)$ أفقي

تحليل محور الفواصل $(OI)$:

المستقيم $(OI)$ هو محور الفواصل، وهو مستقيم أفقي بطبيعته
(جميع النقاط على $(OI)$ لها إحداثي صادي يساوي 0)

✓ المستقيم $(AB)$ أفقي (جميع نقاطه لها $y = 2$)
✓ المستقيم $(OI)$ أفقي (محور الفواصل، جميع نقاطه لها $y = 0$)

إذن $(OI) \parallel (AB)$ (مستقيمان أفقيان)

2 إثبات متوازي الأضلاع

السؤال:

بين أن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع

📝 الحل التفصيلي للسؤال 2

🔹 الطريقة: استخدام الأقطار

الإحداثيات المعطاة:

$A(-3, 2)$، $B(1, 2)$، $C(3, -1)$، $D(-1, -1)$

📌 خاصية متوازي الأضلاع

رباعي يكون متوازي أضلاع إذا وفقط إذا كان قطراه يتقاطعان في منتصف كل منهما

الخطوة 1: حساب منتصف القطر $[AC]$

إحداثيات منتصف $[AC]$ هي:

$x_{منتصف} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{منتصف} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$

إذن منتصف $[AC]$ هو: $(0, \frac{1}{2})$

الخطوة 2: حساب منتصف القطر $[BD]$

إحداثيات منتصف $[BD]$ هي:

$x_{منتصف} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{منتصف} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$

إذن منتصف $[BD]$ هو: $(0, \frac{1}{2})$

الخطوة 3: المقارنة

منتصف $[AC]$ = $(0, \frac{1}{2})$
منتصف $[BD]$ = $(0, \frac{1}{2})$

✓ القطران $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف
✓ إذن القطران يتقاطعان في منتصف كل منهما

إذن $ABCD$ متوازي أضلاع

3 مجموعة النقاط E

السؤال:

حدد $E$ مجموعة نقاط المستوى $M(x, y)$ بحيث $x = 2$ و $-3 < x < 1$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 3

🔹 تحليل الشروط

الشروط المعطاة:

$x = 2$ (شرط أول على الفاصلة)
$-3 < x < 1$ (شرط ثانٍ على الفاصلة)

💡 تحليل التناقض

لدينا شرطان على نفس المتغير $x$:

• الشرط الأول يفرض: $x = 2$

• الشرط الثاني يفرض: $-3 < x < 1$

فحص التوافق:

هل $2$ ينتمي إلى المجال $(-3, 1)$؟

لا، لأن $2 > 1$

إذن $x = 2$ لا يحقق الشرط $-3 < x < 1$

الاستنتاج:

الشرطان متناقضان، لا توجد أي نقطة تحقق الشرطين معًا

مجموعة $E$ هي المجموعة الخالية: $E = \emptyset$

لا توجد نقطة في المستوى تحقق الشرطين في نفس الوقت

4 مجموعة النقاط F

السؤال:

حدد $F$ مجموعة نقاط المستوى $M(x, y)$ بحيث $y = -1$ و $x \leq -1$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 4

🔹 تحليل الشروط

الشروط المعطاة:

$y = -1$ (شرط على الصادي: قيمة ثابتة)
$x \leq -1$ (شرط على الفاصلة: متباينة)

💡 تحليل الشرط الأول: $y = -1$

جميع النقاط التي لها $y = -1$ تقع على مستقيم أفقي يمر بالنقطة $(0, -1)$ على محور الصادات

هذا المستقيم موازٍ لمحور الفواصل $(OI)$

💡 تحليل الشرط الثاني: $x \leq -1$

هذا الشرط يحدد جزءًا من المستقيم: الجزء الذي تكون فيه الفاصلة أصغر من أو تساوي $-1$

أي النقاط التي تقع على المستقيم العمودي $x = -1$ أو إلى اليسار منه

دمج الشرطين:

• المستقيم الأفقي: $y = -1$
• نأخذ منه فقط الجزء حيث: $x \leq -1$

مجموعة $F$ هي: نصف مستقيم أفقي

✓ يبدأ من النقطة $(-1, -1)$ (مشمولة)
✓ ويمتد إلى اليسار إلى ما لا نهاية
✓ جميع نقاطه لها إحداثي صادي ثابت: $y = -1$
✓ وفواصلها تحقق: $x \leq -1$

التمثيل الرياضي:

$F = \{M(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y = -1 \text{ و } x \leq -1\}$

أو بشكل آخر: نصف المستقيم الأفقي من $(-1, -1)$ باتجاه اليسار (النقطة $(-1, -1)$ مشمولة)

📌 الفرق بين $<$ و $\leq$

• $x < -1$ تعني: النقطة $(-1, -1)$ غير مشمولة

• $x \leq -1$ تعني: النقطة $(-1, -1)$ مشمولة

5 منتصف قطعة

السؤال:

عين النقطة $K$ منتصف $[BC]$ ثم حدد إحداثياتها

📝 الحل التفصيلي للسؤال 5

🔹 حساب منتصف القطعة

الإحداثيات المعطاة:

$B(1, 2)$ و $C(3, -1)$

📌 صيغة منتصف قطعة

إذا كانت $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ نقطتين، فإن منتصف $[AB]$ له الإحداثيات:

$x_{منتصف} = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_{منتصف} = \frac{y_A + y_B}{2}$

حساب فاصلة المنتصف $K$:

$x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

حساب صادي المنتصف $K$:

$y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$

إحداثيات النقطة $K$ (منتصف $[BC]$) هي:

$K(2, \frac{1}{2})$ أو $K(2, 0.5)$

6 تقاطع المستقيمات

السؤال:

المستقيم المار من $C$ والموازي لـ$(OJ)$ يقطع $(AB)$ في $E$ و يقطع المستقيم المار من $J$ والموازي لـ$(AB)$ في $L$

أ) حدد إحداثيات $E$ و $L$

ب) بين أن $L$ مناظرة $I$ بالنسبة لـ $K$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 6

🔹 الجزء أ: إيجاد إحداثيات E و L

الخطوة 1: إيجاد إحداثيات E

💡 تحليل المستقيم المار من C والموازي لـ(OJ)

$(OJ)$ هو محور الصادات (المحور العمودي)

جميع النقاط على $(OJ)$ لها فاصلة تساوي 0

المستقيم الموازي لـ$(OJ)$ هو مستقيم عمودي

المستقيم المار من $C(3, -1)$ والموازي لـ$(OJ)$ هو مستقيم عمودي
إذن جميع نقاطه لها نفس الفاصلة: $x = x_C = 3$

المستقيم $(AB)$:

من السؤال 1، نعلم أن $(AB)$ مستقيم أفقي بمعادلة:

جميع النقاط على $(AB)$ لها: $y = 2$

نقطة التقاطع E:

النقطة $E$ تقع على المستقيمين معًا:

• من المستقيم العمودي: $x_E = 3$
• من المستقيم $(AB)$: $y_E = 2$

إحداثيات النقطة $E$ هي: $E(3, 2)$

الخطوة 2: إيجاد إحداثيات L

💡 تحليل المستقيم المار من J والموازي لـ(AB)

$(AB)$ مستقيم أفقي (جميع نقاطه لها $y = 2$)

المستقيم الموازي لـ$(AB)$ هو أيضًا مستقيم أفقي

النقطة $J$ على محور الصادات، إحداثياتها: $J(0, 1)$
(نفترض أن $J$ هي النقطة الواحدة على محور الصادات)

⚠️ ملاحظة مهمة

إحداثيات $J$ غير معطاة صراحة في التمرين

إذا كانت $J$ هي نقطة الوحدة على محور الصادات، فإن: $J(0, 1)$

المستقيم المار من $J(0, 1)$ والموازي لـ$(AB)$ هو مستقيم أفقي
إذن جميع نقاطه لها: $y = y_J = 1$

نقطة التقاطع L:

النقطة $L$ تقع على تقاطع:

• المستقيم العمودي المار من $C$: $x = 3$
• المستقيم الأفقي المار من $J$: $y = 1$

إحداثيات النقطة $L$ هي: $L(3, 1)$

🔹 الجزء ب: إثبات أن L مناظرة I بالنسبة لـ K

📌 خاصية التناظر

نقطتان $M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة لنقطة $P$ إذا وفقط إذا كانت $P$ هي منتصف القطعة $[MN]$

الإحداثيات:

$I(1, 0)$، $L(3, 1)$، $K(2, \frac{1}{2})$ (من السؤال 5)

حساب منتصف القطعة $[IL]$:

فاصلة المنتصف:

$x_{منتصف} = \frac{x_I + x_L}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

صادي المنتصف:

$y_{منتصف} = \frac{y_I + y_L}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$

إذن منتصف $[IL]$ هو: $(2, \frac{1}{2})$

المقارنة:

منتصف $[IL]$ = $(2, \frac{1}{2})$
النقطة $K$ = $(2, \frac{1}{2})$

✓ منتصف القطعة $[IL]$ هو بالضبط النقطة $K$
✓ إذن $K$ منتصف $[IL]$

إذن $L$ و $I$ متناظرتان بالنسبة لـ $K$

7 تقاطع مستقيمين

السؤال:

المستقيم $(AB)$ يقطع $(OJ)$ في $F$، حدد إحداثيات $F$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 7

🔹 تحديد المستقيمين

المستقيم الأول: $(AB)$

من السؤال 1، نعلم أن $(AB)$ مستقيم أفقي

$A(-3, 2)$ و $B(1, 2)$
بما أن $y_A = y_B = 2$
إذن جميع النقاط على $(AB)$ لها: $y = 2$

المستقيم الثاني: $(OJ)$

💡 محور الصادات

$(OJ)$ هو محور الصادات (المحور العمودي)

جميع النقاط على $(OJ)$ لها فاصلة تساوي 0

جميع النقاط على $(OJ)$ لها: $x = 0$

🔹 إيجاد نقطة التقاطع F

التحليل:

النقطة $F$ تقع على المستقيمين معًا، إذن يجب أن تحقق شروط كلا المستقيمين:

• من المستقيم $(AB)$: $y_F = 2$
• من المستقيم $(OJ)$: $x_F = 0$

إحداثيات النقطة $F$ هي: $F(0, 2)$

✓ $F$ تقع على محور الصادات (فاصلتها 0)
✓ $F$ تقع على المستقيم الأفقي $y = 2$

8 حساب المساحة

السؤال:

أحسب مساحة الرباعي $OIBA$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 8

🔹 تحديد الإحداثيات

الإحداثيات:

$O(0, 0)$ (الأصل)
$I(1, 0)$ (على محور الفواصل)
$B(1, 2)$ (معطاة)
$A(-3, 2)$ (معطاة)

💡 ملاحظة

لاحظ أن:

• $B$ و $I$ لهما نفس الفاصلة: $x = 1$

• إذن $(BI)$ مستقيم عمودي

• $A$ و $B$ لهما نفس الصادي: $y = 2$

• إذن $(AB)$ مستقيم أفقي

🔹 طريقة الحساب: شبه المنحرف

تحليل الشكل:

الرباعي $OIBA$ هو شبه منحرف لأن:

• $(OI)$ موازي لـ $(AB)$ (كلاهما أفقي)
• $(OI)$ و $(AB)$ هما القاعدتان
• الارتفاع هو المسافة العمودية بينهما

حساب طول القاعدة الصغرى $(OI)$:

$OI = |x_I - x_O| = |1 - 0| = 1$

حساب طول القاعدة الكبرى $(AB)$:

بما أن $A$ و $B$ على نفس المستقيم الأفقي:

$AB = |x_B - x_A| = |1 - (-3)| = |1 + 3| = 4$

حساب الارتفاع:

الارتفاع هو المسافة العمودية بين المستقيمين الأفقيين $(OI)$ و $(AB)$:

• $(OI)$ على $y = 0$
• $(AB)$ على $y = 2$
الارتفاع $h = |2 - 0| = 2$

حساب المساحة:

📌 صيغة مساحة شبه المنحرف

المساحة $= \frac{(القاعدة الصغرى + القاعدة الكبرى) \times الارتفاع}{2}$

المساحة $= \frac{(OI + AB) \times h}{2}$

$= \frac{(1 + 4) \times 2}{2}$

$= \frac{5 \times 2}{2}$

$= \frac{10}{2}$

$= 5$

مساحة الرباعي $OIBA$ = 5 وحدات مساحة

9 دراسة المثلث

السؤال:

ب) بين أن المثلث $ICL$ متقايس الضلعين

ج) أحسب مساحة المثلث $ICL$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 9

🔹 الجزء ب: إثبات أن المثلث ICL متقايس الضلعين

الإحداثيات:

$I(1, 0)$، $C(3, -1)$، $L(3, 1)$ (من السؤال 6)

حساب طول $IC$:

نلاحظ أن الفواصل مختلفة والصوادي مختلفة

الإزاحة الأفقية: $|x_C - x_I| = |3 - 1| = 2$
الإزاحة العمودية: $|y_C - y_I| = |-1 - 0| = 1$

حساب طول $IL$:

نلاحظ أن الفواصل مختلفة والصوادي مختلفة

الإزاحة الأفقية: $|x_L - x_I| = |3 - 1| = 2$
الإزاحة العمودية: $|y_L - y_I| = |1 - 0| = 1$

حساب طول $CL$:

نلاحظ أن:

$x_C = x_L = 3$ (نفس الفاصلة)

إذن $(CL)$ مستقيم عمودي، والمسافة تحسب بالفرق بين الصوادي:

$CL = |y_L - y_C| = |1 - (-1)| = |2| = 2$

💡 المقارنة

• $IC$: إزاحات (2 أفقيًا، 1 عموديًا)

• $IL$: إزاحات (2 أفقيًا، 1 عموديًا)

• $CL$: طول عمودي = 2

✓ الضلعان $IC$ و $IL$ لهما نفس الإزاحات (2 أفقيًا و 1 عموديًا)
✓ إذن $IC = IL$

إذن المثلث $ICL$ متقايس الضلعين في $I$

🔹 الجزء ج: حساب مساحة المثلث ICL

الطريقة: استخدام القاعدة والارتفاع

نختار $[CL]$ كقاعدة لأنها قطعة عمودية (سهلة الحساب)

حساب القاعدة:

من الجزء ب، حسبنا:

القاعدة $= CL = 2$

حساب الارتفاع:

الارتفاع هو المسافة الأفقية من $I$ إلى المستقيم $(CL)$

بما أن $(CL)$ مستقيم عمودي بفاصلة $x = 3$، والنقطة $I$ لها فاصلة $x_I = 1$:

الارتفاع $= |x_I - 3| = |1 - 3| = 2$

حساب المساحة:

📌 صيغة مساحة المثلث

المساحة $= \frac{القاعدة \times الارتفاع}{2}$

المساحة $= \frac{CL \times الارتفاع}{2}$

$= \frac{2 \times 2}{2}$

$= \frac{4}{2}$

$= 2$

مساحة المثلث $ICL$ = 2 وحدات مساحة

10 التناظر والزاوية

السؤال:

أ) بين أن $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$

ب) استنتج أن $[JF]$ هو منصف الزاوية $\widehat{AJE}$

📝 الحل التفصيلي للسؤال 10

🔹 الجزء أ: إثبات أن A و E متناظرتان بالنسبة إلى (OJ)

الإحداثيات:

$A(-3, 2)$ و $E(3, 2)$

📌 خاصية التناظر بالنسبة لمحور الصادات

نقطتان متناظرتان بالنسبة لمحور الصادات $(OJ)$ إذا وفقط إذا:

1. لهما نفس الإحداثي الصادي

2. فاصلتاهما متقابلتان (إشارة معاكسة ونفس القيمة المطلقة)

التحقق من الشرط الأول:

نفحص الصوادي:

$y_A = 2$ و $y_E = 2$

✓ الشرط الأول محقق: نفس الصادي

التحقق من الشرط الثاني:

نفحص الفواصل:

$x_A = -3$ و $x_E = 3$

نلاحظ أن:

$x_E = -x_A$
لأن $3 = -(-3)$

✓ الشرط الثاني محقق: الفاصلتان متقابلتان

التحقق من المنتصف:

منتصف القطعة $[AE]$ هو:

$x_{منتصف} = \frac{x_A + x_E}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{منتصف} = \frac{y_A + y_E}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

إذن منتصف $[AE]$ هو $(0, 2)$، وهو نقطة على محور الصادات $(OJ)$

✓ $A$ و $E$ لهما نفس الصادي: $y = 2$
✓ فاصلتاهما متقابلتان: $x_E = -x_A$
✓ منتصف $[AE]$ يقع على $(OJ)$

إذن $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى محور الصادات $(OJ)$

🔹 الجزء ب: إثبات أن [JF] منصف الزاوية AJE

📌 خاصية التناظر المحوري

إذا كانت نقطتان $A$ و $E$ متناظرتين بالنسبة لمحور، فإن:

• أي نقطة على هذا المحور على نفس البعد من النقطتين

• إذا أخذنا نقطة $J$ على المحور، فإن $JA = JE$

• المحور يكون منصف الزاوية المتكونة عند أي نقطة عليه

التحليل:

من الجزء (أ)، نعلم أن $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ$(OJ)$

• النقطة $J$ على محور الصادات $(OJ)$
• النقطة $F$ على محور الصادات $(OJ)$ (من السؤال 7)
• إذن القطعة $[JF]$ جزء من محور التناظر $(OJ)$

الخاصية:

بما أن $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ$(OJ)$
وبما أن $J$ نقطة على $(OJ)$
فإن $(OJ)$ ينصف الزاوية $\widehat{AJE}$

الاستنتاج:

القطعة $[JF]$ جزء من المستقيم $(OJ)$
إذن $[JF]$ تقع على منصف الزاوية $\widehat{AJE}$

✓ $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ$(OJ)$
✓ $J$ و $F$ نقطتان على $(OJ)$
✓ $(OJ)$ هو محور التناظر بين $A$ و $E$

إذن $[JF]$ هو منصف الزاوية $\widehat{AJE}$

💡 تفسير هندسي

محور التناظر بين نقطتين هو دائمًا منصف الزاوية المتكونة عند أي نقطة على هذا المحور

📐 التمرين رقم 1