تمارين شاملة في المستوي

مثلث قائم ومتقايس الضلعين
تمرين 2

ليكن $(O; I; J)$ معينا متعامدا في المستوي و $A(-1;1)$, $B(2;1)$. و C ذات الترتيبة الموجبة حيث يكون ABC مثلثا متقايس الضلعين في A و $\hat{ABC} = 45^\circ$.

  1. بيّن أنّ ABC مثلث قائم الزاوية في A واستنتج أنّ $x_c = -1$.
  2. احسب البعد AC ثم استنتج أنّ $y_c = 4$.
  3. لتكن D حيث ABDC متوازي الأضلاع. حدّد إحداثيات D.

💡 مؤشر

1. مثلث قائم: ما هو مجموع زوايا المثلث؟ إذا عرفت زاويتين، يمكنك حساب الثالثة.

2. حساب AC: في مثلث متساوي الساقين، ماذا تعرف عن طولي الساقين؟ لحساب المسافات الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة والعمودية، يمكنك استخدام القيمة المطلقة لفرق الإحداثيات.

3. متوازي الأضلاع: ما هي خاصية منتصف قطري متوازي الأضلاع؟

📝 الطريقة

1. طبيعة المثلث: بما أنه متساوي الساقين في A، فإن \(\hat{ACB}=\hat{ABC}=45^\circ\). احسب \(\hat{BAC}\). استنتج أن (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) و (AC) عمودي.

2. حساب الأبعاد: احسب أولاً طول AB. بما أن المثلث متساوي الساقين في A، فإن AC=AB. استخدم صيغة المسافة العمودية \(AC = |y_C - y_A|\) لإيجاد \(y_C\).

3. إحداثيات D: استغل خاصية أن منتصف [AD] هو نفسه منتصف [BC].

✅ الحل الكامل

1. طبيعة المثلث واستنتاج \(x_C\):

بما أن المثلث ABC متساوي الساقين في A، فإن \(\hat{ACB} = \hat{ABC} = 45^\circ\). \(\hat{BAC} = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\). إذن المثلث ABC قائم في A.

المستقيم (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) لأن \(y_A=y_B=1\). بما أن المثلث قائم في A، فإن (AC) عمودي على (AB)، أي أن (AC) عمودي. كل النقاط على مستقيم عمودي لها نفس الفاصلة. إذن \(x_C = x_A = -1\).

2. حساب AC و \(y_C\):

بما أن المثلث متساوي الساقين في A، فإن \(AC = AB\). نحسب AB أولاً:

بما أن (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI)، فإن المسافة AB هي القيمة المطلقة لفرق الفاصلتين:

\[AB = |x_B - x_A| = |2 - (-1)| = |3| = 3\]

إذن \(AC = 3\). الآن نحسب \(y_C\):

بما أن (AC) عمودي، فإن المسافة AC هي القيمة المطلقة لفرق الترتيبتين:

\[AC = |y_C - y_A| \Rightarrow 3 = |y_C - 1|\]

هذه المعادلة تعني أن: \(y_C-1 = 3\) أو \(y_C-1 = -3\).

الحلان هما \(y_C = 4\) أو \(y_C = -2\).

بما أن C "ذات الترتيبة الموجبة"، نختار الحل الموجب. إذن \(y_C = 4\) وتكون إحداثيات C هي \((-1, 4)\).

3. إحداثيات D:

ABDC متوازي أضلاع يعني أن منتصف [AD] هو نفسه منتصف [BC]. ليكن M هذا المنتصف.

\[x_M = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{2+(-1)}{2} = \frac{1}{2}\]
\[y_M = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}\]

الآن، \(x_M = \frac{x_A+x_D}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{-1+x_D}{2} \Rightarrow 1 = -1+x_D \Rightarrow x_D=2\).

\(y_M = \frac{y_A+y_D}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{1+y_D}{2} \Rightarrow 5 = 1+y_D \Rightarrow y_D=4\).

إذن، إحداثيات النقطة D هي \(D(2, 4)\).