التعيين في المستوي ومبرهنة طالس

تمارين وحلول مفصلة

التعيين في المستوي

استحضر (صفحة 131)

1) انقل على كرّاسك ثم أكمل بـ "صواب" أم "خطأ":

  • إذا كان A و B نقطتين مختلفتين من مستقيم ∆ فإن (A,B) يمثل معينا لهذا المستقيم.
  • كل ثلاثي من النقاط (O,I,J) من المستوي يسمّى معيّنا متعامدا في المستوي.

صواب. المهم أن تكون النقطتان مختلفتان

خطأ. لكي يمثل الثلاثي (O,I,J) معينا متعامدا في المستوي، يجب أن تكون النقاط O,I,J ليست على استقامة واحدة وأن يكون المستقيمان (OI) و (OJ) متعامدين.

2) أكمل:

إذا كان (O,I,J) معينا في المستوي فإن: النقطة O تسمى ......، النقطة I تسمى ......، والنقطة J تسمى ...... . المستقيم (OI) يسمى ......، والمستقيم (OJ) يسمى ...... .

النقطة O تسمى أصل المعين، النقطة I تسمى النقطة الواحدية على محور الفواصل، والنقطة J تسمى النقطة الواحدية على محور التراتيب. المستقيم (OI) يسمى محور الفواصل، والمستقيم (OJ) يسمى محور التراتيب.

نشاط 2 (صفحة 131)

ليكن ∆ مستقيما مدرجا بمعين (O,I) حيث OI=2cm.

  1. عين النقاط A و B و C بحيث $$x_A = 2$$, $$x_B = -3$$ و $$x_C = \sqrt{2}$$.
  2. أحسب AC ثم BC.
  3. أوجد فاصلة النقطة D علما أن CD=8 و $$D \in [OA]$$.
2. حساب المسافات:

$$AC = |x_C - x_A| \times OI = |\sqrt{2} - 2| \times 2 = (2-\sqrt{2}) \times 2 = 4 - 2\sqrt{2}$$ سم.

$$BC = |x_C - x_B| \times OI = |\sqrt{2} - (-3)| \times 2 = (3+\sqrt{2}) \times 2 = 6 + 2\sqrt{2}$$ سم.

3. إيجاد فاصلة D:

$$CD = |x_D - x_C| \times OI = 8 \implies |x_D - \sqrt{2}| \times 2 = 8 \implies |x_D - \sqrt{2}| = 4$$

هذا يعطي حلين: $$x_D = 4 + \sqrt{2} $$ أو $$x_D = \sqrt{2} - 4 $$.

بما أن $$D \in [OA]$$، فإن فاصلتها يجب أن تكون بين 0 و 2. كلا الحلين مرفوضان. إذن لا توجد نقطة D تحقق الشرطين معا (خطأ في نص التمرين).

مبرهنة طالس وتطبيقاتها

أطبق (صفحة 150)

1) ليكن ABC مثلثا حيث AB = 4cm و BC = 6cm و AC = 5cm. ولتكن M نقطة من [AB] حيث AM = 3cm. المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من M يقطع (AC) في N. احسب MN و AN.

تطبيق مبرهنة طالس:

في المثلث ABC لنا

بما أن (MN) // (BC)، فإن: $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

$$ \frac{3}{4} = \frac{AN}{5} = \frac{MN}{6} $$

حساب AN: $$ \frac{3}{4} = \frac{AN}{5} \implies AN = \frac{3 \times 5}{4} = 3.75 $$ سم.

حساب MN: $$ \frac{3}{4} = \frac{MN}{6} \implies MN = \frac{3 \times 6}{4} = 4.5 $$ سم.

3) في الرسم المجاور، (BC) // (MN) و AB = 6cm، و AC = 3cm، و AN = 2cm، و MN = 1.5cm. أحسب BC و AM.

تطبيق مبرهنة طالس (وضعية الفراشة):

في المثلث ABC لنا

M تنتمي إلى (AB)

N تنتمي إلى (AC)

(BC)//(MN)

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

$$ \frac{AM}{6} = \frac{2}{3} = \frac{1.5}{BC} $$

حساب AM: $$ \frac{AM}{6} = \frac{2}{3} \implies AM = \frac{2 \times 6}{3} = 4 $$ سم.

حساب BC: $$ \frac{2}{3} = \frac{1.5}{BC} \implies BC = \frac{1.5 \times 3}{2} = 2.25 $$ سم.