سؤال 1: إيجاد إحداثيات E و D وإثبات أن ABCD متوازي أضلاع

💡 مؤشر

للمنتصف والمناظرة ومتوازي الأضلاع:

استخدم صيغة المنتصف لإيجاد $ E $: $ E\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) $.
لإيجاد $ D $، مناظرة $ B $ بالنسبة لـ $ E $: إذا كان $ E $ منتصف $ [BD] $، فإن $ x_D = 2x_E - x_B $, $ y_D = 2y_E - y_B $.
لإثبات أن $ ABCD $ متوازي أضلاع، تحقق من أن منتصف القطرين $ [AC] $ و $ [BD] $ متطابقان.

📝 الطريقة

إيجاد إحداثيات E:

استخرج إحداثيات $ A(2,0) $, $ C(-2,1) $.
استخدم صيغة المنتصف: $ x_E = \frac{x_A + x_C}{2} $, $ y_E = \frac{y_A + y_C}{2} $.

إيجاد إحداثيات D:

استخدم $ E $ كمنتصف $ [BD] $: $ x_D = 2x_E - x_B $, $ y_D = 2y_E - y_B $.

إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:

احسب منتصف القطر $ [AC] $ (وهو $ E $).
احسب منتصف القطر $ [BD] $.
إذا كان المنتصفان متطابقين، فإن $ ABCD $ متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

إيجاد إحداثيات E:

لدينا $ A(2,0) $, $ C(-2,1) $.

$ x_E = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 $.

$ y_E = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} $.

إذن، إحداثيات $ E $ هي $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $.

إيجاد إحداثيات D:

لدينا $ B(-1,-3) $, و $ E $ منتصف $ [BD] $.

$ x_D = 2x_E - x_B = 2(0) - (-1) = 1 $.

$ y_D = 2y_E - y_B = 2\left(\frac{1}{2}\right) - (-3) = 1 + 3 = 4 $.

إذن، إحداثيات $ D $ هي $ (1,4) $.

إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:

منتصف القطر $ [AC] $ هو $ E\left(0, \frac{1}{2}\right) $.

منتصف القطر $ [BD] $:

$ B(-1,-3) $, $ D(1,4) $.

$ x_{\text{منتصف}} = \frac{-1 + 1}{2} = 0 $.

$ y_{\text{منتصف}} = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2} $.

منتصف $ [BD] $ هو $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $.

بما أن منتصف $ [AC] $ و $ [BD] $ متطابقان، فإن $ ABCD $ متوازي أضلاع.

سؤال 2: إيجاد H المسقط العمودي لـ B على (OI) وحساب AH

💡 مؤشر

للمسقط العمودي:

$ (OI) $ هو محور الفواصل ($ y = 0 $).
المسقط العمودي لـ $ B $ على $ (OI) $ هو النقطة $ H $ التي لها نفس الفاصلة لـ $ B $ وترتيب $ y = 0 $.
احسب المسافة $ AH $ باستخدام صيغة المسافة.

📝 الطريقة

إيجاد H:

$ (OI) $ هو $ y = 0 $.
$ H $ لها نفس $ x $ لـ $ B $، و $ y_H = 0 $.

حساب AH:

استخدم صيغة المسافة: $ AH = \sqrt{(x_A - x_H)^2 + (y_A - y_H)^2} $.

✅ الحل الكامل

إيجاد H:

$ B(-1,-3) $, و $ (OI) $ هو $ y = 0 $.

المسقط العمودي $ H $ له نفس $ x_B = -1 $، و $ y_H = 0 $.

إذن، إحداثيات $ H $ هي $ (-1,0) $.

حساب AH:

$ A(2,0) $, $ H(-1,0) $.

$ AH = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(3)^2} = 3 $.

سؤال 3: إيجاد فاصلة K حيث K ∈ (OI), x_K < 0 و IK = 7/2

💡 مؤشر

لإيجاد فاصلة $ K $:

$ (OI) $ هو محور الفواصل ($ y = 0 $)، لذا $ K(x_K, 0) $.
$ x_K < 0 $.
$ I(1,0) $، والمسافة $ IK = \frac{7}{2} $.
استخدم صيغة المسافة: $ |x_K - x_I| = \frac{7}{2} $.

📝 الطريقة

إيجاد فاصلة K:

$ K(x_K, 0) $, $ I(1,0) $.
الشرط: $ IK = |x_K - 1| = \frac{7}{2} $.
حل المعادلة مع الأخذ في الاعتبار $ x_K < 0 $.

✅ الحل الكامل

إيجاد فاصلة K:

$ K(x_K, 0) $, $ I(1,0) $.

$ IK = |x_K - 1| = \frac{7}{2} $.

حل: $ x_K - 1 = \frac{7}{2} \implies x_K = \frac{9}{2} $ (غير مقبول لأن $ x_K < 0 $).

أو: $ x_K - 1 = -\frac{7}{2} \implies x_K = 1 - \frac{7}{2} = \frac{2 - 7}{2} = -\frac{5}{2} $.

بما أن $ x_K = -\frac{5}{2} < 0 $، فإن فاصلة $ K $ هي $ -\frac{5}{2} $.

سؤال 4: إيجاد ∆ مجموعة النقاط M حيث y=0 و -5/2 ≤ x ≤ -1

💡 مؤشر

لتحديد $ \Delta $:

الشرط $ y = 0 $ يعني أن النقاط تقع على محور الفواصل $ (OI) $.
الشرط $ -\frac{5}{2} \le x \le -1 $ يحدد قطعة مستقيمة على $ (OI) $.

📝 الطريقة

تحديد $ \Delta $:

الشرط $ y = 0 $ يحدد المستقيم $ (OI) $.
الشرط $ -\frac{5}{2} \le x \le -1 $ يحدد قطعة مستقيمة بين النقطتين $ \left(-\frac{5}{2}, 0\right) $ و $ (-1, 0) $.

✅ الحل الكامل

مجموعة النقاط $ \Delta $:

الشروط: $ y = 0 $, $ -\frac{5}{2} \le x \le -1 $.

هذه المجموعة هي القطعة المستقيمة على محور الفواصل $ (OI) $ من النقطة $ \left(-\frac{5}{2}, 0\right) $ إلى النقطة $ (-1, 0) $.

إذن، $ \Delta $ هي القطعة المستقيمة $ \left[ \left(-\frac{5}{2}, 0\right), (-1, 0) \right] $.

سؤال إضافي: مناظرة F، خصائص CDBE، وإثبات انتماء M

💡 مؤشر

للمناظرة، خصائص المستطيل، وانتماء $ M $:

تحقق من مناظرة $ F $ بالنسبة لـ $ (OJ) $ و $ O $.
لإثبات أن $ CDBE $ مستطيل، تحقق من التوازي والتعامد.
لإثبات أن $ M $ تنتمي لـ $ (FB) $، تحقق من أن $ M $ هي منتصف $ [FB] $.

📝 الطريقة

1) مناظرة F:

قارن إحداثيات $ F $ بمناظرة $ C $ بالنسبة لـ $ (OJ) $.
قارن إحداثيات $ F $ بمناظرة $ D $ بالنسبة لـ $ O $.

2) إثبات أن CDBE مستطيل وأبعاد:

تحقق من أن $ (CD) // (EB) $ و $ (CE) // (DB) $.
تحقق من تعامد $ (CD) $ و $ (DB) $.
احسب الأبعاد $ OA $, $ BE $, $ CD $.

3) إيجاد N:

$ N $ منتصف أحد القطرين، مثل $ [DE] $.

4) إثبات أن M ∈ (FB):

احسب منتصف $ [FB] $ وقارن بإحداثيات $ M $.

سلسلة تمارين في المعين (3)

دفواراتي

متوازي الأضلاع والمسافات

تمرين 30

ليكن (O,I,J) معينًا متعامدًا. عين النقاط $ A(2,0) $, $ B(-1,-3) $ و $ C(-2,1) $.

1) أوجد إحداثيات E منتصف [AC]، ثم D مناظرة B بالنسبة لـ E، وبيّن أن ABCD متوازي أضلاع.

2) لتكن H المسقط العمودي لـ B على (OI). احسب البعد AH.

3) أوجد فاصلة K حيث $ K \in (OI) $, $ x_K < 0 $ و $ IK = \frac{7}{2} $.

4) أوجد ∆ مجموعة النقاط $M(x,y)$ حيث $y=0$ و $-\frac{5}{2} \le x \le -1$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: استخدم قواعد المنتصف والتناظر. الرباعي ABCD تم بناؤه ليكون متوازي أضلاع.

للسؤال 2: المسقط العمودي على (OI) له نفس الفاصلة والترتيب 0. البعد الهو مستقيم مواز لـ (OI) هو القيمة المطلقة لفرق الفاصلتين.

للسؤال 3: إحداثيات I هي (1,0). اكتب معادلة المسافة $|x_K - 1| = \frac{7}{2}$ وحلها.

للسؤال 4: الشرط $y=0$ يحدد محور الفواصل. الشرط على x يحدد قطعة مستقيمة على هذا المحور.

📝 الطريقة

1) احسب E كمنتصف [AC]. ثم استخدم E كمنتصف [BD] لإيجاد D. الاستنتاج مباشر.

2) أوجد إحداثيات H. ثم احسب المسافة AH.

3) اكتب معادلة المسافة بدلالة $x_K$، وحل المعادلة الناتجة. اختر الحل الذي يحقق الشرط $x_K < 0$.

4) حدد النقطتين اللتين فاصلتاهما هما حدود المجال المعطى على محور الفواصل.

✅ الحل الكامل

1) منتصف [AC]: $E(\frac{2-2}{2}, \frac{0+1}{2}) = E(0, 0.5)$.
D مناظرة B بالنسبة لـ E: $0 = \frac{-1+x_D}{2} \implies x_D=1$ و $0.5 = \frac{-3+y_D}{2} \implies y_D=4$. إذن $D(1,4)$.
بما أن قطري [AC] و [BD] لهما نفس المنتصف E، فإن ABCD متوازي أضلاع.

2) H مسقط B على (OI) إذن $H(-1,0)$. المسافة $AH = |x_A - x_H| = |2 - (-1)| = 3$.

3) $IK = |x_K - 1| = \frac{7}{2}$. إما $x_K - 1 = 3.5 \implies x_K = 4.5$ (مرفوض) أو $x_K - 1 = -3.5 \implies x_K = -2.5$ (مقبول). إذن $x_K = -2.5$.

4) المجموعة ∆ هي قطعة المستقيم [KH] حيث $K(-2.5,0)$ و $H(-1,0)$.

التناظر والمستطيل

تمرين 31

ليكن (O,I,J) معينًا متعامدًا. نعتبر النقاط $ A(-5,0) $, $ B(0,-2) $, $ C(5,4) $, $ D(5,-2) $, $ E(0,4) $ و $ F(-5,4) $.

1) هل C و F متناظرتان بالنسبة لـ(OJ)؟ هل D و F متناظرتان بالنسبة لـ O؟

2) بيّن أنّ الرباعي CDBE مستطيل وأوجد الأبعاد OA, BE, CD.

3) لتكن N نقطة تقاطع (BC) و (DE). بيّن أنّ $ N(2.5, 1) $.

4) لتكن النقطة $ M(-2.5, 1) $. بيّن أنّ $ M \in (FB) $.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للتناظر: طبق قواعد التناظر بالنسبة للمحور (OJ) والمبدأ O.

للمستطيل: بيّن أنه متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية) ثم بيّن أن له زاوية قائمة (ضلعان متجاوران أحدهما هو مستقيم مواز لـ (OI) والآخر عمودي).

لنقطة التقاطع N: المستقيمان (BC) و (DE) هما قطرا المستطيل. أين يتقاطع قطرا متوازي الأضلاع؟

لانتماء M: لإثبات أن M تنتمي للمستقيم (FB)، يمكنك إثبات أن M هي نقطة خاصة على القطعة [FB]، مثل المنتصف.

📝 الطريقة

1) أ- قارن إحداثيات F بمناظرة C بالنسبة لـ(OJ). ب- قارن إحداثيات F بمناظرة D بالنسبة لـ O.

2) بيّن أن (CD)//(EB) (عموديان) و (CE)//(DB) (هو مستقيم مواز لـ (OI)ان). استنتج أنه متوازي أضلاع. بيّن أن (CD) و (DB) متعامدان. ثم احسب الأبعاد المطلوبة.

3) بما أن CDBE مستطيل، فإن N هي منتصف أي من قطريه. احسب منتصف [DE] أو [BC].

4) احسب إحداثيات منتصف القطعة [FB] وقارنها بإحداثيات M.

✅ الحل الكامل

1) أ- مناظرة C(5,4) بالنسبة لـ(OJ) هي (-5,4)، وهي F. نعم.
ب- مناظرة D(5,-2) بالنسبة لـ O هي (-5,2)، وهي ليست F. لا.

2) الرباعي CDBE له ضلعان عموديان (CD) و (EB) وضلعان هو مستقيم مواز لـ (OI)ان (CE) و (DB). إذن هو متوازي أضلاع بزاوية قائمة في D، فهو مستطيل.
الأبعاد: $OA=|-5-0|=5$. $BE=|4-(-2)|=6$. $CD=|4-(-2)|=6$.

3) N هي منتصف القطر [DE]: $N(\frac{5+0}{2}, \frac{-2+4}{2}) = N(2.5, 1)$.

4) منتصف [FB]: $(\frac{-5+0}{2}, \frac{4-2}{2}) = (-2.5, 1)$, وهي إحداثيات M. إذن $M \in (FB)$.