شبه المنحرف هو رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان. كيف يمكنك إثبات أن مستقيمين متوازيين باستخدام الإحداثيات؟
الخطوات:
إثبات أن الرباعي OJAB شبه منحرف:
1) طبيعة المستقيم (OJ):
بما أن \( x_O = x_J = 0 \)، فإن المستقيم \( (OJ) \) عمودي ( \( x = 0 \)، وهو محور التراتيب).
2) طبيعة المستقيم (AB):
بما أن \( x_A = x_B = -2 \)، فإن المستقيم \( (AB) \) عمودي ( \( x = -2 \)).
3) مقارنة المستقيمين:
كلا المستقيمين \( (OJ) \) و \( (AB) \) عموديان (موازيان لمحور التراتيب)، إذن \( (OJ) // (AB) \).
4) استنتاج:
الرباعي \( OJAB \) له ضلعان متقابلان متوازيان (\( OJ \) و \( AB \))، لذا فهو شبه منحرف.
لإثبات أن \( IA = IB \):
الخطوات:
إثبات أن \( IA = IB \):
لدينا \( A(-2,\sqrt{3}) \), \( B(-2,-\sqrt{5}) \), و \( I(1,0) \).
نلاحظ أن \( x_A = x_B = -2 \)، لذا فإن النقطتين \( A \) و \( B \) لهما نفس الفاصلة ولكنهما بترتيبين مختلفين.
محور الفواصل \( (OI) \) هو المستقيم \( y = 0 \). للتحقق من التناظر، لاحظ أن \( A \) و \( B \) ليستا متناظرتين بالنسبة لـ \( (OI) \)، لكن يمكننا إثبات \( IA = IB \) بحساب المسافات.
حساب \( IA \):
\( IA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
حساب \( IB \):
\( IB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - (-\sqrt{5}))^2} = \sqrt{(3)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{9 + 5} = \sqrt{14} \).
ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في النص الأصلي أو افتراض غير صحيح، لأن \( IA \neq IB \). لإثبات أن \( IA = IB \)، يجب أن تكون النقطتان \( A \) و \( B \) متناظرتين بالنسبة لمحور يمر بـ \( I \). قد يكون هناك خطأ في إحداثيات النقاط أو في صياغة السؤال. لنفترض أن \( B \) يجب أن تكون \( (-2, -\sqrt{3}) \) لتكون متناظرة مع \( A \) بالنسبة لـ \( (OI) \).
إذا كانت \( B(-2, -\sqrt{3}) \):
\( IB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{(3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
إذن، \( IA = IB = 2\sqrt{3} \).
النقطة \( I(1,0) \) تقع على محور الفواصل \( (OI) \)، و \( A(-2, \sqrt{3}) \) و \( B(-2, -\sqrt{3}) \) متناظرتان بالنسبة له، لذا \( IA = IB \).
لإثبات أن المثلث \( OAB \) متقايس الضلعين:
الخطوات:
إثبات أن المثلث OAB متقايس الضلعين:
لدينا \( O(0,0) \), \( A(-2,\sqrt{3}) \), ونفترض \( B(-2,-\sqrt{3}) \) (تصحيح محتمل للنص).
النقطتان \( A \) و \( B \) لهما نفس الفاصلة \( x = -2 \) وترتيبان متقابلان (\( \sqrt{3}, -\sqrt{3} \))، لذا هما متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل \( (OI) \) ( \( y = 0 \)).
حساب \( OA \):
\( OA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (0 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7} \).
حساب \( OB \):
\( OB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (0 - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{(2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7} \).
بما أن \( OA = OB = \sqrt{7} \)، فإن المثلث \( OAB \) متقايس الضلعين في الرأس \( O \).
ملاحظة: إذا كانت إحداثيات \( B \) هي \( (-2, -\sqrt{5}) \) كما في النص الأصلي، فإن \( OA \neq OB \). يبدو أن تصحيح \( B \) إلى \( (-2, -\sqrt{3}) \) ضروري لتكون متناظرة مع \( A \) ولإثبات أن \( OAB \) متقايس الضلعين.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-2, \sqrt{3}) \) و \( B(-2, -\sqrt{5}) \).
بيّن أنّ الرباعي OJAB شبه منحرف.
شبه المنحرف هو رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان. كيف يمكنك إثبات أن مستقيمين متوازيين باستخدام الإحداثيات؟ فكر في المستقيمات الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة والعمودية.
لدينا \( O(0,0) \), \( J(0,1) \), \( A(-2, \sqrt{3}) \), \( B(-2, -\sqrt{5}) \).
المستقيم \( (OJ) \) يمر بنقطتين لهما نفس الفاصلة (0)، إذن هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ).
المستقيم \( (AB) \) يمر بنقطتين لهما نفس الفاصلة (-2)، إذن هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ).
بما أن المستقيمين \( (OJ) \) و \( (AB) \) كلاهما عموديان، فإنهما متوازيان. وبما أن للرباعي OJAB ضلعين متقابلين متوازيين، فهو شبه منحرف.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(3, \sqrt{3}) \), \( B(-2, -\sqrt{5}) \), \( C(\frac{7}{4}, -\sqrt{5}) \), و \( D(-2.5, \sqrt{3}) \).
بيّن أنّ الرباعي ACBD شبه منحرف.
لإثبات أن الرباعي شبه منحرف، ابحث عن ضلعين متقابلين متوازيين. انتبه إلى ترتيب النقاط في اسم الرباعي (ACBD) لتحديد الأضلاع المتقابلة: (AD) و (CB).
لدينا \( A(3, \sqrt{3}) \) و \( D(-2.5, \sqrt{3}) \). لهما نفس الترتيب \( \sqrt{3} \)، إذن المستقيم (AD) هو مستقيم مواز لـ (OI).
لدينا \( C(\frac{7}{4}, -\sqrt{5}) \) و \( B(-2, -\sqrt{5}) \). لهما نفس الترتيب \( -\sqrt{5} \)، إذن المستقيم (CB) هو مستقيم مواز لـ (OI).
بما أن المستقيمين (AD) و (CB) كلاهما هو مستقيم مواز لـ (OI)ان، فإنهما متوازيان. وعليه، الرباعي ACBD شبه منحرف.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-1, 4) \), \( B(3, 4) \), \( C(3, -2) \), و \( D(-1, -2) \).
بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
متوازي الأضلاع هو رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. يجب عليك إثبات توازي (AB) مع (DC) ثم توازي (AD) مع (BC).
المستقيم (AB) هو مستقيم مواز لـ (OI) (نفس الترتيب 4). المستقيم (DC) هو مستقيم مواز لـ (OI) (نفس الترتيب -2). إذن \((AB) // (DC)\).
المستقيم (AD) عمودي (نفس الفاصلة -1). المستقيم (BC) عمودي (نفس الفاصلة 3). إذن \((AD) // (BC)\).
بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع. (وهو مستطيل في هذه الحالة).
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-1, 4) \), \( B(\sqrt{3}, -2) \), \( C(1, -4) \), و \( D(-\sqrt{3}, 2) \).
بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
هناك طريقة أخرى لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع: إذا كان لقطريه نفس المنتصف. تذكر قاعدة حساب إحداثيات المنتصف.
منتصف [AC]: \( (\frac{-1+1}{2}, \frac{4-4}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0,0) \). إذن منتصف [AC] هو النقطة O.
منتصف [BD]: \( (\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0,0) \). إذن منتصف [BD] هو النقطة O.
بما أن للقطرين نفس المنتصف O، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-2, -5) \), \( B(-2, -\frac{3}{7}) \), \( C(-\sqrt{5}, \sqrt{3}-2) \), و \( D(0, \sqrt{3}-2) \).
لتكن E نقطة تقاطع (AB) و (CD). حدد إحداثيات النقطة E.
نقطة التقاطع تنتمي لكلا المستقيمين. استنتج معادلة كل مستقيم (AB) و (CD) من خلال ملاحظة إحداثيات النقاط. ما هي معادلة مستقيم عمودي؟ وما هي معادلة مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI)؟
المستقيم (AB) يمر من \( A(-2, ...) \) و \( B(-2, ...) \). لهما نفس الفاصلة، إذن (AB) مستقيم عمودي \( x = -2 \).
المستقيم (CD) يمر من \( C(..., \sqrt{3}-2) \) و \( D(..., \sqrt{3}-2) \). لهما نفس الترتيب، إذن (CD) مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) \( y = \sqrt{3}-2 \).
نقطة التقاطع E تحقق المعادلتين، إذن فاصلتها هي -2 وترتيبها هو \( \sqrt{3}-2 \). إحداثيات E هي \( (-2, \sqrt{3}-2) \).
ليكن (O,I,J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-3, 1) \), \( B(\frac{7}{3}, -1) \), \( C(7, 5) \), \( D(\frac{5}{3}, 7) \), و \( K(2, 3) \).
1) بيّن أنّ K منتصف [AC].
2) بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
هذا التمرين يدمج سؤالين مترابطين. استخدم قاعدة المنتصف مرتين. كيف يمكن لنتيجة السؤال الأول أن تساعدك في السؤال الثاني؟
1) منتصف [AC]: \( (\frac{-3+7}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{6}{2}) = (2,3) \). هذه هي إحداثيات K، إذن K منتصف [AC].
2) متوازي الأضلاع: نحسب منتصف [BD]: \( (\frac{\frac{7}{3}+\frac{5}{3}}{2}, \frac{-1+7}{2}) = (\frac{12/3}{2}, \frac{6}{2}) = (\frac{4}{2}, 3) = (2,3) \). منتصف [BD] هو أيضا K.
بما أن للقطرين نفس المنتصف K، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
ليكن (O,I,J) معينا متعامدا في المستوي و النقاط \( A(\sqrt{7}, -\frac{5}{13}) \) و \( B(\sqrt{7}, -\pi) \).
بيّن أنّ \( (AB) \perp (OI) \).
ما هي طبيعة المستقيم (OI) في أي معين؟ وماذا يعني أن يكون المعين "متعامدا"؟ كيف يؤثر ذلك على العلاقة بين المستقيمات الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة والعمودية؟
المستقيم (OI) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI).
المستقيم (AB) يمر بنقطتين لهما نفس الفاصلة \( \sqrt{7} \)، إذن هو مستقيم يوازي محور التراتيب (OJ).
في معين متعامد، كل مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) يعامد كل مستقيم عمودي. إذن، \( (AB) \perp (OI) \).
ليكن (O,I,J) معينا متعامدا في المستوي و النقاط \( A(\sqrt{2}, -\frac{3}{7}) \) و \( B(\sqrt{2}, \frac{3}{7}) \).
1) بيّن أنّ \( (AB) \perp (OI) \).
2) بيّن أنّ \( IA = IB \).
3) بيّن أنّ المثلث OAB متقايس الضلعين.
للسؤالين 2 و 3: لإثبات أن مثلثا متقايس الضلعين، يمكنك إثبات أن المتوسط المتعلق بأحد الأضلاع هو أيضا ارتفاع. ما هي العلاقة بين النقطتين A و B؟ هل هما متناظرتان بالنسبة لمحور؟
1) (AB) مستقيم عمودي (نفس الفاصلة). (OI) مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI) (محور الفواصل). في معين متعامد، \( (AB) \perp (OI) \).
2) النقطتان A و B لهما نفس الفاصلة وترتيبان متقابلان. إذن، هما متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل (OI). بما أن النقطة I(1,0) تنتمي لمحور التناظر (OI)، فإنها متساوية البعد عن A و B. إذن \( IA = IB \).
3) بنفس الطريقة، النقطة O(0,0) تنتمي لمحور التناظر (OI). إذن، هي متساوية البعد عن A و B، مما يعني أن \( OA = OB \). وبالتالي، المثلث OAB متقايس الضلعين في الرأس O.