ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط $A(-\sqrt{2}+1; -2)$ و $B(\sqrt{2}-1; -2)$.
1) بيّن أن $(OJ)$ هو المنصف العمودي لـ $[AB]$.
2) لتكن النقطة $K(0; \frac{9}{7})$. بيّن أن $KA = KB$.
نقاط مهمة:
ابدأ بحساب: إحداثيات منتصف $[AB]$ وتحقق من انتمائه لمحور الترتيب
1) إثبات أن $(OJ)$ منصف عمودي لـ $[AB]$:
أ) التعامد:
بما أن $y_A = y_B = -2$، فإن المستقيم $(AB)$ هو مستقيم مواز لـ (OI).
المستقيم $(OJ)$ هو محور الترتيب (عمودي).
المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) والعمودي متعامدان دائماً، إذن $(OJ) \perp (AB)$.
ب) المرور من المنتصف:
منتصف $[AB]$ له الإحداثيات:
$x_M = \frac{(-\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{-2 + (-2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
إذن المنتصف $(0, -2)$ ينتمي لمحور الترتيب $(OJ)$.
الجزء 1 - المنصف العمودي:
$(OJ)$ هو المنصف العمودي لـ $[AB]$ لأنه:
الجزء 2 - تساوي المسافات:
بما أن $K(0; \frac{9}{7})$ تنتمي لمحور الترتيب $(OJ)$، وأن $(OJ)$ هو المنصف العمودي لـ $[AB]$، فإن:
$KA = KB$ ✓
خاصية: كل نقطة على المنصف العمودي لقطعة مستقيم متساوية البعد عن طرفي القطعة.
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(1; 2), B(4; 2), C(4; -3)$ و $D(1; -3)$.
1) بيّن أن الرباعي $ABCD$ مستطيل.
2) بيّن أن: $AC = BD$.
للمستطيل نحتاج:
لاحظ:
1) إثبات أنه مستطيل:
• إثبات أنه متوازي أضلاع:
- $(AB)$ و $(DC)$ هو مستقيم مواز لـ (OI)ان ← $(AB) \parallel (DC)$
- $(AD)$ و $(BC)$ عموديان ← $(AD) \parallel (BC)$
إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.
• إثبات وجود زاوية قائمة:
$(AB)$ هو مستقيم مواز لـ (OI) و $(AD)$ عمودي ← $(AB) \perp (AD)$
إذن الزاوية في $A$ قائمة.
الاستنتاج: $ABCD$ مستطيل.
1) إثبات المستطيل:
$ABCD$ مستطيل لأنه متوازي أضلاع وله زاوية قائمة في $A$.
2) تقايس القطرين:
من خصائص المستطيل أن قطريه متقايسان.
بما أننا أثبتنا في السؤال السابق أن $ABCD$ مستطيل، فإن قطريه $[AC]$ و $[BD]$ متقايسان.
إذن، $AC = BD$ ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(1; 5)$, $B(\frac{5}{3}; 5)$ و $C(\frac{5}{3}; \sqrt{2})$.
1) بيّن أن المثلث $ABC$ مثلث قائم.
2) احسب البعد $AB$.
لاحظ الإحداثيات:
للمسافة بين نقطتين على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI):
المسافة = القيمة المطلقة للفرق بين الفواصل
1) إثبات أن المثلث قائم:
• المستقيم $(AB)$ هو مستقيم مواز لـ (OI) لأن $y_A = y_B = 5$
• المستقيم $(BC)$ عمودي لأن $x_B = x_C = \frac{5}{3}$
• المستقيم الهو مستقيم مواز لـ (OI) والعمودي متعامدان
← الزاوية $ABC$ قائمة
2) حساب المسافة $AB$:
بما أن النقطتين $A$ و $B$ تقعان على مستقيم هو مستقيم مواز لـ (OI):
$AB = |x_B - x_A|$
1) المثلث القائم:
المثلث $ABC$ قائم في $B$ لأن $(AB) \perp (BC)$
2) حساب $AB$:
$$AB = |x_B - x_A| = \left|\frac{5}{3} - 1\right| = \left|\frac{5}{3} - \frac{3}{3}\right| = \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}$$
إذن، $AB = \frac{2}{3}$ ✓
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً حيث $OI = OJ$ والنقاط: $A(5; 3), B(0; 3), C(0; -2)$ و $D(5; -2)$.
بيّن أن الرباعي $ABCD$ مربع.
لإثبات المربع نحتاج:
أو نستخدم خصائص القطرين:
1. إثبات أنه مستطيل:
• الأضلاع المتقابلة متوازية
• له زاوية قائمة في $A$
2. إثبات تقايس ضلعين متجاورين:
• $AB = |x_B - x_A| = |0 - 5| = 5$
• $AD = |y_D - y_A| = |-2 - 3| = 5$
• $AB = AD$
إثبات أن $ABCD$ مربع:
1. مستطيل:
- $(AB) \parallel (DC)$ و $(AD) \parallel (BC)$ (أضلاع متقابلة متوازية)
- $(AB) \perp (AD)$ (زاوية قائمة في $A$)
← $ABCD$ مستطيل
2. تقايس الأضلاع المتجاورة:
- $AB = 5$ (مسافة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة)
- $AD = 5$ (مسافة عمودية)
← $AB = AD$
الاستنتاج: بما أن $ABCD$ مستطيل وله ضلعان متجاوران متقايسان، فهو مربع ✓