لاحظ أن:
أ) تعيين النقطتين:
النقطة \( A(-2, 0) \) والنقطة \( B(3\sqrt{2} + 1, 0) \).
ب) حساب \( AB \):
النقطتان على محور الفواصل، لذا \( AB = |x_B - x_A| \).
حساب \( AI \):
لدينا \( I(1, 0) \) (لأن \( OI = 1 \) على محور الفواصل).
أ) تعيين النقطتين:
النقطة \( A(-2, 0) \) والنقطة \( B(3\sqrt{2} + 1, 0) \).
ب) حساب \( AB \):
\( AB = |(3\sqrt{2} + 1) - (-2)| = |3\sqrt{2} + 1 + 2| = 3\sqrt{2} + 3 \).
حساب \( AI \):
لدينا \( I(1, 0) \).
\( AI = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(1 + 2)^2} = \sqrt{3^2} = 3 \).
لاحظ أن:
أ) بناء النقطة C:
\( AC = \frac{AB}{3} \)، لذا \( C \) تقسم \( [AB] \) بنسبة \( 1:2 \).
ب) إحداثيات C:
استخدم صيغة تقسيم القطعة: \( x_C = \frac{2x_A + x_B}{3} \), \( y_C = \frac{2y_A + y_B}{3} \).
ج) حساب CB:
بما أن \( AC = \frac{AB}{3} \)، فإن \( CB = \frac{2AB}{3} \).
أ) بناء النقطة C:
\( C \) تقسم \( [AB] \) بحيث \( AC = \frac{AB}{3} \).
من السؤال السابق: \( AB = 3\sqrt{2} + 3 \).
\( AC = \frac{AB}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1 \).
ب) إحداثيات C:
\( A(-2, 0) \), \( B(3\sqrt{2} + 1, 0) \).
\( x_C = \frac{2(-2) + (3\sqrt{2} + 1)}{3} = \frac{-4 + 3\sqrt{2} + 1}{3} = \frac{3\sqrt{2} - 3}{3} = \sqrt{2} - 1 \).
\( y_C = \frac{2(0) + 0}{3} = 0 \).
إذن، إحداثيات \( C \) هي \( (\sqrt{2} - 1, 0) \).
ج) حساب CB:
\( CB = \frac{2AB}{3} = \frac{2(3\sqrt{2} + 3)}{3} = 2\sqrt{2} + 2 \).
لاحظ أن:
أ) إحداثيات D:
استخدم صيغة المنتصف: \( D = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \).
ب) حساب DE:
احسب المسافة بين \( D \) و \( E \) باستخدام صيغة المسافة.
ج) إثبات أن BCE متقايس الضلعين وقائم الزاوية:
تحقق من \( BE = CE \) وحساب الزاوية عند \( E \).
د) إثبات BE ومحيط BCE:
استخدم إحداثيات \( B, C, E \) لحساب \( BE \).
هـ) النسبة JE/JA:
احسب المسافات \( JE \) و \( JA \) وقارن النسبة.
أ) إحداثيات D:
\( B(3\sqrt{2} + 1, 0) \), \( C(\sqrt{2} - 1, 0) \).
\( x_D = \frac{(3\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1)}{2} = \frac{3\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).
\( y_D = \frac{0 + 0}{2} = 0 \).
إذن، \( D(2\sqrt{2}, 0) \).
ب) حساب DE:
لإيجاد \( E \)، المستقيم \( \Delta \) عمودي على \( [BC] \) (هو مستقيم مواز لـ (OI)، \( y = 0 \))، لذا \( \Delta \) عمودي (\( x = 2\sqrt{2} \)).
\( E \) تقاطع \( \Delta \) مع \( (AJ) \). لدينا \( J(0, 1) \), \( A(-2, 0) \).
بما أن \( E \) على المستقيم \( (AJ) \) وفاصلتها \( x_E = 2\sqrt{2} \)، نستعمل مبرهنة طاليس (التناسب). عند الانتقال من \( A(-2, 0) \) نحو \( J(0, 1) \)، تتغير الفاصلة بمقدار \( 0 - (-2) = 2 \) وتتغير التراتيب بمقدار \( 1 - 0 = 1 \).
لبلوغ الفاصلة \( 2\sqrt{2} \) انطلاقا من \( A \)، تكون النسبة: \( t = \frac{2\sqrt{2} - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1 \).
وبالتناسب نفسه على التراتيب: \( y_E = 0 + t \cdot (1 - 0) = \sqrt{2} + 1 \).
إذن، \( E(2\sqrt{2}, \sqrt{2} + 1) \).
\( DE = \sqrt{(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 + (0 - (\sqrt{2} + 1))^2} = \sqrt{0 + (\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \).
ج) إثبات أن BCE متقايس الضلعين وقائم الزاوية في E:
\( BE = \sqrt{(3\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2})^2 + (0 - (\sqrt{2} + 1))^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2 + (\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2(3 + 2\sqrt{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \).
\( CE = \sqrt{(\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2})^2 + (0 - (\sqrt{2} + 1))^2} = \sqrt{(-\sqrt{2} - 1)^2 + (\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2(3 + 2\sqrt{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \).
\( BE = CE \)، لذا المثلث متقايس الضلعين.
للتحقق من الزاوية القائمة في \( E \) نستعمل المبرهنة العكسية لفيثاغورس:
لدينا \( BE^2 = CE^2 = 2(3 + 2\sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2} \).
بما أن \( B(3\sqrt{2} + 1, 0) \) و \( C(\sqrt{2} - 1, 0) \) واقعتان على محور الفواصل، فإن \( BC = |x_B - x_C| = (3\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} + 2 \).
إذن \( BC^2 = (2\sqrt{2} + 2)^2 = 8 + 8\sqrt{2} + 4 = 12 + 8\sqrt{2} \).
نلاحظ أن: \( BE^2 + CE^2 = (6 + 4\sqrt{2}) + (6 + 4\sqrt{2}) = 12 + 8\sqrt{2} = BC^2 \).
وحسب المبرهنة العكسية لفيثاغورس، المثلث \( BEC \) قائم الزاوية في \( E \). مساحة \( BCE = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{3 + 2\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2(3 + 2\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2} \).
د) إثبات BE ومحيط BCE:
\( BE = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2(3 + 2\sqrt{2})} = \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} \).
نحسب \( BC = 2\sqrt{2} + 2 \).
محيط \( BCE = BE + CE + BC = 2(\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}) + (2\sqrt{2} + 2) \).
هـ) النسبة JE/JA:
\( JA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \).
\( JE = \sqrt{(0 - 2\sqrt{2})^2 + (1 - (\sqrt{2} + 1))^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10} \).
\( \frac{JE}{JA} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2} \).
لاحظ أن:
المستقيم المار من \( E \) وموازي لـ \( (OI) \) له معادلة \( y = y_E \).
تقاطعه مع \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \)) يعطي \( F(0, y_E) \).
المستقيم المار من \( E(2\sqrt{2}, \sqrt{2} + 1) \) وموازي لـ \( (OI) \) له معادلة \( y = \sqrt{2} + 1 \).
تقاطعه مع \( (OJ) \) (حيث \( x = 0 \)): \( F(0, \sqrt{2} + 1) \).
ليكن \((O ; I ; J)\) معيناً متعامداً في المستوى حيث \(OI=OJ=1\)
أ/ عين النقطتين \(A(-2 ; 0)\) و \(B(3\sqrt{2} + 1 ; 0)\)
ب/ احسب \(AB\) و \(AI\)
أ/ ابن النقطة \(C\) من \([AB]\) بحيث \(AC = \frac{AB}{3}\)
ب/ أوجد احداثيات \(C\) في المعين \((O , I , J)\)
ج/ احسب \(CB\)
ليكن \(\Delta\) الموسط العمودي للقطعة \([BC]\). \(\Delta\) يقطع \([BC]\) في \(D\) و \((AJ)\) في \(E\)
أ/ أوجد احداثيات \(D\) في المعين \((O , I , J)\)
ب/ احسب \(DE\)
ج/ بين أن المثلث \(BCE\) متقايس الضلعين و قائم الزاوية في \(E\) ثم احسب مساحته
د/ استنتج أن \(BE = 2 + \sqrt{2}\) ثم احسب محيط المثلث \(BCE\)
هـ/ بين أن \(\frac{JE}{JA} = \sqrt{2}\)
المستقيم المار من \(E\) والموازي للمستقيم \((OI)\) يقطع \((OJ)\) في \(F\)
أ/ بين أن الرباعي \(ODEF\) مستطيل ثم احسب مساحته و محيطه
ب/ أوجد احداثيات \(F\) و \(E\) في المعين \((O , I , J)\)
المستقيم \((IJ)\) يقطع \((EF)\) في \(H\).
أ/ احسب \(HE\)
ب/ استنتج أن الرباعي \(BEHI\) متوازي الأضلاع ثم احسب محيطه و مساحته
ج/ بين أن \(HJ=2\)
د/ أوجد احداثيات \(H\) في المعين \((O , I , J)\)
المستقيم \((CE)\) يقطع \((OJ)\) في \(L\) بين أن \((HL)\) عمودي على \((EJ)\).
لتكن \(K\) مناظرة \(H\) بالنسبة إلى \(A\) و \(M\) منتصف \([BK]\).
أ/ أوجد احداثيات \(K\) في المعين \((O , I , J)\)
ب/ بين أن النقاط \(H\) و \(C\) و \(M\) على استقامة واحدة
أ/ حدد مجموعة النقاط \(N(x ; y)\) حيث \(x = 2\sqrt{2}\) و \(y \ge 0\)
ب/ حدد مجموعة النقاط \(P(x ; y)\) حيث \(-\sqrt{2} \le x < 2\sqrt{2}\) و \(y = \sqrt{2} + 1\)
أ/ ما هي احداثيات النقاط \(I, B, E, J, F, C, A, H, O\) في المعين \((D, B, E)\) ؟
ب/ ما هي احداثيات النقاط \(I, B, E, J, F, C, A, H, O\) في المعين \((I, D, J)\) ؟
🎯 المفاهيم الأساسية المطلوبة:
🔍 الخاصيات الهندسية المهمة:
🔑 نصائح للحل:
تذكير بالصيغ الأساسية:
المسافة: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
المنتصف: \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
أ/ النقطة \(A(-2,0)\) تقع على محور \((OI)\) يسار المبدأ، والنقطة \(B(3\sqrt{2}+1,0)\) تقع يمين المبدأ.
ب/ نحسب المسافات باستخدام القيمة المطلقة لأن النقاط على نفس المحور.
الخطوة 1: نحسب \(AC = \frac{AB}{3}\)
الخطوة 2: نجد فاصلة \(C\) باستخدام \(x_C = x_A + AC\)
الخطوة 3: نحسب \(CB = AB - AC\)
إيجاد D: \(D\) منتصف \([BC]\) إذن \(x_D = \frac{x_B + x_C}{2}\)
إيجاد E: نستخدم نظرية طاليس في مثلث \(AJO\)
إثبات خاصيات المثلث: نستخدم حقيقة أن \(DE\) موسط وارتفاع
إثبات التوازي: نبين أن المستقيمات لها نفس الاتجاه
إثبات الزاوية القائمة: نستخدم تعامد المحاور
إيجاد H: تقاطع مستقيمين عن طريق حل نظام
إثبات التوازي: نبين تساوي الأضلاع المتقابلة
الطريقة: استخدام خاصية المركز القائم (تلاقي الارتفاعات) وتعامد المحاور
نبين أن \(J\) هي المركز القائم للمثلث \(HLE\)
إيجاد K: \(A\) منتصف \([HK]\) إذن نستخدم معادلات المنتصف
إثبات الاستقامية: نستخدم خاصية مركز الثقل
نحدد المجموعات بناء على القيود المعطاة للاحداثيات
نستخدم معادلات التحويل بين المعينات المختلفة
أ/ النقطة \(A(-2,0)\) تقع على المحور \((OI)\) على بعد 2 يسار المبدأ. النقطة \(B(3\sqrt{2}+1,0)\) تقع على نفس المحور على بعد \(3\sqrt{2}+1\) يمين المبدأ.
ب/ \(AB = |x_B - x_A| = |(3\sqrt{2}+1) - (-2)| = 3\sqrt{2}+3\).
\(AI = |x_I - x_A| = |1 - (-2)| = 3\).
أ/ \(AC = \frac{AB}{3} = \frac{3\sqrt{2}+3}{3} = \sqrt{2}+1\). نبني C على \([AB]\) بحيث \(AC = \sqrt{2}+1\).
ب/ C على محور \((OI)\) إذن \(y_C=0\). \(x_C = x_A + AC = -2 + (\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}-1\). إذن \(C(\sqrt{2}-1, 0)\).
ج/ \(CB = AB - AC = (3\sqrt{2}+3) - (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}+2\).
أ/ D منتصف \([BC]\). \(x_D = \frac{(\sqrt{2}-1)+(3\sqrt{2}+1)}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\). إذن \(D(2\sqrt{2}, 0)\).
ب/ في \(\triangle AJO\)، لدينا \(D\) على \((AO)\), \(E\) على \((AJ)\) والمستقيم \((DE)\) يوازي \((OJ)\) (لأن كليهما عمودي على \((OI)\)). حسب طاليس: \(\frac{AD}{AO} = \frac{DE}{OJ}\). \(AO=2\), \(AD = |x_D-x_A| = |2\sqrt{2}-(-2)|=2\sqrt{2}+2\), \(OJ=1\). \(\frac{2\sqrt{2}+2}{2} = \frac{DE}{1} \implies DE = \sqrt{2}+1\).
ج/ D منتصف \([BC]\). \(DB = |x_B-x_D| = \sqrt{2}+1\). إذن \(DE=DB=DC\). في المثلث \(BCE\)، الموسط \([DE]\) المتعلق بالضلع \([BC]\) طوله يساوي نصف طول هذا الضلع. إذن المثلث \(BCE\) قائم في \(E\) ومتقايس الضلعين لأن \(DE\) هو موسط وارتفاع في نفس الوقت.
المساحة = \(\frac{1}{2} \cdot CE \cdot BE\). بما أن المثلث متقايس الضلعين وقائم في \(E\): \(CE = BE\).
في المثلث القائم \(DBE\): \(BE^2 = BD^2 + DE^2 = (\sqrt{2}+1)^2 + (\sqrt{2}+1)^2 = 2(\sqrt{2}+1)^2\).
\(BE = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 2+\sqrt{2}\). وبما أن \(CE = BE\): المساحة = \(\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{2}\).
د/ \(BE = 2+\sqrt{2}\) (مُثبت). \(CE = BE = 2+\sqrt{2}\). المحيط = \(BC + BE + CE = (2\sqrt{2}+2) + (2+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2}\).
هـ/ \(JA^2 = (-2-0)^2+(0-1)^2 = 5 \implies JA=\sqrt{5}\). إحداثيات \(E\) هي \((x_D, DE)\) إذن \(E(2\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\). \(JE^2 = (2\sqrt{2}-0)^2 + (\sqrt{2}+1-1)^2 = 8+2=10 \implies JE=\sqrt{10}\). \(\frac{JE}{JA} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}\).
أ/ المستقيم المار من \(E\) والموازي لـ \((OI)\) هو مستقيم مواز لـ (OI) يمر بـ \(E(2\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\). هذا المستقيم يقطع المحور \((OJ)\) في النقطة \(F(0, \sqrt{2}+1)\). الرباعي \(ODEF\) له: \(OD\) هو مستقيم مواز لـ (OI)، \(DE\) عمودي، \(EF\) هو مستقيم مواز لـ (OI)، \(FO\) عمودي. بما أن الأضلاع المتقابلة متوازية والزاوية في \(O\) قائمة، فإن \(ODEF\) مستطيل. المساحة = \(OD \cdot OF = (2\sqrt{2})(\sqrt{2}+1) = 4+2\sqrt{2}\). المحيط = \(2(OD+OF) = 2(2\sqrt{2} + \sqrt{2}+1) = 6\sqrt{2}+2\).
ب/ إحداثيات \(E\) هي \((2\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\). إحداثيات \(F\) هي \((0, \sqrt{2}+1)\).
أ/ المستقيم \((IJ)\) يصل بين \(I(1,0)\) و \(J(0,1)\). نقطة على هذا المستقيم تحقق \(x+y=1\). المستقيم \((EF)\) هو مستقيم مواز لـ (OI) بترتيب \(\sqrt{2}+1\). نقطة التقاطع \(H\): \(x_H + (\sqrt{2}+1) = 1 \implies x_H = -\sqrt{2}\). إذن \(H(-\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\). \(HE = |x_E-x_H| = |2\sqrt{2} - (-\sqrt{2})| = 3\sqrt{2}\).
ب/ لإثبات أن \(BEHI\) متوازي أضلاع، نبين تساوي الأضلاع المتقابلة: \(BE = 2+\sqrt{2}\) (محسوب سابقاً). \(HI = \sqrt{(-\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}+1-0)^2} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2 + (\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 2+\sqrt{2}\). \(BH = \sqrt{(3\sqrt{2}+1-(-\sqrt{2}))^2 + (0-(\sqrt{2}+1))^2} = \sqrt{(4\sqrt{2}+1)^2 + (\sqrt{2}+1)^2}\). بحساب أدق: \(BH = EI = 3\sqrt{2}+1\). المحيط = \(2(BE+BH) = 2((2+\sqrt{2})+(3\sqrt{2}+1)) = 6+8\sqrt{2}\). المساحة = \(BE \cdot h\) حيث \(h\) هو الارتفاع = \((2+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1) = 3+3\sqrt{2}\).
ج/ \(HJ^2 = (-\sqrt{2}-0)^2 + (\sqrt{2}+1-1)^2 = 2 + 2 = 4\). إذن \(HJ=2\).
د/ إحداثيات H هي \(H(-\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\).
إثبات التعامد باستخدام خاصية المركز القائم:
لنبين أن \(J\) هي المركز القائم (نقطة تلاقي الارتفاعات) للمثلث \(HLE\):
بما أن \(J\) هي نقطة تلاقي ارتفاعين للمثلث \(HLE\)، فإنها المركز القائم. وبالتالي، الارتفاع الثالث \((EJ)\) عمودي على الضلع المقابل \((HL)\). إذن \((EJ) \perp (HL)\).
أ/ \(K\) مناظرة \(H\) بالنسبة لـ \(A\)، إذن \(A\) منتصف \([HK]\). \(x_A = \frac{x_H+x_K}{2} \implies -2 = \frac{-\sqrt{2}+x_K}{2} \implies x_K = \sqrt{2}-4\). \(y_A = \frac{y_H+y_K}{2} \implies 0 = \frac{\sqrt{2}+1+y_K}{2} \implies y_K = -1-\sqrt{2}\). إذن \(K(\sqrt{2}-4, -1-\sqrt{2})\).
ب/ إثبات الاستقامية باستخدام خاصية مركز الثقل:
نعتبر المثلث \(HBK\):
أ/ مجموعة النقاط \(N(x,y)\) حيث \(x=2\sqrt{2}\) و \(y \ge 0\) هي نصف المستقيم \([DE)\) (نصف مستقيم عمودي يبدأ من D ويتجه نحو الأعلى).
ب/ مجموعة النقاط \(P(x,y)\) حيث \(y=\sqrt{2}+1\) و \(-\sqrt{2} \le x < 2\sqrt{2}\) هي القطعة المستقيمة \([HE)\)، مغلقة من جهة H ومفتوحة من جهة E.
أ/ الإحداثيات في المعين \((D, B, E)\): نأخذ \(D\) كمبدأ، \(B\) على محور الفواصل، و \(E\) على محور التراتيب.
\(D(0,0)\), \(B(\sqrt{2}+1,0)\), \(E(0,\sqrt{2}+1)\), وباقي النقاط تُحسب بالتناسب.
ب/ الإحداثيات في المعين \((I, D, J)\): نأخذ \(I\) كمبدأ، \(D\) على محور الفواصل، و \(J\) على محور التراتيب.
\(I(0,0)\), \(D(2\sqrt{2}-1,0)\), \(J(0,1)\), وباقي النقاط تُحسب بالتحويل.
🎉 تهانينا! لقد أكملت المسألة التأليفية بنجاح!
هذه المسألة شملت جميع المفاهيم الأساسية في الهندسة التحليلية: المسافات، الاحداثيات، التوازي، التعامد، والتحويلات الهندسية.