سؤال 1: تعيين النقطتين A و C وحساب منتصف [AC]

💡 مؤشر

لاحظ أن:

تعيين النقاط يعني تحديد إحداثياتها مباشرة من المعطيات.
صيغة منتصف قطعة مستقيمة: إذا كانت النقطتان \( A(x_1, y_1) \) و \( C(x_2, y_2) \)، فإن منتصف \( [AC] \) هو \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).

📝 الطريقة

تعيين النقطتين:

النقطة \( A(5,4) \) والنقطة \( C(-3,-2) \).

حساب منتصف [AC]:

طبق صيغة المنتصف: \( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} \), \( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} \).

✅ الحل الكامل

تعيين النقطتين:

النقطة \( A(5,4) \) والنقطة \( C(-3,-2) \).

حساب إحداثيات النقطة P منتصف [AC]:

\( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

\( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

إذن، إحداثيات النقطة \( P \) هي \( (1, 1) \).

سؤال 2: تعيين النقطتين B و D وإثبات أن ABCD متوازي أضلاع

💡 مؤشر

لاحظ أن:

للرباعي أن يكون متوازي أضلاع، يجب أن تكون القطران لهما نفس المنتصف.
القطران هما [AC] و [BD].
استخدم إحداثيات النقاط للتحقق من أن منتصف [AC] يساوي منتصف [BD].

📝 الطريقة

تعيين النقطتين:

النقطة \( B(2,-3) \) والنقطة \( D(0,5) \).

إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:

احسب منتصف القطر [BD] وقارنه بمنتصف [AC].

صيغة المنتصف: \( \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \).

✅ الحل الكامل

تعيين النقطتين:

النقطة \( B(2,-3) \) والنقطة \( D(0,5) \).

إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:

منتصف القطر [AC] هو النقطة \( P(1, 1) \).

نحسب منتصف القطر [BD]:

\( x_{\text{منتصف}} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \).

\( y_{\text{منتصف}} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \).

منتصف [BD] هو أيضًا النقطة \( (1, 1) \).

بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

سؤال 3: إحداثيات النقطة C' وإثبات أن المثلث DCC' متقايس الضلعين

💡 مؤشر

لاحظ أن:

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) يحوّل \( (x,y) \) إلى \( (-x,y) \).
محور التناظر (OJ) هو الموسط العمودي للقطعة [CC'].
إذا كانت D على محور التناظر، فإن \( DC = DC' \).

📝 الطريقة

إيجاد إحداثيات C':

طبق التناظر بالنسبة لمحور التراتيب على \( C(-3,-2) \).

إثبات أن DCC' متقايس الضلعين:

تحقق من أن D تقع على محور التراتيب (OJ) وأن (OJ) هو الموسط العمودي لـ [CC'].

✅ الحل الكامل

إحداثيات النقطة C':

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) يحوّل \( (x,y) \) إلى \( (-x,y) \).

لدينا \( C(-3,-2) \).

\( C' = (-(-3), -2) = (3, -2) \).

إذن، إحداثيات C' هي \( (3, -2) \).

تبيين أن المثلث DCC' متقايس الضلعين:

النقطة \( D(0,5) \) فاصلتها 0، إذن D تنتمي إلى محور التراتيب (OJ).

محور التناظر (OJ) هو الموسط العمودي للقطعة [CC'].

بما أن D تنتمي لهذا الموسط العمودي، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة، أي \( DC = DC' \).

إذن، المثلث DCC' متقايس الضلعين في الرأس D.

سؤال 4: مجموعة النقاط M و N

💡 مؤشر

لاحظ أن:

الشرط \( y = -2 \), \( -3 \le x \le 3 \) يحدد قطعة مستقيمة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة.
الشرط \( x = 0 \), \( y \le 5 \) يحدد نصف مستقيم عمودي.
ربط الشروط بالنقاط المعطاة (مثل C و D).

📝 الطريقة

مجموعة النقاط M:

الشروط \( y = -2 \), \( -3 \le x \le 3 \) تحدد قطعة مستقيمة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة.

مجموعة النقاط N:

الشروط \( x = 0 \), \( y \le 5 \) تحدد نصف مستقيم عمودي على محور التراتيب.

✅ الحل الكامل

مجموعة النقاط M:

الشروط \( y = -2 \), \( -3 \le x \le 3 \) تحدد جميع النقاط التي ترتيبها -2 وفاصلتها بين -3 و 3.

هذه النقاط تشكل القطعة المستقيمة [CC'].

مجموعة النقاط N:

الشروط \( x = 0 \), \( y \le 5 \) تحدد جميع النقاط على محور التراتيب التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 5.

هذه المجموعة هي نصف المستقيم الذي أصله D و حامله (OJ) ولا يحتوي على النقطة J.

الإحداثيات في المستوي

دفواراتي

الإحداثيات، المنتصف، ومتوازي الأضلاع

تمرين 36

نعتبر معيّنا متعامدا في المستوي \((O,I,J)\).

عيّن النقطتين \( A(5,4) \) و \( C(-3,-2) \).
احسب إحداثيات النقطة P منتصف [AC] ثم عيّنها.
عيّن النقطتين \( B(2,-3) \) و \( D(0,5) \).
1. بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
لتكن النقطة 'C مناظرة C بالنسبة إلى محور التراتيب (OJ).
1. ما هي إحداثيات النقطة 'C ؟
2. بيّن أنّ المثلث DCC' متقايس الضلعين.
1. ما هي مجموعة النقاط \(M(x,y)\) بحيث \(y=-2\) و \( -3 \le x \le 3 \) ؟
2. ما هي مجموعة النقاط \(N(x,y)\) بحيث \(x=0\) و \( y \le 5 \) ؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمنتصف قطعة: تذكر القاعدة \( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} \) و \( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} \).
لمتوازي الأضلاع: ما هي الخاصية التي تربط بين قطري متوازي الأضلاع؟ فكر في منتصفيهما.
للتناظر المحوري: كيف تتغير إحداثيات نقطة \( (x,y) \) عند مناظرتها بالنسبة لمحور التراتيب (OJ)؟
للمثلث متقايس الضلعين: إذا كانت نقطة D تنتمي للموسط العمودي لقطعة ['CC]، فماذا يمكن أن تستنتج بخصوص المسافتين DC و 'DC؟
لمجموعات النقاط: ترجم الشروط. \(y=-2\) يمثل مستقيما هو مستقيم مواز لـ (OI)ا، و \(x=0\) يمثل مستقيما عموديا (محور التراتيب).

📝 الطريقة

2) إحداثيات P منتصف [AC]:
طبق مباشرة قاعدة المنتصف على إحداثيات A و C.

3) إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:
لقد حسبت منتصف القطر [AC] في السؤال السابق. الآن، قم بحساب إحداثيات منتصف القطر الثاني [BD]. إذا كانت النتيجتان متطابقتين، فالرباعي متوازي أضلاع.

4) دراسة النقطة 'C والمثلث DCC':
أ- طبق قاعدة التناظر بالنسبة للمحور (OJ) على النقطة C: \( (x,y) \rightarrow (-x,y) \).
ب- تحقق أولاً أن النقطة D تنتمي إلى محور التناظر (OJ) (لاحظ فاصلتها). بما أن محور التناظر هو الموسط العمودي لـ ['CC]، استنتج تساوي المسافتين DC و 'DC.

5) تحديد مجموعات النقاط:
أ- الشرطان \(y=-2\) و \( -3 \le x \le 3 \) يصفان قطعة مستقيمة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة. حدد نقطتي البداية والنهاية لهذه القطعة.
ب- الشرطان \(x=0\) و \( y \le 5 \) يصفان جزءاً من محور التراتيب. حدد نقطة البداية واتجاه هذا الجزء.

✅ الحل الكامل

2) إحداثيات النقطة P منتصف [AC]:

نطبق قاعدة حساب إحداثيات المنتصف:

\( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

إذن، إحداثيات النقطة P هي \( (1, 1) \).

3) تبيين أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع:

يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كان لقطريه [AC] و [BD] نفس المنتصف.
- منتصف القطر [AC] هو النقطة \( P(1, 1) \).
- نحسب منتصف القطر [BD]:

\( x_{\text{منتصف}} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_{\text{منتصف}} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

منتصف [BD] هو أيضا النقطة \( (1, 1) \). بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

4) أ- إحداثيات النقطة 'C:

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) يحوّل \( (x,y) \) إلى \( (-x,y) \). لدينا \( C(-3,-2) \).

\( C' = (-(-3), -2) = (3, -2) \). إحداثيات 'C هي \( (3, -2) \).

4) ب- تبيين أن المثلث DCC' متقايس الضلعين:

النقطة \( D(0,5) \) فاصلتها 0، إذن D تنتمي إلى محور التراتيب (OJ). محور التناظر (OJ) هو الموسط العمودي للقطعة ['CC]. بما أن D تنتمي لهذا الموسط العمودي، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة، أي \( DC = DC' \). إذن، المثلث DCC' متقايس الضلعين في الرأس D.

5) أ- مجموعة النقاط M:

الشروط \(y=-2\) و \( -3 \le x \le 3 \) تحدد جميع النقاط التي ترتيبها -2 وفاصلتها بين -3 و 3. هذه النقاط تشكل القطعة المستقيمة ['CC].

5) ب- مجموعة النقاط N:

الشروط \(x=0\) و \( y \le 5 \) تحدد جميع النقاط على محور التراتيب التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 5. هذه المجموعة هي نصف المستقيم الذي أصله D و حامله (OJ) ولا يحتوي على النقطة J.