التمرين رقم 2 - المعين المتعامد

✅ الحل الكامل

أ) النقاط معينة بإحداثياتها \( A(2,4) \) و \( E(-4,4) \).

ب) المستقيم \( (OI) \) هو محور الفواصل، وهو مستقيم مواز لـ (OI) \( y=0 \).

نلاحظ أن للنقطتين \(E\) و \(A\) نفس الترتيب (ordonnée) وهو 4.

بما أن المستقيمين \( (OI) \) و \( (EA) \) كلاهما هو مستقيم مواز لـ (OI)، فإنهما متوازيان.

✅ الحل الكامل

بما أن المستقيم \( (AE) \) هو مستقيم مواز لـ (OI)، فإن المسافة بين \(A\) و \(E\) هي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما.

\( AE = |x_E - x_A| = |-4 - 2| = |-6| = 6 \)

إذن، المسافة \( AE \) تساوي 6 وحدات طول.

✅ الحل الكامل

أ) إحداثيات النقطة C:

النقطة \(C\) هي مناظرة \(A(2,4)\) بالنسبة للمبدأ \(O(0,0)\). هذا يعني أن \(O\) هي منتصف القطعة \( [AC] \).

إذا كانت إحداثيات \(C\) هي \( (x_C, y_C) \)، فإن:

\( \frac{x_A + x_C}{2} = x_O \implies \frac{2 + x_C}{2} = 0 \implies x_C = -2 \)

\( \frac{y_A + y_C}{2} = y_O \implies \frac{4 + y_C}{2} = 0 \implies y_C = -4 \)

إذن، إحداثيات النقطة \(C\) هي \( (-2, -4) \).

ج) إحداثيات النقطة D:

إحداثيات \(D\) هي \( (-3, 0) \). نلاحظ أن فاصلتها سالبة كما هو مطلوب.

ب) تبيين أن الرباعيين متوازيا أضلاع:

أولاً، نحدد إحداثيات \(B\). \(B\) هي مناظرة \(D(-3,0)\) بالنسبة للمبدأ \(O\).

إذن، \( x_B = -x_D = 3 \) و \( y_B = -y_D = 0 \). إحداثيات \(B\) هي \( (3,0) \).

هل \( ABCD \) متوازي أضلاع؟ نحسب منتصف القطرين \( [AC] \) و \( [BD] \):

منتصف \( [AC] \): \( (0, 0) = O \)

منتصف \( [BD] \): \( (\frac{3 + (-3)}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (0, 0) = O \)

بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن \( ABCD \) متوازي أضلاع.

هل \( ABDE \) متوازي أضلاع؟ نحسب منتصف القطرين \( [AD] \) و \( [BE] \):

منتصف \( [AD] \): \( (\frac{2 + (-3)}{2}, \frac{4 + 0}{2}) = (-\frac{1}{2}, 2) \)

منتصف \( [BE] \): \( (\frac{3 + (-4)}{2}, \frac{0 + 4}{2}) = (-\frac{1}{2}, 2) \)

بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن \( ABDE \) متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

يجب أن نثبت أن للرباعي \( AHCK \) قطرين لهما نفس المنتصف.

أحد القطرين هو \( [AC] \). لقد حسبنا منتصفه سابقاً ووجدناه النقطة \( O(0,0) \).

القطر الثاني هو \( [HK] \). يجب أن نجد إحداثيات \(H\) و \(K\).

حساب إحداثيات H:

المستقيم \( (OJ) \) هو محور التراتيب، \( x=0 \). إذن فاصلة كل من \(H\) و \(K\) هي 0.

نُسقط \(A(2,4)\) و \(D(-3,0)\) أفقياً على \((OJ)\) فنحصل على \(A'(0,4)\) و \(D'(0,0)\). بما أن \((AA')\) و \((DD')\) أفقيان فهما متوازيان، وبتطبيق نظرية طالس على المستقيمين المتوازيين المقطوعين بالقاطعين \((AD)\) و \((OJ)\):

\( \dfrac{HA'}{HD'} = \dfrac{A'A}{D'D} = \dfrac{2}{3} \)، وبما أن \(H(0, y_H)\) بين \(A'\) و \(D'\): \( \dfrac{4 - y_H}{y_H} = \dfrac{2}{3} \)، ومنه \( 3(4 - y_H) = 2\,y_H \) أي \( y_H = \frac{12}{5} = 2.4 \). إذن \( H(0, 2.4) \).

حساب إحداثيات K:

النقطة \(K\) هي تقاطع \( (BC) \) و \( (OJ) \) حيث \(B(3,0)\) و \(C(-2,-4)\). بالإسقاط الأفقي على \((OJ)\) نحصل على \(B'(0,0)\) و \(C'(0,-4)\)، وبنظرية طالس:

\( \dfrac{KB'}{KC'} = \dfrac{B'B}{C'C} = \dfrac{3}{2} \)، وبما أن \(K(0, y_K)\) بين \(B'\) و \(C'\): \( \dfrac{-y_K}{y_K + 4} = \dfrac{3}{2} \)، ومنه \( -2\,y_K = 3(y_K + 4) \) أي \( y_K = -\frac{12}{5} = -2.4 \). إذن \( K(0, -2.4) \).

النتيجة:

الآن نحسب منتصف القطر \( [HK] \):

\( (\frac{0+0}{2}, \frac{2.4 + (-2.4)}{2}) = (0,0) = O \)

بما أن منتصف \( [AC] \) هو \( O \) ومنتصف \( [HK] \) هو أيضاً \( O \)، فإن للقطرين نفس المنتصف.

إذن، الرباعي \( AHCK \) متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

أ) تبيين أن \( EF=AC \):

لا يمكن حساب المسافات المائلة مباشرة بالقيمة المطلقة. ولكن يمكننا مقارنة الأبعاد الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة والعمودية لكل قطعة.

للقطعة \( [AC] \) حيث \(A(2,4)\) و \(C(-2,-4)\):

الإزاحة الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة = \( |x_C - x_A| = |-2 - 2| = 4 \)

الإزاحة العمودية = \( |y_C - y_A| = |-4 - 4| = 8 \)

للقطعة \( [EF] \) حيث \(E(-4,4)\) و \(F(-8,-4)\):

الإزاحة الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة = \( |x_F - x_E| = |-8 - (-4)| = 4 \)

الإزاحة العمودية = \( |y_F - y_E| = |-4 - 4| = 8 \)

بما أن للقطعتين نفس الإزاحة الهو مستقيم مواز لـ (OI)ة ونفس الإزاحة العمودية، فهما متساويتان في الطول. إذن \( EF=AC \).

ب) حساب المسافة OG:

النقطة \(G\) هي تقاطع المستقيم \( (FC) \) مع المستقيم \( (OJ) \).

لدينا \( F(-8,-4) \) و \( C(-2,-4) \). نلاحظ أن لهما نفس الترتيب \(y=-4\).

نقطة التقاطع \(G\) تحقق المعادلتين، إذن إحداثياتها هي \( (0, -4) \).

المسافة \(OG\) هي المسافة بين المبدأ \( O(0,0) \) والنقطة \( G(0,-4) \).

بما أن النقطتين تقعان على محور التراتيب، فالمسافة هي القيمة المطلقة للفرق بين ترتيبيهما.

\( OG = |y_G - y_O| = |-4 - 0| = 4 \)

إذن، المسافة \(OG\) تساوي 4.