تمارين تطبيقية على التناظر في المعلم

تمرين 8: تحديد النقاط المتناظرة

💡 مؤشر

تذكر القواعد الثلاث:

بالنسبة لـ $ (OI) $: الفاصلة تبقى نفسها، الترتيب يتقابل.
بالنسبة لـ $ (OJ) $: الفاصلة تتقابل، الترتيب يبقى نفسه.
بالنسبة لـ $ O $: الفاصلة والترتيب يتقابلان.

📝 الطريقة

بالنسبة لـ $ (OI) $: ابحث عن نقطتين لهما نفس الفاصلة وترتيبين متقابلين.
بالنسبة لـ $ (OJ) $: ابحث عن نقطتين لهما ترتيبين متماثلين وفاصلتين متقابلتين.
بالنسبة لـ $ O $: ابحث عن نقطتين لهما فاصلتين متقابلتين وترتيبين متقابلين.

✅ الحل الكامل

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $ (OI) $:

النقطتان $ A(-\sqrt{3}; -2) $ و $ B(-\sqrt{3}; 2) $ (نفس الفاصلة $ -\sqrt{3} $، ترتيبان متقابلان $ -2 $ و $ 2 $).
النقطتان $ C(\sqrt{3}; -2) $ و $ D(\sqrt{3}; 2) $ (نفس الفاصلة $ \sqrt{3} $، ترتيبان متقابلان $ -2 $ و $ 2 $).

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $ (OJ) $:

النقطتان $ A(-\sqrt{3}; -2) $ و $ C(\sqrt{3}; -2) $ (ترتيبان متماثلان $ -2 $، فاصلتان متقابلتان $ -\sqrt{3} $ و $ \sqrt{3} $).
النقطتان $ B(-\sqrt{3}; 2) $ و $ D(\sqrt{3}; 2) $ (ترتيبان متماثلان $ 2 $، فاصلتان متقابلتان $ -\sqrt{3} $ و $ \sqrt{3} $).

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $ O $:

النقطتان $ A(-\sqrt{3}; -2) $ و $ D(\sqrt{3}; 2) $ (فاصلتان متقابلتان $ -\sqrt{3} $ و $ \sqrt{3} $، ترتيبان متقابلان $ -2 $ و $ 2 $).
النقطتان $ B(-\sqrt{3}; 2) $ و $ C(\sqrt{3}; -2) $ (فاصلتان متقابلتان $ -\sqrt{3} $ و $ \sqrt{3} $، ترتيبان متقابلان $ 2 $ و $ -2 $).

تمرين 9: إكمال الفراغات

💡 مؤشر

حلل العلاقة بين إحداثيات كل زوج من النقاط لتحديد نوع التناظر. بالنسبة للأسئلة الأخيرة، طبق القاعدة بالعكس لإيجاد الإحداثيات المجهولة.

📝 الطريقة

لكل سطر، طبق القاعدة المناسبة:

$ (OJ) $: نفس الترتيب، فاصلتان متقابلتان.
$ (OI) $: نفس الفاصلة، ترتيبان متقابلان.
$ O $: فاصلتان متقابلتان، ترتيبان متقابلان.

بالنسبة للسؤال الأخير، إذا كانت نقطتان متناظرتان بالنسبة لـ $ O $ و $ (OJ) $ في نفس الوقت، فهذا يضع قيودًا قوية على إحداثياتهما.

✅ الحل الكامل

النقطتان $ A(-1; \sqrt{5}) $ و $ B(1; \sqrt{5}) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ (OJ) $. (نفس الترتيب $ \sqrt{5} $، فاصلتان متقابلتان $ -1 $ و $ 1 $)
النقطتان $ C(-3; \sqrt{2}) $ و $ D(-3; -\sqrt{2}) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ (OI) $. (نفس الفاصلة $ -3 $، ترتيبان متقابلان $ \sqrt{2} $ و $ -\sqrt{2} $)
النقطتان $ E(-\sqrt{2}-1; -\frac{4}{3}) $ و $ F(\sqrt{2}+1; -\frac{4}{3}) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ (OJ) $. (نفس الترتيب $ -\frac{4}{3} $، فاصلتان متقابلتان لأن $ -(\sqrt{2}+1) = -\sqrt{2}-1 $)
النقطتان $ G(2; 1) $ و $ H(2; -1) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ (OI) $. (نفس الفاصلة $ 2 $، ترتيبان متقابلان $ 1 $ و $ -1 $)
النقطتان $ K(-\frac{3}{7}; 8) $ و $ L(\frac{3}{7}; 8) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ (OJ) $. (نفس الترتيب $ 8 $، فاصلتان متقابلتان $ -\frac{3}{7} $ و $ \frac{3}{7} $)
النقطتان $ M(-\sqrt{7}; -\sqrt{7}) $ و $ N(\sqrt{7}; \sqrt{7}) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ O $. (فاصلتان متقابلتان $ -\sqrt{7} $ و $ \sqrt{7} $، ترتيبان متقابلان $ -\sqrt{7} $ و $ \sqrt{7} $)
النقطتان $ R(-\sqrt{3}; 0) $ و $ S(\sqrt{3}; 0) $ متناظرتان بالنسبة إلى $ O $ ومتناظرتان بالنسبة إلى $ (OJ) $. (لكي تكونا متناظرتين بالنسبة للمحورين في نفس الوقت، يجب أن يكون ترتيبهما $ 0 $)

تمارين تطبيقية على التناظر في المعلم

إعداد الأستاذ: دفواراتي

تحديد النقاط المتناظرة

تمرين 8

ليكن $(O, I, J)$ معينا متعامدا في المستوي.

من بين هذه النقاط: $A(-\sqrt{3}; -2)$ ، $B(-\sqrt{3}; 2)$ ، $C(\sqrt{3}; -2)$ ، $D(\sqrt{3}; 2)$

أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى المستقيم $(OI)$.
أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى المستقيم $(OJ)$.
أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى النقطة $O$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر القواعد الثلاث:
- بالنسبة لـ $(OI)$: الفاصلة تبقى نفسها، الترتيب يتقابل.
- بالنسبة لـ $(OJ)$: الفاصلة تتقابل، الترتيب يبقى نفسه.
- بالنسبة لـ $O$: الفاصلة والترتيب يتقابلان.

📝 الطريقة

1. بالنسبة لـ $(OI)$: ابحث عن نقطتين لهما نفس الفاصلة وترتيبين متقابلين.
2. بالنسبة لـ $(OJ)$: ابحث عن نقطتين لهما ترتيبين متماثلين وفاصلتين متقابلتين.
3. بالنسبة لـ $O$: ابحث عن نقطتين لهما فاصلتين متقابلتين وترتيبين متقابلين.

✅ الحل الكامل

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $(OI)$:
- النقطتان $A(-\sqrt{3}; -2)$ و $B(-\sqrt{3}; 2)$ (نفس الفاصلة، ترتيبان متقابلان).
- النقطتان $C(\sqrt{3}; -2)$ و $D(\sqrt{3}; 2)$ (نفس الفاصلة، ترتيبان متقابلان).
النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $(OJ)$:
- النقطتان $A(-\sqrt{3}; -2)$ و $C(\sqrt{3}; -2)$ (ترتيبان متماثلان، فاصلتان متقابلتان).
- النقطتان $B(-\sqrt{3}; 2)$ و $D(\sqrt{3}; 2)$ (ترتيبان متماثلان، فاصلتان متقابلتان).
النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $O$:
- النقطتان $A(-\sqrt{3}; -2)$ و $D(\sqrt{3}; 2)$ (فاصلتان وترتيبان متقابلان).
- النقطتان $B(-\sqrt{3}; 2)$ و $C(\sqrt{3}; -2)$ (فاصلتان وترتيبان متقابلان).

إكمال الفراغات

تمرين 9

ليكن $(O; I; J)$ معينا متعامدا في المستوي. أكمل بما يناسب:

النقطتان $A(-1; \sqrt{5})$ و $B(1; \sqrt{5})$ متناظرتان بالنسبة إلى ....................
النقطتان $C(-3; \sqrt{2})$ و $D(-3; -\sqrt{2})$ متناظرتان بالنسبة إلى ....................
النقطتان $E(-\sqrt{2}-1; -\frac{4}{3})$ و $F(\sqrt{2}+1; -\frac{4}{3})$ متناظرتان بالنسبة إلى ....................
النقطتان $G(........; ........)$ و $H(2; -1)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$.
النقطتان $K(-\frac{3}{7}; ........)$ و $L(........; 8)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$.
النقطتان $M(-\sqrt{7}; ........)$ و $N(........; \sqrt{7})$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.
النقطتان $R(........; ........)$ و $S(\sqrt{3}; ........)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$ و متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

📝 الطريقة

لكل سطر، طبق القاعدة المناسبة:
- **(OJ):** نفس الترتيب، فاصلتان متقابلتان.
- **(OI):** نفس الفاصلة، ترتيبان متقابلان.
- **O:** فاصلتان متقابلتان، ترتيبان متقابلان.
بالنسبة للسؤال الأخير، إذا كانت نقطتان متناظرتان بالنسبة لـ $O$ و $(OJ)$ في نفس الوقت، فهذا يضع قيودًا قوية على إحداثياتهما.

✅ الحل الكامل

النقطتان $A(-1; \sqrt{5})$ و $B(1; \sqrt{5})$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$. (نفس الترتيب، فاصلتان متقابلتان)
النقطتان $C(-3; \sqrt{2})$ و $D(-3; -\sqrt{2})$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$. (نفس الفاصلة، ترتيبان متقابلان)
النقطتان $E(-\sqrt{2}-1; -\frac{4}{3})$ و $F(\sqrt{2}+1; -\frac{4}{3})$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$. (نفس الترتيب، فاصلتان متقابلتان لأن $-(\sqrt{2}+1) = -\sqrt{2}-1$)
النقطتان $G(2; 1)$ و $H(2; -1)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$. (نفس الفاصلة، ترتيبان متقابلان)
النقطتان $K(-\frac{3}{7}; 8)$ و $L(\frac{3}{7}; 8)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$. (نفس الترتيب، فاصلتان متقابلتان)
النقطتان $M(-\sqrt{7}; -\sqrt{7})$ و $N(\sqrt{7}; \sqrt{7})$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$. (فاصلتان وترتيبان متقابلان)
النقطتان $R(-\sqrt{3}; 0)$ و $S(\sqrt{3}; 0)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$ و متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$. (لكي تكونا متناظرتين بالنسبة للمحورين في نفس الوقت، يجب أن يكون ترتيبهما 0)