التمرين عدد 4

📊 الهندسة التحليلية 🔷 متوازي الأضلاع ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 4
متوازي أضلاع في المعلم
المعطيات:

(O, I, J) معين للمستوي بحيث OI = OJ

النقاط: A(-3, 2) و B(1, 2) و C(3, 1) و D(-1, 1)

1) بيّن (OI) و (AB) متوازيان
2) بيّن أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع
3) حدد مجموعة النقاط M(x, y) بحيث -1 ≤ x ≤ 3
4) حدد مجموعة النقاط M(x, y) بحيث y = -1 و x ≤ -1
5) عيّن النقطة K منتصف [BC] ثم حدد إحداثياتها
6) أحسب مساحة الرباعي OIBA
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

⚠️ أدوات مسموحة فقط:
  • ✅ مقارنة الإحداثيات مباشرة
  • ✅ صيغة المنتصف: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  • ✅ طول أفقي: |x₂ - x₁| (عندما y₁ = y₂)
  • ✅ طول عمودي: |y₂ - y₁| (عندما x₁ = x₂)
  • ✅ مساحة المستطيل = الطول × العرض
  • ✅ مساحة شبه المنحرف = (ق₁ + ق₂) × ع / 2

السؤال 1: مستقيمان متوازيان إذا:

  • كلاهما أفقيان (نفس y للنقاط)
  • أو كلاهما عموديان (نفس x للنقاط)

السؤال 2: متوازي الأضلاع → القطران ينصفان بعضهما

السؤال 5: استخدم صيغة المنتصف

السؤال 6: قسّم الرباعي إلى شبه منحرف أو مستطيلات

📝 منهجية الحل

1) إثبات التوازي:

• A(-3, 2) و B(1, 2) → نفس y = 2

• إذن (AB) أفقي

• (OI) محور الفواصل (أفقي)

• مستقيمان أفقيان متوازيان ✓

2) متوازي الأضلاع:

منتصف [AC]:

$$\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{2+1}{2}\right) = \left(0, \frac{3}{2}\right)$$

منتصف [BD]:

$$\left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{2+1}{2}\right) = \left(0, \frac{3}{2}\right)$$

المنتصفان متطابقان → ABCD متوازي أضلاع ✓

✅ الحل النهائي

1) (OI) // (AB):

• A(-3, 2) و B(1, 2) لهما y = 2 → (AB) أفقي

• (OI) محور الفواصل → أفقي

• إذن (OI) // (AB) ✓

2) ABCD متوازي أضلاع:

منتصف [AC] = (0, 3/2)

منتصف [BD] = (0, 3/2)

القطران ينصفان بعضهما → متوازي أضلاع ✓

3) مجموعة النقاط حيث -1 ≤ x ≤ 3:

شريط عمودي محصور بين x = -1 و x = 3

4) y = -1 و x ≤ -1:

نصف مستقيم أفقي على y = -1 يمتد من x = -1 نحو اليسار

5) K منتصف [BC]:

B(1, 2) و C(3, 1)

$$K = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+1}{2}\right) = \left(2, \frac{3}{2}\right)$$

6) مساحة OIBA:

النقاط: O(0,0), I(1,0), B(1,2), A(-3,2)

نقسم إلى شبه منحرف بقاعدتين أفقيتين:

• القاعدة السفلى: من O إلى I, الطول = 1

• القاعدة العليا: من A إلى B, الطول = |1-(-3)| = 4

• الارتفاع: الفرق بين y = 0 و y = 2, الارتفاع = 2

$$\text{المساحة} = \frac{(1+4) \times 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

المساحة = 5 وحدات مربعة

التمرين عدد 5

📊 الهندسة التحليلية 🔷 المعين ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 5
معين في المعلم
المعطيات:

(O; I; J) معين متعامد حيث OI = OJ = 1cm

$$A(-1; 3\sqrt{3}-1), \quad C(-1; -1-3\sqrt{3})$$ $$B(2; -1), \quad D(-4; -1)$$
1)
أ) بيّن أن (AC) و (BD) متعامدان
ب) أوجد إحداثيات K نقطة تقاطع (BD) و (AC)
2) بيّن أن K مركز المعين ABCD
3)
أ) حدد إحداثيات M منتصف [AK] و N منتصف [CK]
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

⚠️ أدوات مسموحة فقط:
  • ✅ مقارنة x و y مباشرة
  • ✅ صيغة المنتصف
  • ✅ طول عمودي: |y₂ - y₁| عندما x₁ = x₂
  • ✅ طول أفقي: |x₂ - x₁| عندما y₁ = y₂

السؤال 1أ: مستقيمان متعامدان إذا كان أحدهما أفقي والآخر عمودي

السؤال 1ب: التقاطع = الإحداثيات المشتركة

السؤال 2: في المعين، القطران ينصفان بعضهما في المركز

السؤال 3: استخدم صيغة المنتصف

📝 منهجية الحل

1أ) التعامد:

• A و C لهما x = -1 → (AC) عمودي

• B و D لهما y = -1 → (BD) أفقي

• عمودي ⊥ أفقي دائماً ✓

1ب) K:

• K على (AC) → x = -1

• K على (BD) → y = -1

• إذن K(-1, -1)

2) مركز المعين:

نتحقق: منتصف [AC] = K؟

نتحقق: منتصف [BD] = K؟

✅ الحل النهائي

1أ) (AC) ⊥ (BD):

• A(-1, 3√3-1) و C(-1, -1-3√3) → x = -1

• إذن (AC) مستقيم عمودي

• B(2, -1) و D(-4, -1) → y = -1

• إذن (BD) مستقيم أفقي

• مستقيم عمودي ⊥ مستقيم أفقي ✓

1ب) K:

$$K(-1, -1)$$

2) K مركز المعين:

منتصف [AC]:

$$\left(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{(3\sqrt{3}-1)+(-1-3\sqrt{3})}{2}\right)$$ $$= \left(-1, \frac{-2}{2}\right) = (-1, -1) = K$$

منتصف [BD]:

$$\left(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{-1+(-1)}{2}\right) = (-1, -1) = K$$

القطران ينصفان بعضهما في K → K مركز المعين ✓

3أ) M و N:

M منتصف [AK]:

$$M = \left(-1, \frac{(3\sqrt{3}-1)+(-1)}{2}\right) = \left(-1, \frac{3\sqrt{3}-2}{2}\right)$$

N منتصف [CK]:

$$N = \left(-1, \frac{(-1-3\sqrt{3})+(-1)}{2}\right) = \left(-1, \frac{-2-3\sqrt{3}}{2}\right)$$