تمارين الهندسة التحليلية - السلسلة الثالثة

✅ الحل النهائي

1) النقاط والاستقامة:

أ) رسم النقاط:

• $A(5,0)$ على محور الأفاصيل

• $B(0,3)$ على محور التراتيب

• $M(3,5)$ في الربع الأول

• $N$ بحيث ABON متوازي أضلاع

ب) إحداثيات N:

في متوازي الأضلاع ABON:

• منتصف $[AO]$ = منتصف $[BN]$

• منتصف $[AO]$:

• منتصف $[BN]$ مع $B(0,3)$ و $N(x_N, y_N)$:

• من المعادلة الأولى:

• من المعادلة الثانية:

إذن: $N(5, -3)$ ✓

ج) الاستقامة A و M و N:

• $A(5,0)$، $M(3,5)$، $N(5,-3)$

• لكي تكون على استقامة واحدة، يجب أن يكون لها نفس الفاصلة أو الترتيبة

• $A$ و $N$ لهما نفس الفاصلة $x=5$

• لكن $M$ لها $x=3 \neq 5$

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في المعطيات أو الفهم

للتحقق الدقيق، نحتاج استخدام أدوات أخرى خارج نطاق CODE 55

2) التوازي والمستطيل:

أ) إثبات التوازي:

• $(BM)$ و $(OI)$:

- $B(0,3)$ و $M(3,5)$: $y_B = 3 \neq 5 = y_M$

- $(BM)$ ليس أفقياً، إذن ليس موازياً لـ $(OI)$

تصحيح: ربما المعطيات مختلفة أو هناك خطأ في القراءة

• $(AM)$ و $(OJ)$:

- $A(5,0)$ و $M(3,5)$: $x_A = 5 \neq 3 = x_M$

- $(AM)$ ليس عمودياً، إذن ليس موازياً لـ $(OJ)$

ب) المستطيل AMBO:

بناءً على المعطيات الحالية، يصعب إثبات أن AMBO مستطيل

قد تحتاج المسألة مراجعة أو توضيح إضافي

3) المعين ALOK:

يعتمد على نتائج السؤال 2

4) مجموعات النقاط:

E: $x=5$ و $-3 \leq y \leq 3$

• قطعة مستقيمة عمودية من $(5,-3)$ إلى $(5,3)$

F: $y=3$ و $x \leq 5$

• نصف مستقيم أفقي من $(-\infty, 3)$ إلى $(5,3)$

✅ الحل النهائي

1) تعيين النقاط:

• $A(2,3)$، $B(4,0)$، $C(2,-3)$

2) متوازي الأضلاع والمركز:

أ) إثبات OABC متوازي أضلاع:

• منتصف القطر $[OB]$:

• منتصف القطر $[AC]$:

• $M_{OB} = M_{AC}$ ✓

إذن: OABC متوازي أضلاع ✓

ب) مركز H:

• مركز متوازي الأضلاع = نقطة تقاطع القطرين

إذن: $H(2, 0)$ ✓

3) التناظر والمعين:

أ) تناظر A و C بالنسبة لـ (IO):

• $(IO)$ هو محور الأفاصيل (المحور $x$، $y=0$)

• $A(2,3)$ و $C(2,-3)$

• للتناظر بالنسبة لمحور الأفاصيل:

1- نفس الفاصلة: $x_A = x_C = 2$ ✓

2- ترتيبتان متعاكستان: $y_A = -y_C$

$3 = -(-3) = 3$ ✓

إذن: A و C متناظرتان بالنسبة لـ (IO) ✓

ب) استنتاج أن OABC معين:

• OABC متوازي أضلاع (من السؤال 2)

• القطر $[AC]$ عمودي على $(IO)$ لأن $A$ و $C$ على نفس المستقيم $x=2$

• القطر $[OB]$ يقع على $(IO)$ (لأن $O$ و $B$ على محور الأفاصيل)

• إذن $(AC) \perp (OB)$ (عمودي ⊥ أفقي)

• متوازي أضلاع بقطرين متعامدين = معين

إذن: OABC معين ✓

4) النقطة D وشبه المنحرف:

أ) مناظرة C بالنسبة لـ O:

• $O$ منتصف $[CD]$

• $0 = \frac{2+x_D}{2} \Rightarrow x_D = -2$

• $0 = \frac{-3+y_D}{2} \Rightarrow y_D = 3$

إذن: $D(-2, 3)$ ✓

ب) إثبات OIAD شبه منحرف:

• $O(0,0)$، $I(1,0)$، $A(2,3)$، $D(-2,3)$

• $(OI)$ أفقي: $y=0$

• $(AD)$: $A(2,3)$ و $D(-2,3)$ لهما $y=3$ → أفقي

• إذن $(OI) // (AD)$ ✓

• الأضلاع الأخرى $(OD)$ و $(IA)$ ليسا متوازيين

إذن: OIAD شبه منحرف ✓

ج) مساحة OIAD:

• شبه منحرف بقاعدتين:

- القاعدة الصغرى $OI = |1-0| = 1$

- القاعدة الكبرى $AD = |2-(-2)| = 4$

- الارتفاع $h = |3-0| = 3$

5) مجموعة النقاط:

الشرط: $x=2$ و $-3 \leq x \leq 3$

ملاحظة: هناك تناقض! ربما المقصود: $x=2$ و $-3 \leq y \leq 3$

الجواب: قطعة مستقيمة عمودية من $(2,-3)$ إلى $(2,3)$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• $A(2,0)$، $B(6,6)$

1) المسقط C والمسافات:

أ) إحداثيات C:

• $C$ المسقط العمودي لـ $B(6,6)$ على المحور $(OI)$

• $(OI)$ هو محور الأفاصيل (المحور $x$، أي $y=0$)

• المسقط العمودي يعني $(BC) \perp (OI)$

• $(BC)$ عمودي → $x_C = x_B = 6$

• $C$ على $(OI)$ → $y_C = 0$

إذن: $C(6, 0)$ ✓

ب) حساب BC و AC:

• $BC$: $B(6,6)$ و $C(6,0)$ على نفس المستقيم العمودي

• $AC$: $A(2,0)$ و $C(6,0)$ على نفس المستقيم الأفقي

2) نقطة التقاطع E والنسب:

أ) النسب:

• $(AB)$ يمر بـ $A(2,0)$ و $B(6,6)$

• $(OJ)$ محور التراتيب: $x=0$

• $E$ على $(OJ)$: $x_E = 0$

• من $A$ إلى $B$: التغير في $x$ = $4$، التغير في $y$ = $6$

• من $A$ إلى $E$: التغير في $x$ = $0-2 = -2$

• بنفس النسبة: التغير في $y$ = $-2 \times \frac{6}{4} = -3$

• إذن $y_E = 0 + (-3) = -3$

إذن: $E(0, -3)$ ✓ و $y_E < 0$ ✓

• المسافات:

- $AB$: أفقياً $4$، عمودياً $6$

- $AE$: أفقياً $2$، عمودياً $3$

- $\frac{AB}{AE} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$ ✓

- $BC = 6$

- $OE = |y_E - 0| = 3$

- $\frac{BC}{OE} = \frac{6}{3} = 2$ ✓

ب) إذن: $E(0, -3)$ ✓

3) النقطة F والمسقطان M و N:

أ) إثبات M(6;3):

• $F$ مناظرة $E$ بالنسبة لـ $O$

• $O$ منتصف $[EF]$

• $x_F = 0$ و $y_F = 3$

إذن: $F(0, 3)$

• المستقيم من $F$ عمودي على $(OJ)$ يعني أفقي: $y = y_F = 3$

• يقطع $(BC)$ في $M$

• $(BC)$ عمودي على $x=6$

• إذن $M$ لها $x=6$ و $y=3$

إذن: $M(6, 3)$ ✓

ب) M منتصف [BC]:

• $B(6,6)$ و $C(6,0)$

إذن: M منتصف [BC] ✓

4) المنتصف N والمساحة:

أ) N منتصف [AB]:

• المستقيم الأفقي $y=3$ يقطع $(AB)$ في $N$

• $(AB)$ من $A(2,0)$ إلى $B(6,6)$

• النقطة على $(AB)$ بـ $y=3$:

- التغير من $A$: $\Delta y = 3$

- بالنسبة: $\Delta x = 3 \times \frac{4}{6} = 2$

- $x_N = 2 + 2 = 4$

إذن: $N(4, 3)$

• التحقق من المنتصف:

إذن: N منتصف [AB] ✓

ب) مساحة شبه المنحرف CMNA:

• $C(6,0)$، $M(6,3)$، $N(4,3)$، $A(2,0)$

• شبه منحرف بقاعدتين أفقيتين:

- القاعدة العلوية $MN$: من $(6,3)$ إلى $(4,3)$

$MN = |6-4| = 2$

- القاعدة السفلية $CA$: من $(6,0)$ إلى $(2,0)$

$CA = |6-2| = 4$

- الارتفاع: $h = |3-0| = 3$

إذن: مساحة CMNA = 9 وحدة مربعة ✓